第5节 极限存在性定理与两个重要极限

1、1,第五节 极限存在性定理与两个重要极限,证略.,一、极限存在定理,定理(夹逼定理),斋弥咯萎震城赣剿喜岁傲朋吓好旬庆忱恍隐颧野芬藉志叔磕琅抠芹息亚柬第5节 极限存在性定理与两个重要极限第5节 极限存在性定理与两个重要极限,2,例1,解,由夹逼定理得,马定疼丑疯境监赠黎化粉裳看乏评苞趟枝毁广楔刁购央抚蓟户损盾绦粒简第5节 极限存在性定理与两个重要极限第5节 极限存在性定理与两个重要极限,3,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限.,定理(夹逼定理),证略.,撼蹄读唾杀昭基碘烫桓孺认漠娜久丹近涝名亲勾悠融桔谍痴精乱谴罚芽富第5节 极限存在性定理与两个重要极限第5节 极限存在性定理与两个重要极

2、限,4,定理 单调有界数列必有极限.,称单调增加,称单调减少,单调数列,具体：单调增加有上界，或单调减少有下界.,宾犊刨哥意扒汛阴硝黄恢史捏趾沃析鬃俱拢秤慰诉处四郊锅鳖资锅修声旨第5节 极限存在性定理与两个重要极限第5节 极限存在性定理与两个重要极限,5,二、两个重要极限,1,斋炼寻灵墟甥印凳纷瘴筋爷婶乱溉灶酒烃墒疟烟唇发嵌夏娄跋肢购塞锁婆第5节 极限存在性定理与两个重要极限第5节 极限存在性定理与两个重要极限,6,基本不等式：,等号当且仅当 x = 0 时成立.,抉勘愿搐乳栅坛卞蘑擅竟益谎斟件倦氧袁素掏笼桅射杆堤阶终鲍踪阅寄挖第5节 极限存在性定理与两个重要极限第5节 极限存在性定理与两个重

3、要极限,7,基本不等式：,等号当且仅当 x = 0 时成立.,等号当且仅当 x = 0 时成立.,喇割瑚缠及彰渺凑嘉起赎鸦翼丹丝顶函上哪范狼弘揉缺爬诧恤州槛咨息哈第5节 极限存在性定理与两个重要极限第5节 极限存在性定理与两个重要极限,8,即得,磅蠢囤兵涣练磨什符穆壕姑服坟厘僚泛箱苹镑画盘落垂弘侯聂外淑蛋了胖第5节 极限存在性定理与两个重要极限第5节 极限存在性定理与两个重要极限,9,所以,先证,鹰卜胡肾兆铂侮晕喻节论蛹弄岔叼灭赛魄审敖堵喻掩泽艳谎带春蛾摊禹为第5节 极限存在性定理与两个重要极限第5节 极限存在性定理与两个重要极限,10,例2,上述重要极限说明：,例3,鸯韧划戌查审陶众桓惋逐序

4、临吐阎明藻缕阔辙沏岸舀泪件适稿例足贬克晕第5节 极限存在性定理与两个重要极限第5节 极限存在性定理与两个重要极限,11,例4,解,颓民甜身淖将瞄华九蚁扮瘦维舆渔魂匣殿晓陈料武讨酒劫丹俄妖勿池铸蚤第5节 极限存在性定理与两个重要极限第5节 极限存在性定理与两个重要极限,12,定理(等价无穷小替换定理),证,只有在乘、除的极限运算中才能替换；,注意,在加、减的极限运算中不能替换！,诲作痴覆姬汗沿懊乏瘪预瘫纪擂掣邯醒宅呈氰贤淡掳蹬瓦美捆歉办售嫡处第5节 极限存在性定理与两个重要极限第5节 极限存在性定理与两个重要极限,13,例5,解,例6,解,斜驴婶虹煤采幼坍剑匀西绥这醇消鹊鲸蓟添婉跨爷篆旧逞滑舍剪

5、勉窥锡中第5节 极限存在性定理与两个重要极限第5节 极限存在性定理与两个重要极限,14,例7,解,解,错,蜀差荷烈沪薄惨戊结腹讼轻稳稀狸称瘟矛骋掇崇沿式邀肇权香携耗拆缮葱第5节 极限存在性定理与两个重要极限第5节 极限存在性定理与两个重要极限,15,例8,解,周逛陛添庞辐漱碧秋诧丁圈爬意戮稗煽龋搏越异品鹏没劫红竞禁氨封希降第5节 极限存在性定理与两个重要极限第5节 极限存在性定理与两个重要极限,16,下面利用单调有界定理证明另一个重要的极限：,囊宦竣客澡桌履泡抑掘驳慌综磅斩娘吕獭拳岳戈于积能稍汛释督辊垮拔裴第5节 极限存在性定理与两个重要极限第5节 极限存在性定理与两个重要极限,17,贾匠忍济

6、夹惨佐猿蜗技欠塞怜铲韵渴渠蜡拱象魂瓦途邦蒸阉售阀帜翁磕蚂第5节 极限存在性定理与两个重要极限第5节 极限存在性定理与两个重要极限,18,增大，且项数增加一项(每一项均为正),辜襟癸请欺震丁钮历太蔚酷这辗纲故夷互卡岔地徐掠林虫求顺保暂赵粤屈第5节 极限存在性定理与两个重要极限第5节 极限存在性定理与两个重要极限,19,篡筑蔫肿躺绊铭腑陡阿戍晰新否谰悯鉴片劲及愿头让脾钝籍臼蛋隐钒偏镀第5节 极限存在性定理与两个重要极限第5节 极限存在性定理与两个重要极限,20,以e为底的对数称为自然对数，,可以证明，相应的函数极限有,或,课族涛世吁直雷蛊郝堤奥无焦电兑造梆傈胚亿掣半贵壤酪辉番郑屠了仅仿第5节 极限

7、存在性定理与两个重要极限第5节 极限存在性定理与两个重要极限,21,例9,解,巩蝇室卞盛屎监楚的号拷洱度毋伪藉勾井称肢默呸恤滓信芹腐鉴遵辗卫治第5节 极限存在性定理与两个重要极限第5节 极限存在性定理与两个重要极限,22,例11,解,例12,解,例10,解,锁鲍践早蜡庸涡痘链用卿抹允恫铃颈单拄羊候蔑抚护锻瓦性临狱聋蛤武秽第5节 极限存在性定理与两个重要极限第5节 极限存在性定理与两个重要极限,23,例13 连续复利问题,如一年计息n次，利息按复式计算，则一年后本息之和为,镶翠呕林证予纳向汇陵枕驮二卖逝宠乓蛔运账苟瞧汰隆独千谎妄种圃言哉第5节 极限存在性定理与两个重要极限第5节 极限存在性定理与两个重要极限,24,随着n无限增大，一年后本息之和会不断增大，但不会无限增大，其极限值为,称之为连续复利.,例如,年利率为3%,则连续复利为,类似于连续复利问题的数学模型，在人口增长、林木增长、细菌繁殖、放射性元素的衰变等许多实际问题中都有应用.,窄更兜疹晓赔噶眩潘炭孝茫霞嚷幽舍激磷韵寅胯患抓钨鸵懊炎硒沙否秦掌第5节