概率第一章(2)

1、,15 条件概率 全概公式 Bayes公式,例1 有100件产品，其中10件次品，有40件按新工艺制造， 其中有两件次品。现从100件产品中任取一件，问： 1）此产品是次品的概率 2）已知此产品是新工艺生产的，它是次品的概率。,一 条件概率,解： 设 A=“任取一件为次品” B=“此产品由新工艺生产”,刹汕陕瞬粕哲威膘陋仓宏班围矢谴痉谭粘末嚏盂沛苏葵踞邻弊灭符芍耸敲概率第一章(2)概率第一章(2),定义1： 设（ F P）是概率空间，A ， B F , 且 P（B）0. 称,为已知事件B发生的条件下， 事件A发生的概率.,例2 一个家庭中有两个孩子. 已知其中有一个是女孩，问另 一个也是女孩的

2、概率为多大?(假定一个小孩是男女等可能),解：（1） =(男,男) (男,女) (女,男) (女,女),B=另一个也是女孩=(女,女),A=已知有一个女孩=(男,女) (女,男) (女,女),于是所求概率:,测孕诧荒拷溯汉状算遇乡翻桐霸廉菜卑塔审杂骏稿责泅稚育漆蔷藐嘻宴崭概率第一章(2)概率第一章(2),满足概率的三个公理.因而是个概率,满足,注：1 2,解： （2） （男，女） （女，男）（女，女）, （女，女）,于是，所求概率,定理1：,(1) 非负性 ：,(3) 可列可加性：,(2)规范性：,沟醛渠庆辛逆盘辊莫脾酣恿敲民殆梯袋冕剐箭雪反娥悉乞洛恩庄胶亩缅蓑概率第一章(2)概率第一章(2)

3、,乘法公式,推广： 设,.（2）,审仍衷漱县栋葬舵铺脊命鲁捉钧砖矛谰萍阜病诽肿惋狠磋胜寥窟郎妻枫搬概率第一章(2)概率第一章(2),例3（Polya）模型 罐中有b 个黑球，r 个红球。从中随 机取出一球，然后放回，并加进同色球c个和异色球d个， 然后再进行第二次抽取，这样下去共取n 次，求 （1）前三次取出的球为“红黑红”的概率。 （2）前 次出现红球，后 次出现黑球的概率。,解： 设,触拓刁睦澜玻濒廉蹭曳潦塔挣与是形潞骡赤牡咕涩韭裳灼俏谚灌捐识板漱概率第一章(2)概率第一章(2),例4 一批产品共100件，对产品进行不放回抽样检查， 整批产品合格的条件是：在被检查的5件产品中至少 有 一件

4、废品。如果在该批产品中有5%是废品，求该批 产品被拒绝的概率。,（2）,鸵氢儿翻焊坦丈绝域阻都孪盘享辽橙务牵侧虾尉祷蔓顾羞豺凛呈博垛赌祟概率第一章(2)概率第一章(2),解： 设,例5 盒中装有5个乒乓球，3新2旧，比赛时从中任取一 球， 用后不放回，求第二次取出新球的概率。,A,B,米畦羚才份赚兄勺好懈锌赦彪娇盎敢受申萧撤境淮潍译揣踪匀侗阵洼梨决概率第一章(2)概率第一章(2),定理2：设,全概公式,三 全概率公式,是一列互不相容的事件，且,则 对任意事件 F 有：,注：定理中的事件 称为完备事件组。,恶仙瓜隋裹嚣酪日瘩缅摧滥眉鹏浊准综稗粱娘春新昭肤颊擎装恃寥柱朱碗概率第一章(2)概率第一章

5、(2),解：,2白 1黑,甲,1白 2黑,乙,任取一球,取一球,P（白）=？,设 A=“最后取出的求为白球” B=“从甲袋中取出的是白球”,例6 设甲袋中有2个白球，1个黑球，乙袋中装有1个白 球，2个黑球。今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再 从乙袋中任取一球，求此球为白球的概率。,由全概率公式：,莲滨瞥核禹求粳卵衙旁佯爽橡琼努叔厨欲歇底昔涟牡替巾埃笺仑励淬翘躁概率第一章(2)概率第一章(2),例7 某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线 和产量分别占总产量的15% ， 20% ，30%， 35% 。 又 这四条流水线的不合率依次为0.05 0.04 0.03 及0.02 , 现从 出厂

6、的产品中任取一件, 问 ： (1)恰好抽到不合格品的概率是多少? （2)若在出厂产品中任取一件,结果为不合格品, 问厂方应作 如何 处理比较合理?,解:（1） 设 A=“任取一件为不合格品” 任取一件恰由第i条流水线生产 i=1，2，3，4,捞卤振忻恢榆鄙增赵跟甲确滤仰妒眼忻辖舍液嘿玖挠敌猪舔派蕊曳涛棒葛概率第一章(2)概率第一章(2),（2）,由此公式算得：,由全概公式：,秃羞哨悍锁算构眺祭至帖称晰燎帜耗啃雀屯伊磐焚王荣烹多镇搓啡俞厄航概率第一章(2)概率第一章(2),则对任意事件A， 有：,Bayes公式,四 Bayes公式,定理3 设,是一列互不相容的事件，且,始间侍凤纶细衔沈金硬缸烈款

7、簿潜夺阁账囚咋壤缚豺走韦娇专畅谊筋框夯概率第一章(2)概率第一章(2),例8 一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病。在患有此 种疾病的人群中。通过化验有95%的人呈阳性反应，而健 康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应。某地区此种 病的患者仅占人口的0.5%。若某人化验结果为阳性，问 此人确实患有此病的概率是多大？,资骤柠碉据蕊靴聋崔侨逊巾淄涪秸泳拧咎魄玖凌苛祁势筑鸭缚甄诞巍潍碾概率第一章(2)概率第一章(2),例9 一道考题有m个答案，要求学生将其中的一个正确 答案选择 出来。某考生知道正确答案的概率为p，而乱猜 的概率为1-p，在乱猜时，m个答案都有机会被他选择， 如果他答对了，问确实知道

8、正确答案的概率是多少？,解： 设 A=“ 考生答对” B=“ 考生知道正确答案”,由全概公式：,又由Bayes公式：,梨浊雪烂吃庄脑弥匡翁属键岩谴贺比莎钠莹砸斜服屁岿符霹祷钟窿冉牡承概率第一章(2)概率第一章(2),例10 （遗传风险）在人类遗传学中，某中坏的基因会引起 夭折。设a是这样的一个基因，基因型aa将不能长大成人, 基因型Aa的人为带菌者,（a具有隐性性状）。假定在一般 总体中（不论性别如何）带菌者的概率为p。现考察下述 问题 ：（1） 已知某人（成人）有一个哥哥或姐姐在童年 死去（原于aa）求该人为带菌者的概率。,解： 首先，由他的家庭有一个有关“历史”可知，他的双亲都必是带菌者（

9、为什么？），因此他们孩子的基因型的分布为,基因型 p,AA Aa aa,1/4 1/2 1/4,于是，所求概率为：,痘猫芽业蹭瘪侗敝咐族径赚袭铸墨茨冉党掳窍叙秀堑霍操骂亏瞒宦汇掘铁概率第一章(2)概率第一章(2),（2）若该人跟一位不知是否具有那种“历史”的女人结婚，问：其 子一带基因型的分布如何？,解：参见下表,父本 母本 结合的概率 产生AA的概率 Aa 的概率 aa的概率,AA AA,AA Aa,Aa AA,Aa Aa,1,0,0,0,0,冗柜鳖偿托忠兰耪舀怎苫邹汛垣音殆雕厨灼逊娜丑著凝绣鸭朱祭试帮渣佛概率第一章(2)概率第一章(2),由全概公式：,由此可知，在这种背景下，就子一代而言，

10、一个成人是 带菌者的 概率为,浚空焚鞘贯看番枉跳划憋拙盆菏馈接狗鸣霹系镀埠阔涤些谍摔性宝鄙疆狈概率第一章(2)概率第一章(2),补充练习 1 假设有三张形状完全相同的卡片，第一张两面全是红色，第二章两面全是黑色，第三张一面红色一面黑色，将这三张卡片随机地选出一张，并抛在桌面上，发现这张卡片朝上的一面为红色，求其另一面是黑色的概率。,司陪垢释邪线姆产文朋壳秸稀爱惶泥欠忆剁仪节秤滁诲平僵自曰铸缘挂妨概率第一章(2)概率第一章(2),补充练习 2 伊索寓言“孩子与狼”讲的是一个小孩每天到山上放羊,山 里有狼出没。第一天，他在山上喊：“狼来了，狼来了！” 山下的村民闻声便去打狼，可到山上，发现狼并没来

11、，第 二天，仍是如此；第三天狼真的来了，可无论小孩怎么喊 叫，也没有人来救他。现在请你用Bayes公式来分析此寓 言中村民对小孩的可信程度是如何下降的。,疾憋缓锐好筑球账靳督辰卵悠完棕武资滓拙氓澄荣膝岿胞芳酞刷桃煮娘虞概率第一章(2)概率第一章(2),16 事件的独立性,一 两个事件的独立性,定义1：设（，F，)为一概率空间，事件A,B属于 F,若,则称事件A,B是相互独立的。,注：若事件A，B相互独立，有：,.（2）,曲揍野襄铜暮汕纵升煞天峰务谨瞻参批佐促宗井佐诀念颠鹤厩峨喂帧疡现概率第一章(2)概率第一章(2),定理1 : 若四对事件,中有一对是,则 另外三对也独立。,独立的，,例1 设甲

12、、乙两人独立地向同一目标射击，他们击中目标的概率分别为0.9和0.8，求在一次射击中，目标被击中的概率。,谓碱她棱环专引喊秧崩拓炒槽既擅强贺歉酿烃黔褒今影淤氟脖舶釜围数谗概率第一章(2)概率第一章(2),定义2 : 称A B C 是相互独立的,如果有:,（3）,若只满足前三式，则称A ，B ， C两两独立。,注：1 事件两两独立，未必相互独立,2 （3）中的第4个式子成立，其余3个式子也未必成立。,二 多个事件的独立性,3 两两独立没有传递性。,攫助申捐掸宗箱匀儒染伊掖柳韵月英卷灾挡预堂掩悲尉第匈腻劲族你殷殃概率第一章(2)概率第一章(2),定义4: 称 是相互独立的,如果对任意自然数,有：,

13、定理2 设 相互独立，则将其中任意 个换成其对立事件，则所得的n个事件也相互独立。,枢押俊数肠拓仟映童扭奋酣纳鼻齿节勃睫佰昔粘摇镣谦钢叫拢停黎吸指运概率第一章(2)概率第一章(2),例3 设某种型号的高射炮命中率为0.6,若干门炮同时发射 (每炮射一发) 问: 欲以 99%以上的把握击中敌机,至少配 备几门高炮?,三 独立性在计算概率中的应用,解: 设至少需要n门炮,例2 教材P51 1.26,诗埠坷稀墨砰巾马袒驱等刷街尾演奉伶欲预酱目乞杯织莫您粘阜力枕琴敷概率第一章(2)概率第一章(2),至少需配置六门炮才能以99%以上的把握击中敌机.,由题意：,故,例3 一个人照看三台机床，在1小时内不需

14、要照顾的概率分 别为0.9、0.8、0.7，求在1小时内三台机床中最多有一台需 要照顾的概率。,铜磐味丢枯楚细胜养沸柬钉窘购译这黄患肢烬慷错斟贡翠丹财钓滋刺蚌官概率第一章(2)概率第一章(2),例4 甲乙丙三人同时向一飞机射击，击中的概率分别为 0.4，0.5， 0.7，如果只有一人击中，飞机被击落的概率为 0.2，如果有二 人击中，飞机被击落的概率为0.6，如果三 人都击中，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率。,解：设 分别表示甲，乙，丙击中敌机,分别表示有1，2，3人击中敌机,=“敌机被击落”,抚坤讶藩枉梆材豌讹稼帘拷甫唐因紫夸嗽畴话失春乌决镣踊露谣霜嘘屉跪概率第一章(2)概率第一章(2

15、),四 串联、并联系统可靠度的计算,1 可靠性研究的内容,1）可靠性寿命试验 2）可靠性维护策略 3）系统可靠度 计算,2 可靠度,定义: 指一元件或系统在规定的时间内能正常工作的概率。,3 可靠度的计算,确矮遗隆芦肛蓑填办巍撂棒宵阉矩母塞滓被槽谋沿营今协愉豺樊宫锦脾审概率第一章(2)概率第一章(2),n,1,2,1 串联系统,1,2,n,2 并联系统,(独立),膛棠置冲浅川汤摧拨动术婶好继绑滋紫痴膀告绕榴户篙刻历通疹晚蒂槽题概率第一章(2)概率第一章(2),例5 如果构成系统的每个元件的可靠性均为r,0r1,且 各元件能否正常工作是相互独立的,试求下面两种系统的 可靠性。,1,2,n,n,n

16、,2,1,1,1,2,2,n,n,图1,图2,需迢击塘威钧担股奥袋挞溪蚀虏犹讥郎旋卧披伐脑便篓省臭蓑伸众酣卵禄概率第一章(2)概率第一章(2),注 n个事件并的概率:,港巢乖炔讶藕岭缺哆吃盲亡呛写挖恕绥蛇祝里训淳七窥根僚疟副颖躯腿练概率第一章(2)概率第一章(2),1.7 贝努里（Bernoulli）概型,1 定义： 如果试验E只有两种结果,则称 E为 Bernoulli 试验。,将E独立重复n次的试验称为n重Bernoulli试验。记为,注：1 独立重复的含义：,2 n重Bernoulli试验的样本空间,问题：在n重Bernoulli试验中，事件A恰好发生k次的概率,伏稽辛簧炎窍母痘顿浇呕蜜

17、刘颇顺娥魔困异撵寂嚣刁逆鹊呕旁辊眠碰析哇概率第一章(2)概率第一章(2),记,“n重Bernoulli试验中事件A出现k次”,“第i 次试验中A发生”,二项概率公式,瘴侣瞬擅女漳铂内遂峙走钞臆尹孜卖懈郊怠阜蜒徒晃滓谴出序佣揽莽嫁郡概率第一章(2)概率第一章(2),例1 电灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，求3个 灯泡在使用1000小时后，最多只有一个坏了的概率。,解：设 A=“使用寿命大于1000小时” 则,则 所求概率为：,=0.096+0.008=0.104,例2 P49 （例1.24）,甩祈隙骡清磐珠颐煽块琳产精宇寞詹碘确员瘟团绩角很颅俐黑痊鬃拎睫飞概率第一章(2)概率第一章

18、(2),例3 甲乙两名运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的 概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛可采用三局两胜制或五 局三胜 制，问 在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性大？,解：（1）若采用三局两胜制，则下列两种情况下甲获胜,= “甲净胜两局”,=“ 前两局各胜一局，第三局甲胜”,则 P（甲胜）=,=0.648,辛交第撂匹堡过鳃腋灸网找诚壕桐专肤狐滁灭塌恋谱誉滋歇豁腆漓忿经吞概率第一章(2)概率第一章(2),P（甲胜）=,= “ 甲净胜三局”,=“前三局中甲胜两局，负一局，第四局甲胜”,= “ 前四局中甲乙各胜两局，第五局甲胜”,=0.682,结论：,（2）若采用五局三胜制，则下列三种情况

19、下甲获胜“,丙崖梯郁涡碎勉中裙挤货夏菲坪巷迷更顿陀焕萨疥跌裤厌勃邢矾短毒弛戴概率第一章(2)概率第一章(2),例4 某店内有四名售货员，据经验每名售货员平均在1小 时内只用台秤15分钟，问该店配置几台秤较为合理？,解：设 A= “ 售货员在1小时内使用台秤” 则,售货员在1小时不使用台秤,由题意：,P（1小时内没有人使用台秤）=,P（1小时内只有1名售货员使用台秤）,碍蒲怕围坐闪拧垢梆俩吓湾息梁钧湖焉牺狂段札搭绎劝给环发弟款萄韵挞概率第一章(2)概率第一章(2),P（1小时内有2名售货员使用台秤）=,故 P（1小时内不超过2名售货员使用台秤）,而 P（1小时内有3名售货员使用台秤）,P（1小时内有4名售货员使用台秤）,结论分析：,蛙默垢野所冯忽饮篮彩刷许画仍缔迫华撤嘉整铂品蚜疚骤崔凉戒秀勋煽保概率第一章(2)概率第一章(2),习题课 条件概率 独立性,一 内容总结,1 条件概率的定义 性质,2 乘法公式,胯陌雄束姜吭轮佐维悄碰注文镭身兼骋舀汛柿嘲伎与悍汪揭娃猛蜗渴阀灰概率第一章(2)概率第一章(2),（ 独立）,3 全概率公式 Bayes 公式,若事件组 满足,陷瞒条凑露荒寝