历年各地中考数学 矩形菱形与正方形试题与

1、第第 2626 章章矩形、菱形与正方形矩形、菱形与正方形 一、选择题一、选择题 1. 1. （2011浙江省舟山，10，3 分）如图，五个平行四边形拼成一个含30内角的 菱形 EFGH（不重叠无缝隙） 若四个平行四边形面积的和为 14cm2，四边形 ABCD 面积是 11cm2，则四个平行四边形周长的总和为（） （A）48cm （C）24cm （B）36cm （D）18cm E A H D B F 【答案】A C （第 10 题） G 2. 2. （2011 山东德州 8,3 分）图 1 是一个边长为 1 的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱 形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以

2、拼成一个形状相同但尺寸更大 的图形（如图 2） ，依此规律继续拼下去（如图3） ，则第 n 个图形的周长是 图 1 n 图 2 nn1 图 3 （D）2n2（A）2（B）4（C）2 【答案】C 3. 3. （2011山东泰安，17 ，3 分）如图，边长为6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小 正方形的面积分别为 S1，S2，则 S1+S2的值为 A.17B.17C.18D.19 【答案】B 4. 4. （2011山东泰安，19 ，3 分）如图，点O 是矩形 ABCD 的中心，E 是 AB 上的点，沿CE 折叠后，点 B 恰好与点 O 重合，若 BC=3，则折痕 CE 的长为 A.2 3B.

3、3 3 C.3D.6 2 【答案】A 5. 5. （2011 浙江杭州，10，3）在矩形ABCD 中，有一个菱形BFDE(点 E，F 分别在线段 AB， CD 上)，记它们的面积分别为S ABCD和SBFDE 现给出下列命题： （） 若 S ABCD 233 ，则tanEDF 若DE2 BD EF,则DF 2AD S BFDE 23 则: A是真命题，是真命题B是真命题，是假命题 C是假命题，是真命题D，是假命题，是假命题 【答案】A A 6. 6. （2011 浙江衢州，1,3 分）衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村 民居侧面截图，屋坡AF、AG分别架在墙体的点B、点C处

4、，且AB AC,侧面四边 形BDEC为矩形，若测得FAG 100，则FBD () A A B B F F C C G G D D E E （第 5 题） A.35B. 40C.55D. 70 【答案】C 7. 7.（2011浙江温州， 6， 4 分） 如图， 在矩形 ABCD 中， 对角线 AC， BD 交于点 O 已知AOB= 60，AC16，则图中长度为 8 的线段有() A2 条B4 条C5 条D6 条 【答案】D D 8. 8. 2011 四川重庆，10，4 分）如图，正方形 ABCD 中，AB6，点 E 在边 CD 上，且 CD 3DE将 ADE 沿 AE 对折至 AFE，延长EF

5、交边 BC 于点 G，连结AG、CF下列结 论：ABGAFG；BGGC；AGCF；S FGC3其中正确结论的个数 是() A1 【答案】C 9. 9. （2011浙江省嘉兴，10，4 分）如图，五个平行四边形拼成一个含30内角的 菱形 EFGH（不重叠无缝隙） 若四个平行四边形面积的和为 14cm2，四边形 ABCD 面积是 11cm2，则四个平行四边形周长的总和为（） （A）48cm （C）24cm （B）36cm （D）18cm B2C3D4 E A H D B F 【答案】A C （第 10 题） G 1010（2011 台湾台北，29）如图(十二)，长方形 ABCD 中，E 为BC中点

6、，作AEC的角 平分线交AD于 F 点。若AB6，AD16，则FD的长度为何？ A4B5C6D8 【答案】C C 11.11. （2011 湖南邵阳，7，3 分）如图（二）所示，YABCD中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 ABAD，则下列式子不正确的是（） A.ACBD C. BO=OD B.ABCD D.BAD=BCD 【答案】A.提示：当且仅当YABCD为菱形时，ACBD。 12.12. （2011湖南益阳，7，4 分）如图 2，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作 的：分别以 A 和 B 为圆心，大于 1 AB 的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD 2 即为所求

7、根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是 A矩形 【答案】B B 13.13. （2011 山东聊城，7，3 分）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是43，则 这个菱形的面积是（） A12cm2B 24cm2C 48cm2D 96cm2 【答案】B B 14.14. （2011四川宜宾,7,3 分）如图，矩形纸片ABCD 中，已知 AD=8，折叠纸片使 AB 边与 对角线 AC 重合，点 B 落在点 F 处，折痕为 AE，且 EF=3，则 AB 的长为（） A3B4C5D6 A D B菱形 C A B D 图 2 C正方形D等腰梯形 F B C E （第 7 题图） 【答案】D 1

8、5.15. （ 2011 重庆江津， 10，4 分）如图,四边形 ABCD 中,AC=a,BD=b,且 ACBD,顺次连接四 边形 ABCD 各边中点,得到四边形 A1B1C1D1,再顺次连接四边形 A1B1C1D1各边中点,得到四边 形 A2B2C2D2,如此进行下去,得到四边形 AnBnCnDn.下列结论正确的有( ) 四边形 A2B2C2D2是矩形;四边形 A4B4C4D4是菱形; 四边形 A5B5C5D5的周长 A1 A2 B B1 A3 B2 C a bab ;四边形 AnBnCnDn的面积是 n142 A D2 C3 D1 C2 B3 C1 D D3 第 10 题图 A. B. C

9、. D. 【答案】【答案】C 16.16. （2011江苏淮安，5，3 分）在菱形 ABCD 中，AB=5cm，则此菱形的周长为（） A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm 【答案】C 17.17. （2011山东临沂，11，3 分）如图，ABC 中，AC 的垂直平分线分别交 AC、AB 于点 D、F，BEDF 交 DF 的延长线于点 E，已知A30，BC2，AFBF,则四边形 BCDE 的面积是（） A2 3 B3 3 C4D4 3 【答案】A 18.18. （2011四川绵阳 7，3）下列关于矩形的说法中正确的是 A对角线相等的四边形是矩形B对角线互相平分的四边形是矩形 C

10、矩形的对角线互相垂直且平分D矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 19.19. （2011 四川乐山 9，3 分）如图（5） ，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、CD 的 中点， AE 交 BF 于点 H， CGAE 交 BF 于点 G。 下列结论： tanHBE=cotHEB BC2BG .其中正确的序号是CGBF BCCFBH=FG 2CFGF ABC D 【答案】D 2020 （2011江苏无锡，5，3 分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是() A对角线互相垂直B对角线相等C对角线互相平分D对角互补 【答案】A 21.21. （2011湖北武汉市，12，3 分）如图，在菱

11、形ABCD 中，AB=BD，点 E，F 分别在 AB， AD 上，且 AE=DF连接 BF 与 DE 相交于点 G，连接 CG 与 BD 相交于点 H下列结论： AEDDFB； S 四边形 BCDG= 3 CG2； 4 若 AF=2DF，则 BG=6GF其中正确的结论 A只有 B只有C只有 D D F G A E 第 12 题图 B 【答案】D 22.22. （2011 广东茂名，5，3 分）如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点 O，村庄 C 的村民 在公路的旁边建三个加工厂 AB、D，已知 ABBCCDDA5 公里，村庄 C 到 公路l1的距离为 4 公里，则村庄 C 到公路l2的距离是

12、H C l2 l 1 A3 公里 【答案】B 23.23. （2011 湖北襄阳，10，3 分）顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则 四边形 ABCD 一定是 A.菱形 【答案】D D 24.24. （2011 湖南湘潭市，5，3 分）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是 A.平行四边形 B.正方形 【答案】B B 二、填空题二、填空题 1. 1. （2011山东滨州，17，4 分）将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，得到如图所示图形。若CED =56,则AED 的大小是_. E D A （第 17 题图） B4 公里C5 公里D6 公里 B.对角线互相垂直的四边形C.矩

13、形D.对角线相等的四边形 C.等腰梯形 D.矩形 DC B 【答案】62 2. 2. （2011 山东德州 16,4 分）长为 1，宽为 a 的矩形纸片（ 1 a 1） ，如图那样折一下， 2 剪下一个边长等于矩形宽度的正方形 （称为第一次操作） ； 再把剩下的矩形如图那样折一 下， 剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形 （称为第二次操作） ； 如此反复操作下去 若 在第 n 此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止当n=3 时，a 的值为_ 第一次操作 【答案】 第二次操作 33 或 54 3. 3. （2011湖北鄂州，5，3 分）如图：矩形 ABCD 的对角线 AC=10，BC=8，则图

14、中五个小 矩形的周长之和为_ A AD D B B 【答案】28 第 5 题图 C C 4. 4. （2011 山东烟台，17,4 分）如图，三个边长均为2 的正方形重叠在一起，O1、O2是其中 两个正方形的中心，则阴影部分的面积是. O2 O 1 【答案】2 5. 5. (2011 浙江湖州，16，4)如图，甲类纸片是边长为2 的正方形，乙类纸片是边长为1 的正 方形，丙类纸片是长、宽分别为2 和 1 的长方形现有甲类纸片1 张，乙类纸片 4 张， 则应至少取丙类纸片张，才能用它们拼成一个新的正方形 【答案】4 6. 6. (2011 浙江绍兴，15，5 分) 取一张矩形纸片按照图 1、图

15、2 中的方法对折，并沿图 3 中 过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这 个 图 形 是 正 六 边 形 ， 则 这 张 矩 形 纸 片 的 宽 和 长 之 比 为. 【答案】 3:2 7. 7. （2011 甘肃兰州，20，4 分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再 依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面 积为 1，则第 n 个矩形的面积为。 【答案】 1 4n 1 8. 8. （2011 江苏泰州，18，3 分）如图，平面内 4 条直线 L1、L2、L3、L4是一组平行线，相 邻 2 条平行线间的距离

16、都是1 个单位长度，正方形ABCD 的 4 个顶点 A、B、C、D 都在 这些平行线上，其中点、分别在直线 L1和 L4上，该正方形的面积是 平方单位 11 12 13 14 【答案】5 或 9 9. 9. （2011 山东潍坊，16，3 分）已知线段 AB 的长为 a，以 AB 为边在 AB 的下方作正方形 ACDB.取 AB 边上一点 E，以 AE 为边在 AB 的上方作正方形 AENM.过 E 作 EFCD， 垂足为 F 点.若正方形 AENM 与四边形 EFDB 的面积相等，则 AE 的长为_. 【答案】 51 a 2 1010 （2011 山东潍坊，17，3 分）已知长方形 ABCD

17、，AB=3cm，AD=4cm，过对角线 BD 的 中点O做BD的垂直平分线EF， 分别交AD、 BC于点E、 F， 则AE的长为_. 【答案】 7 cm 8 11.11. （2011四川内江，16，5 分）如图，点 E、F、G、H 分别是任意四边形 ABCD 中 AD、 BD、 BC、 CA 的中点， 当四边形 ABCD 的边至少满足条件时， 四边形 EFGH 是菱形 A F E D H B GC 【答案】AB=CD 12.12. (2011 重庆綦江，14，4 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC8， BD6，过点 O 作 OHAB，垂足为 H，则点 O 到

18、边 AB 的距离 OH 【答案】 ： 12 5 13.13. （2011 江苏淮安，17，3 分）在四边形ABCD 中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件， 使四边形 ABCD 是矩形.你添加的条件是.(写出一种即可) 【答案】A=90或B=90或C=90或D=90或 AC=BD (答案不唯一，写出一种即可) 14.14. (2011 江苏南京， 12， 2 分)如图， 菱形 ABCD 的连长是 2 ， E 是 AB 中点， 且 DEAB， 则菱形 ABCD 的面积为_2 D D A A E E B B (第 12 题) 【答案】2 3 15.15. （2011 江苏南通，15，3 分）

19、如同，矩形纸片ABCD 中，AB2cm，点 E 在 BC 上，且 AEEC.若将纸片沿 AE 折叠，点 B 恰好与 AC 上的点B重合，则 ACcm. C C 【答案】4 16.16. （2011四川绵阳 17，4）如图，将长8cm，宽4cm 的矩形纸片 ABCD 折叠，使点A 与 C 重合，则折痕 EF 的长为_cm. 【答案】2 5 17.17.（2011 四川凉山州， 17， 4 分） 已知菱形 ABCD 的边长是 8， 点 E 在直线 AD 上， 若 DE=3， 连接 BE 与对角线 AC 相交于点 M，则 【答案】 MC 的值是。 AM 88 或 511 18.18. （2011 湖

20、北黄冈，5，3 分）如图：矩形 ABCD 的对角线 AC=10，BC=8，则图中五个 小矩形的周长之和为_ A AD D B B 【答案】28 第 5 题图 C C 19.19. （2011湖北黄石， 13， 3 分） 有甲乙两张纸条， 甲纸条的宽是乙纸条宽的2 倍， 如图 （4） . 将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则 AB 与 BC 的数量关 系为。 【答案】AB=2BC 2020 （2011 山东日照，16，4 分）正方形 ABCD 的边长为 4，M、N 分别是 BC、CD 上的两 个动点，且始终保持 AMMN当 BM=时，四边形 ABCN 的面积最大 【答案【

21、答案】2;2; 21.21. （2011 河北，14，3 分）如图 6，已知菱形 ABCD，其顶点 A，B 在数轴对应的数分别为 -4 和 1，则 BC=_ D D A A 【答案】5 图图6 6 0 0B B C C 22.22. （2010 湖北孝感，16，3 分）已知正方形ABCD，以 CD 为边作等边CDE，则AED 的度 数是 . 【答案】1515或或 7575 三、解答题三、解答题 1. 1. （2011 浙江省舟山，23，10 分）以四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 为斜边分别向 外侧作等腰直角三角形， 直角顶点分别为 E、 F、 G、 H， 顺次连结这四个点， 得

22、四边形 EFGH （1）如图 1，当四边形 ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 是正方形；如图 2， 当四边形 ABCD 为矩形时，请判断：四边形EFGH 的形状（不要求证明） ； （2）如图 3，当四边形 ABCD 为一般平行四边形时，设ADC=（090） ， 试用含的代数式表示HAE； 求证：HE=HG； 四边形 EFGH 是什么四边形？并说明理由 H A E B F （第 23 题图 1） H D G C H D G A E B F E B A C D G C F （第 23 题图 3）（第 23 题图 2） 【答案】 （1）四边形 EFGH 是正方形 (2) HAE=90a

23、在ABCD 中，ABCD，BAD=180ADC=180a； HAD 和EAB 都是等腰直角三角形，HAD=EAB=45， HAE=360HADEABBAD3604545（180a）90a AEB 和 DGC 都是等腰直角三角形，AE= 22 AB，DG=CD， 22 在ABCD 中，AB=CD，AE=DG，HAD 和 GDC 都是等腰直角三角形， DHA=CDG= 45，HDG=HADADCCDG90aHAE HAD 是等腰直角三角形，HA=HD，HAEHDG，HE=HG 四边形 EFGH 是正方形 由同理可得：GH=GF，FG=FE，HE=HG（已证） ，GH=GF=FG=FE， 四边形 E

24、FGH 是菱形；HAEHDG（已证） ，DHG=AHE， 又AHD=AHGDHG=90，EHG=AHGAHE90， 四边形 EFGH 是正方形 2. 2. （2011安徽，23，14 分）如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、 l 4 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h10，h20，h30） （1）求证：h1=h3； l l1 1 A A h h1 1 l l2 2 l l3 3 B B h h2 2 D D h h3 3 l l4 4 2 （2）设正方形 ABCD 的面积为 S，求证：S=(h1 h2) h1； 2 C C （3）若 3

25、h 1 h 2 1，当h 1 变化时，说明正方形 ABCD 的面积 S 随h1的变化情况 2 l l1 1 A A h h1 1 l l2 2 l l3 3 B B1 1 G G E E F F 2 2 3 3 4 4 D D h h2 2 h h3 3 l l4 4 C C 【答案】 （1）过 A 点作 AFl3分别交 l2、l3于点 E、F，过 C 点作 CGl3交 l3于点 G， l2l3，2 =3，1+2=90，4+3=90，1=4，又 BEA=DGC=90, BA=DC，BEADGC，AE=CG，即 h1=h 3； （2）FAD+3=90，4+3=90，FAD =4，又AFD= DG

26、C=90, AD=DC， AFDDGC， DF=CG， AD2=AF2+FD2， 2 S=(h1 h2) h1； 2 (3)由题意，得h21 3 2 h 1 ， 所以 35 2 2 S h 1 1h 1 h 1 h 1 h 1 1 2 4 5 2 4 h 1 455 2 2 ， h 102 又3，解得 0h1 31h 10 2 2 时，S 随 h1的增大而减小； 5 24 当 h1=时，S 取得最小值； 55 22 当h1时，S 随 h1的增大而增大. 53 当 0h1 3. 3. （2011 福建福州，21，12 分）已知,矩形ABCD中,AB 4cm,BC 8cm,AC的垂直平 分线EF分

27、别交AD、BC于点E、F,垂足为O. (1)如图 10-1,连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长； (2)如图 10-2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿AFB和CDE各边匀速运动 一周.即点P自AFBA停止,点Q自CDEC停止.在运动过程中, 已知点P的速度为每秒 5cm,点Q的速度为每秒 4cm,运动时间为t秒,当A、C、 P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值. 若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位:cm,ab 0),已知A、C、P、Q四点 为顶点的四边形是平行四边形,求a与b满足的数量关系式. AEDA P EDAE P D O B F Q F Q

28、F C B C 图 10-2 B C 备用图图 10-1 【答案】(1)证明:四边形ABCD是矩形 ADBC CAD ACB,AEF CFE EF垂直平分AC,垂足为O OA OC AOECOF OE OF 四边形AFCE为平行四边形 又EF AC 四边形AFCE为菱形 设菱形的边长AF CF xcm,则BF (8 x)cm 在RtABF中,AB 4cm 由勾股定理得42(8 x)2 x2,解得x 5 AF 5cm (2)显然当P点在AF上时,Q点在CD上,此时A、C、P、Q四点不可能构成平行 四边形;同理P点在AB上时,Q点在DE或CE上,也不能构成平行四边形 .因此 只有当P点在BF上、Q

29、点在ED上时,才能构成平行四边形 以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC QA 点P的速度为每秒 5cm,点Q的速度为每秒 4cm,运动时间为t秒 PC 5t,QA124t 5t 124t,解得t 4 3 4 秒. 3 以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t AE Q D B PF C 由题意得,以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,点P、Q在互 相平行的对应边上. 分三种情况: i)如图 1,当P点在AF上、Q点在CE上时,AP CQ,即a 12 b,得a b 12 ii)如图 2,当P点在BF上、Q点在DE上时,AQ CP, 即12 b a,得 a

30、 b 12 iii)如图 3,当P点在AB上、Q点在CD上时,AP CQ,即12 a b,得 a b 12 综上所述,a与b满足的数量关系式是a b 12(ab 0) A P B F EDED AE Q DA Q P Q F C 图 1 B P F C 图 2 B C 图 3 4. （2011广东广州市，18，9 分） 如图 4，AC 是菱形 ABCD 的对角线，点 E、F 分别在边 AB、AD 上，且 AE=AF 求证：ACEACF A FD E B 图 4 C 【答案】四边形 ABCD 为菱形 BAC=DAC 又AE=AF，AC=AC ACEACF（SAS） 5. （2011 山东滨州，2

31、4，10 分）如图，在ABC 中，点O 是 AC 边上（端点除外）的一个 动点，过点 O 作直线 MNBC.设 MN 交BCA 的平分线于点 E,交BCA 的外角平分 线于点 F，连接AE、AF。那么当点O 运动到何下时，四边形AECF 是矩形？并证明你 的结论。 A M B EOFN C （第 24 题图） 【答案】 当点 O 运动到 AC 的中点（或 OA=OC）时， 四边形 AECF 是矩形2 分 证明：CE 平分BCA,1=2，3 分 又MNBC, 1=3， 3=2，EO=CO. 5 分 同理，FO=CO6 分 EO=FO 又 OA=OC, 四边形 AECF 是平行四边形7 分 又1=

32、2，4=5， 1+5=2+4. 8 分 又1+5+2+4=180 2+4=909 分 四边形 AECF 是矩形10 分 6. 6.（2011山东济宁， 22， 8 分） 数学课上， 李老师出示了这样一道题目： 如图1， 正方形ABCD 的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC 于M，交边AB的延长线于N.当CP 6时，EM与EN的比值是多少？ 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别 于F，G，如图2，则可得： DFDE ，因为DE EP，所以DF FC.可求出EF FCEP 和EG的值，进而可求得EM与EN的比值.

33、(1) 请按照小明的思路写出求解过程. (2) 小东又对此题作了进一步探究， 得出了DP MN的结论.你认为小东的这个结论正 确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由. （1 1）解：过）解：过E作直线平行于作直线平行于BC交交DC，AB分别于点分别于点F，G， 则则 (第 22 题) DFDEEMEF ，GF BC 12. . ENEGFCEP 1 2 DE EP，DF FC. . 2 2 分分 1 63，EG GF EF 12315. . 2 EMEF31 4 4 分分. . ENEG155 EF CP （2 2）证明：作）证明：作MHBC交交AB于点于点H， 5 5 分分 则则

34、MH CB CD，MHN 90. . DCP 18090 90， DCP MHN. . MNH CMN DME 90CDP，DPC 90CDP， DPC MNH. .DPC MNH. . 7 7 分分 DP MN. . 8 8 分分 AD E H B N (第 22 题) M CP 7. 7. （2011 山东威海，24，11 分）如图，ABCD 是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5在 矩形 ABCD 的边 AB 上取一点 M，在CD 上取一点 N，将纸片沿MN 折叠，使MB 与 DN 交于点 K，得到MNK （1）若1=70，求MNK 的度数 （2）MNK 的面积能否小于 1 ？若

35、能，求出此时1 的度数；若不能，试说明理由 2 （3）如何折叠能够使MNK 的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出 最大值 （备用图） 【答案】解：ABCD 是矩形， AMDN， KNM=1 KMN=1， KNM=KMN 1=70， KNM=KMN=70 MNK=40 （2）不能 过 M 点作 MEDN，垂足为点 E，则 ME=AD=1, 由（1）知KNM=KMN MK=NK 又 MKME, NK1 11 NK ME 22 11 MNK 的面积最小值为，不可能小于 22 SMNK （3）分两种情况： 情况一：将矩形纸片对折，使点B 与点 D 重合，此时点 K 也与点 D 重合 设

36、MK=MD=x，则 AM=5-x，由勾股定理，得 12(5 x)2 x2, 解得，x 2.6 即MD ND 2.6 SMNK SACK 1 12.6 1.3 （情况一） 2 情况二： 将矩形纸片沿对角线AC 对折， 此时折痕为AC 设 MK=AK= CK=x，则 DK=5-x，同理可得 即MK NK 2.6 SMNK SACK 1 12.6 1.3 2 MNK 的面积最大值为 1.3（情况二） 8. （2011山东烟台，24,10 分）已知：如图，在四边形ABCD 中，ABC90，CDAD， AD2CD22AB2 （1）求证：ABBC； （2）当 BEAD 于 E 时，试证明：BEAECD C

37、 B 【答案】 （1）证明：连接 AC， ABC90， AB2BC2AC2. CDAD，AD2CD2AC2. AD2CD22AB2，AB2BC22AB2， ABBC. （2）证明：过 C 作 CFBE 于 F. BEAD，四边形 CDEF 是矩形. CDEF. ABEBAE90，ABECBF90， BAECBF，BAECBF. AEBF. BEBFEF AECD. 9. 9. (2011 浙江湖州， 22， 8) 如图已知 E、 F 分别是ABCD 的边 BC、 AD 上的点， 且 BE=DF (1) 求证：四边形 AECF 是平行四边形； (2) 若 BC10，BAC90，且四边形 AECF

38、 是菱形，求 BE 的长 AE D 【答案】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，且 AD=BC，AFEC， BE=DF， AF=EC，四边形 AECF 是平行四边形. （2）四边形AECF 是，AECE，12，BAC90，3902， 4901，34，AEBE，BEAECE 1 BC5. 2 1010 （2011宁波市，23，8 分）如图，在ABCD 中，E、F 分别为边 ABCD 的中点，BD 是 对角线，过 A 点作 AGDB 交 CB 的延长线于点 G （1）求证：DEBF； （2）若G90，求证四边形 DEBF 是菱形 解： （1）ABCD 中，ABCD，ABCD E

39、、F 分别为 AB、CD 的中点 11 DF DC，BE AB 22 DFBE，DFBE 四边形 DEBF 为平行四边形 DEBF (2)证明：AGBD GDBC90 DBC 为直角三角形 又F 为边 CD 的中点 1 BF DCDF 2 又四边形 DEBF 为平行四边形 四边形 DEBF 是菱形 11.11. （2011浙江衢州， 22,10 分） 如图，过点A作AE PBC，ABC中，AD是边BC上的中线， 过点D作DE PAB,DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC 求证：AD EC; 当BAC Rt时，求证：四边形ADCE是菱形； 在（2）的条件下，若AB AO，求tanOAD的

40、值. A AE E O O B B C C D D 【答案】.证明：(1) （第 22 题） 解法 1：因为 DE/AB,AE/BC,所以四边形 ABDE 是平行四边形， 所以 AE/BD 且 AE=BD，又因为 AD 是边BC 上的中线，所以 BD=CD， 所以 AE 平行且等于 CD，所以四边形 ADCE 是平行四边形，所以AD=EC. 解法 2：Q DE / /AB, AE / /BC, 四边形ABDE是平行四边形，B EDC AB DE 又Q AD是边BC上的中线 BD CD VABD VEDC(SAS) AD ED (2)解法 1： 证明Q BAC Rt, AD是斜边BC上的中线 A

41、D BD CD 又Q四边形ADCE是平行四边形 Q四边形ADCE是菱形 解法 2 证明：Q DE / /AB,BAC Rt DE AC 又Q四边形ADCE是平行四边形 Q四边形ADCE是菱形 解法 3 证明：Q BAC Rt，AD是斜边BC上的中线 AD BDCD Q四边形ABDE是平行四边形 AE BD CD 又Q AD EC AD CD CE AE 四边形ADCE是菱形 解法 1 解：Q四边形ADCE是菱形 AO CO,AOD 90 又Q BD CD OD是ABC的中位线，则OD Q AB AO OD 1 AO 2 1 AB 2 在RtABC中， tanOAD 解法 2 解：Q四边形ADC

42、E是菱形 OD1 OA2 AO CO Q AB AO AB 1 AC 2 1 AC, AD CD,AOD 90 2 在RtVABC中， tanACB Q AD CD DAC DCA tanOAD tanACB 1 2 AB1 AC2 12.12. （2011浙江省嘉兴，23，12 分）以四边形ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 为斜边分别向 外侧作等腰直角三角形， 直角顶点分别为 E、 F、 G、 H， 顺次连结这四个点， 得四边形 EFGH （1）如图 1，当四边形 ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 是正方形；如图 2， 当四边形 ABCD 为矩形时，请判断：四边形EFGH

43、的形状（不要求证明） ； （2）如图 3，当四边形 ABCD 为一般平行四边形时，设ADC=（090） ， 试用含的代数式表示HAE； 求证：HE=HG； 四边形 EFGH 是什么四边形？并说明理由 H A E B F （第 23 题图 1） H D G C H D G A E B F E B A C D G C F （第 23 题图 3）（第 23 题图 2） 【答案】 （1）四边形 EFGH 是正方形 (2) HAE=90a 在ABCD 中，ABCD，BAD=180ADC=180a； HAD 和 EAB 都是等腰直角三角形，HAD=EAB=45， HAE=360HADEABBAD36045

44、45（180a）90a AEB 和 DGC 都是等腰直角三角形，AE= 22 AB，DG=CD， 22 在ABCD 中，AB=CD，AE=DG，HAD 和 GDC 都是等腰直角三角形， DHA=CDG= 45，HDG=HADADCCDG90aHAE HAD 是等腰直角三角形，HA=HD，HAEHDG，HE=HG 四边形 EFGH 是正方形 由同理可得：GH=GF，FG=FE，HE=HG（已证） ，GH=GF=FG=FE， 四边形 EFGH 是菱形；HAEHDG（已证） ，DHG=AHE， 又AHD=AHGDHG=90，EHG=AHGAHE90， 四边形 EFGH 是正方形 13.13. （20

45、11 福建泉州，21，9 分）如图，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开，再把 ACD 沿 CA 方向平移得到 A1C1D1 (1)证明： A1AD1CC1B； (2)若ACB30， 试问当点 C1在线段 AC 上的什么位置时， 四边形 ABC1D1是菱形.（直 接写出答案） 【答案】【答案】 矩形矩形 ABCDABCD BC=AD,BCBC=AD,BCADAD DAC=DAC=ACBACB 把把 ACDACD 沿沿 CACA 方向平移得到方向平移得到 A A1 1C C1 1D D1 1 A A1 1= =DAC,ADAC,A1 1D D 1 1=AD,AA =AD,AA1 1=CC=CC

46、1 1 D1 D A1 A B C1 C A A1 1= =ACBACB，A A1 1D D1 1=CB=CB。 （第 21 题） A A1 1ADAD1 1CCCC1 1B B（SASSAS） 。66 分分 当当 C C1 1在在 ACAC 中点时四边形中点时四边形 ABCABC1 1D D1 1是菱形，是菱形，99 分分 14.14. （2011 甘肃兰州，27，12 分）已知：如图所示的一张矩形纸片 ABCD（ADAB） ，将 纸片折叠一次，使点 A 与点 C 重合，再展开，折痕 EF 交 AD 边于点 E，交 BC 边于点 F， 分别连结 AF 和 CE。 （1）求证：四边形 AFCE

47、 是菱形； （2）若 AE=10cm，ABF 的面积为 24cm2，求ABF 的周长； （3）在线段 AC 上是否存在一点 P，使得 2AE2=ACAP？若存在，请说明点P 的位置， 并予以证明；若不存在，请说明理由。 AE D O BFC 【答案】 （1）由折叠可知 EFAC，AO=CO ADBC EAO=FCO，AEO=CFO AOECOF EO=FO 四边形 AFCE 是菱形。 （2）由（1）得 AF=AE=10 设 AB=a，BF=b，得 a2+b2=100 ，ab=48 +2得(a+b)2=196，得 a+b=14（另一负值舍去） ABF 的周长为 24cm （3）存在，过点 E 作

48、 AD 的垂线交 AC 于点 P，则点 P 符合题意。 AE D O P CBF 证明：AEP=AOE=90，EAP=OAE AOEAEP AOAE ，得 AE2=AOAP 即 2AE2=2AOAP AEAP 又 AC=2AO 2AE2=ACAP 15.15. （2011 广东株洲，23，8 分）如图，矩形 ABCD 中，点 P 是线段 AD 上一动点，O 为 BD 的中点， PO 的延长线交 BC 于 Q. （1）求证： OP=OQ； （2）若 AD=8 厘米，AB=6 厘米，P 从点 A 出发，以 1 厘米/秒的速度向 D 运动（不与 D 重 合） .设点 P 运动时间为 t 秒， 请用

49、t 表示 PD 的长； 并求 t 为何值时， 四边形 PBQD 是菱形 【答案】 （1）证明：Q四边形 ABCD 是矩形， ADBC， PDO=QBO，又 OB=OD，POD=QOB， PODQOB， OP=OQ。 （2）解法一： PD=8-t 四边形 ABCD 是矩形，A=90， AD=8cm，AB=6cm，BD=10cm，OD=5cm. 当四边形 PBQD 是菱形时， PQBD，POD=A，又ODP=ADB， ODPADB， ODAD58 ，即， PDBD8t10 77 ,即运动时间为秒时，四边形 PBQD 是菱形. 44 解得t 解法二：PD=8-t 当四边形 PBQD 是菱形时，PB=

50、PD=(8-t)cm， 四边形 ABCD 是矩形，A=90，在 RTABP 中，AB=6cm， AP2 AB2 BP2，t 6 (8t)， 解得t 222 77 ,即运动时间为秒时，四边形 PBQD 是菱形. 44 16.16. （2011 江苏苏州， 28,9 分） （本题满分 9 分） 如图， 小慧同学吧一个正三角形纸片 （即 OAB）放在直线 l1上，OA 边与直线 l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点 A 按顺时针方 向旋转 120，此时点 O 运动到了点 O1处，点 B 运动到了点 B1处；小慧又将三角形纸片 AO1B1绕 B1点按顺时针方向旋转120， 点 A 运动到了点 A1处，

51、点 O1运动到了点 O2处 （即 顶点 O 经过上述两次旋转到达O2处）. 小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点 O 运动所形成的图形是两段圆 弧，即弧OO1和弧 O1O2，顶点O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧 与直线 l1 围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、AO1B1的面积和扇形 B1O1O2的面积之 和. 小慧进行类比研究：如图，她把边长为 1 的正方形纸片 OABC 放在直线 l2上，OA 边与直线 l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转 90，此时点O 运动到 了点 O1处（即点 B 处） ，点 C 运动到了点 C1处，点 B 运动

52、到了点 B1处；小慧又将正方形 纸片 AO1C1B1绕 B1点按顺时针方向旋转 90，按上述方法经过若干次旋转后，她提 出了如下问题： 问题：若正方形纸片OABC 按上述方法经过 3 次旋转，求顶点 O 经过的路程，并求 顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形 OABC 按上述方 法经过 5 次旋转，求顶点O 经过的路程； 问题：正方形纸片OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点O 经过的路程是 41 20 2 ？ 2 请你解答上述两个问题. 【答案】解问题：如图，正方形纸片OABC 经过 3 次旋转，顶点 O 运动所形成的图形是 三段弧，即弧 OO1、弧 O1

53、O2以及弧 O2O3， 顶点 O 运动过程中经过的路程为 9019022 2 (1). 1801802 顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为 901290( 2)21 2 211=1+. 3603602 正方形 OABC 经过 5 次旋转，顶点 O 经过的路程为 90190232 3 (). 18018022 问题：方形 OABC 经过 4 次旋转，顶点 O 经过的路程为 9019022 2 (1) 1801802 41 20 221 )+ .=20(1 222 正方形纸片 OABC 经过了 81 次旋转. 17.17. （2011江苏泰州，24，10 分）如图，四边

54、形 ABCD 是矩形，直线 L 垂直平分线段 AC， 垂足为 O，直线 L 分别与线段 AD、CB 的延长线交于点 E、F （1）ABC 与FOA 相似吗？为什么？ （2）试判定四边形 AFCE 的形状，并说明理由 A A D D O O E E l l F F B B C C 【答案】(1)相似.由直线 L 垂直平分线段 AC，所以 AF=FC，FAC=ACF，又 ABC=AOF=90，ABCFOA （2）四边形 AFCE 是菱形。理由：AECF，EAO=FCO， 又AOCO，AOE=COF，AOECOF，AE=CF，又 AECF， 四边形 AFCE 为平行四边形，又AF=FC，所以平行四边

55、形 AFCE 为菱形 18.18. （2011江苏泰州，28，12 分）在平面直角坐标系xoy 中，边长为a（a 为大于 0 的常数） 的正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 P，顶点 A 在 x 轴正半轴上运动，顶点 B 在 y 轴正半轴上运动（x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点O） ，顶点 C、D 都在 第一象限 （1）当BAO=45时，求点 P 的坐标; (2)求证：无论点 A 在 x 轴正半轴上、点 B 在 y 轴正半轴上怎样运动，点 P 都在AOB 的平分线上； （3）设点 P 到 x 轴的距离为 h，试确定 h 的取值范围，并说明理由 y y C C D D B

56、 B P P O OA Ax x 【答案】 解： （1） 当BAO=45时， PAO=90， 在 RtAOB 中， OA 22 a， AB 22 在 RtAPB 中，PA 2222 a。点 P 的坐标为（a，a） AB 2222 （2）过点P 分别作 x 轴、y 轴的垂线垂足分别为 M、N，则有PMA=PNB=NPM= BPA=90，MPA=NPB，又 PAPB，PAMPBN，PM=PN，于是，点 P 都 在AOB 的平分线上； y y C C D D N N B B P P O OMM A Ax x （3） 2aa a。当点 B 与点 O 重合时，点 P 到 AB 的距离为 ，然后顶点 A

57、在 xh 222 轴正半轴上向左运动，顶点B 在 y 轴正半轴上向上运动时，点P 到 AB 的距离逐渐增大，当 BAO=45时，PAx 轴，这时点P 到 AB 的距离最大为 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点O ， 点 P 到 x 轴的距离的取值范围是 2a a，然后又逐渐减小到 ， 22 2a a。 h 22 19.19. （2011 山东济宁，17， 5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 点 O，过点 O 作直线 EFBD，分别交 AD、BC 于点 E 和点 F，求证：四边形BEDF 是 菱形 A E D O BF C 第 17 题 【答案】证明：四

58、边形ABCD 是菱形， ADBC，OB=OD，1分 EDO=FBO，OED=OFB，2分 OEDOFB， DE=BF，3分 又DEBF， 四边形 BEDF 是平行四边形，4分 EFBD， 四边形 BEDF 是菱形5分 2020 （2011山东聊城，25，12 分）如图，在矩形ABCD 中，AB12cm，BC8cm，点E、F、 G 分别从点 A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点 E、G 的速度 均为 2cm/s，点 F 的速度为 4cm/s，当点F 追上点 G（即点 F 与点 G 重合）时，三个点 随之停止移动设移动开始后第t 秒时， EFG 的面积为 S（cm2） （1）当 t1 秒时，S 的值是多少？ （2）写出 S 和 t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围 （3）若点 F 在