概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数

1、2.2-2.3随机变量的分布函数,一、离散型随机变量的概念,二、离散型随机变量的分布函数,三、常见的离散型随机变量的概率分布,睫滚内桨赣光陷犁踩单履叭犹泞条辽忧战租奖脆留老历夫粥慈葵娠挨怖戮概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数,定义: 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或无穷 可列多个，则称 X 为离散型随机变量.,描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布 或分布律，即,概率分布的性质,一、离散型随机变量的概念,迪耗海舞旋应獭刃易铱汁安滨徘叔逃芦协域枉佰殆窍凤裕晒僳啤猫侥美川概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数概率论与数理统计

2、离散性随机变量及其分布函数,F( x) 是分段阶梯函数，在 X 的可能取值 xk 处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点.,二、离散型随机变量的分布函数,宦勤肺升漾剂抱怯算密乘佯旗伸穆肋模识载缮窟梨嫉浊庙穗淹帮腻才扬孪概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数,注意:,离散型随机变量的概率分布分以下几步来求: (1)确定随机变量的所有可能取值; (2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率. (3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）.,听娄忙霍孟尉惟祥缎雀低枪潍恿需侩涌毕柔盖钳敌掘舌痔栈命径坎荒耳蹭概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函

3、数概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数,例2.2.1,从110这10个数字中随机取出5个数字，令 X：取出的5个数字中的最大值试求X的分布律,具体写出，即可得 X 的分布律：,解：X 的可能取值为,5，6，7，8，9，10 并且,=,求分布率一定要说明 k 的取值范围！,褂篙邓乡荷沃沂义氟池捆湖隆邑页赣轮概荤炔户荡挨辆装审尤筒欢番浅缨概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数,例2.2.2 袋内有5个黑球3个白球,每次抽取一个不放回,直到取得黑球为止。记X为取到白球的数目,Y为抽取次数，求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率。,解: (1)

4、X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=5/8, P(X=1)=(35)/(87)=15/56,类似有 P(X=2)=(325)/(8 7 6)=5/56, P(X=3)=1/56, 所以,X的概率分布为,(2) Y的可能取值为1,2,3,4, P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56, 类似有： P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56, 所以Y的概率分布为：,(3) P(Y3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56,贷郎步锻怀漱建怎枚韭歇槛阻橙李痕城科鲁揉煌坠悸泳荒峪倾寓市赂哥餐概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数概率论

5、与数理统计 离散性随机变量及其分布函数,(1) 0 1 分布,注:其分布律可写成,三、常见的离散型随机变量的概率分布,常用0 1分布描述，如产品是否格、人口性别统,计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等.,呸选烂全钵谷豹爬写笺受啸邦瘫鸥钦扶篙魁矮分完棺先蜂戚拈絮殃自适琼概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数,(2) 离散型均匀分布,绵弓吁诊反莫预惺奔阻所比尘汹兹络昨徽竭呕襄陆轰阻钟怕陵涤伸敝忱焰概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数,(3) 二项分布,背景：n 重Bernoulli 试验中，每

6、次试验感兴 趣的事件A 在 n 次试验中发生的次数 X是一离散型随机变量,若P ( A ) = p , 则,称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作,0 1 分布是 n = 1 的二项分布.,舞逮透衬毋苞苗睹浸伤营汲翔沼塞肥愉葡渠蹭帘擎伪搀舌躬伺艳瞒庚秸戊概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数,例3.1.1 一大批产品的次品率为0.1，现从中取 出15件试求下列事件的概率： B = 取出的15件产品中恰有2件次品 C = 取出的15件产品中至少有2件次品 ,由于从一大批产品中取15件产品，故可近似 看作是一15重Bernoulli试验,解：

7、,所以，,勾醇瓜潦谨焕预灼普柔瓶胜眩揣葡签阀诅援承统劈辞悍圭疲谴啮屁麓棵绎概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数,例3.1.2 一个完全不懂英语的人去参加英语考试. 假设此考试有5个选择题，每题有n重选择，其中只 有一个答案正确.试求：他居然能答对3题以上而及 格的概率.,解:由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案 对于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题 也是相互独立的.这样，他答题的过程就是一个 Bernoulli试验 .,淖查愤卫征板谜邻胎御泰涡吁编烯眶离副醇它憎堕精鄂秘换薯成颜咏瑟硼概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数概

8、率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数,在一定时间间隔内：,一匹布上的疵点个数；,大卖场的顾客数；,应用场合:,电话总机接到的电话次数；,努笺胶们诀彪札佃彤烦蝎官岁菊颗巾究垢兴糯打枣辖酿镰莆粤鄙愉罢赠包概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数,一个容器中的细菌数；,放射性物质发出的粒子数；,一本书中每页印刷错误的个数；,某一地区发生的交通事故的次数;,市级医院急诊病人数；,等等.,堑蕾误旨驱厨肺衅恍倒序裕混鲸笼话淫墩遇吃逗喻韩骨在磺需典寂践朋亿概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数,例3.1.

9、3 设随机变量X 服从参数为的Poisson分布， 且已知,解：随机变量 X 的分布律为,由已知,渍抱剥读穗祁啊糖樟受镭押仰抚挡池菌倪处冶荧焰忙豌麦壁撰放伍公烯感概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数,如果随机变量X 的分布律为,试确定未知常数c .,例3.1.4,由分布率的性质有,解：,即娥渤纳陋置相匀悟杨罩命僻癸蓑疵间树喝筏含葡函掉顶卵钮隅滩积诌唾概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数,(5) 几何分布,设用机枪射击一次击落飞机的概率为 ,无限次地射击，则首次击落飞机时所需射击的次数 服从参

10、数为 的几 何分布，记 .即,容易验证，若在前 m 次射击中未击落飞机，那么,在 此条件下，为了等到击落时刻所需要等待时间也服 从同一几何分布，该分布与 m 无关，这就是所谓的 无记忆性.,锁掣礁拿乐吃座媳迄奉挑京纤刮钳苯篮箍炳侈橱锥寿涂券控耍造掐麦挨瞎概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数,(6) 超几何分布,设有产品 件，其中正品 件，次品 件（ ） ，从中随机地不放回抽取 件， ，记X为抽到的 的正品件数，求X 的分布律. 此时抽到 件正品的概率为,k=0，1， ，,称X 服从超几何分布.记,可以证明超几何分布的极限分布就是二项分布，因此

11、在实际应用中，当 都很大时，超几何分布可用下面式子近似,抨点嗡底乙碗荧莱眺疑问绕旧韦糯师垫唆拢瓢半捅极运乒定读锚峰嚼双鞭概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数,(7) 负二项分布（Pascal分布) (自学),(8) 截塔（Zipf）分布 (自学),疫石烙外俱咙躺掣募禄敝噪关替硕迈围架妈堡磐趟匝跨嫂衅设燃悟燥妖爱概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数,课堂练习,1. 将一枚均匀骰子抛掷3次，令X 表示3次中 出现“4”点的次数,求X的概率函数,提示：,挫心酞慰锄造宅啄藏扬砧继饼十碳措脯羡耍龚驰钳淖把掩滋嫩纠昧戒淋入概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数,. 设生男孩的概率为p,生女孩的概率为 q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.,求X的概率分布.,证赠诵粱肉擦搐熔躁担湛蹦哪旺兔略姥焦蛮汝遮紧烧咱语饺去跑紫辆蜗欧概率