3-3大数定律与中心极限定理.ppt

1、,研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:,下面我们先介绍大数定律,3.4大数定律与中心极限定理,字母使用频率,大量的随机现象中平均结果的稳定性,大数定律的客观背景,大量抛掷硬币 正面出现频率,生产过程中的 废品率,阐明大量的随机现象平均结果的稳定性的一系,列定理统称为大数定律。,依概率收敛,与微积分学中的收敛性的概念类似, 在概率论中, 我们要考虑随机变量序列的收敛性.,的概率几乎等于1，即,则称随机变量序列 Xn 依概率收敛于,记作,切比雪夫不等式.,的概率越大, 即, 随机变量集中在期望附近的可能性越大. 由此可见,方

2、差刻划了随机变量取值的离散程度.,例1 已知正常男性成人血液中, 每一毫升白细胞数平均是7300, 均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率.,解设每毫升白细胞数为,依题意,所求概率为,由切比雪夫不等式,即每毫升白细胞数在5200 9400之间的概率不小于8/9.,几个常见的大数定律,定理1（Chebyshev切比雪夫大数定律）,切比雪夫,依概率收敛于其数学期望,.,切比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的科学描述,推论 设随机变量序列 Xn 独立且都服从某,个分布，它们的数学期望及方差均存在，,即,注 一般地，我们要求出随机变量 X 的数学期,来估计EX

3、。当n充分大时，偏差不会太大。,机变量X的分布时求EX的方法，即用,知道EX，上述的推论告诉了我们,在不知随,我们往往在不知随机变量X的分布时，希望,望，必须知道随机变量X的分布。但实际中，,这一点我们将会在数理统计中看到。,定理2 (伯努利大数定律) 设 是 重伯努利试,验中事件A出现的次数,又A在每次试验中出,即,有,注贝努里大数定律从理论上证明了频率的稳定性,下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.,设随机变量序列X1,X2, 独立同分布，且数学期望E (Xi )=, i=1,2,， 则对任给 0 ，,定理3（辛钦大数定律）,辛钦,注 （1）辛钦大数定律与定理1的推论

4、的区别 在，辛钦大数定律与方差无关。,（3）贝努里大数定律是辛钦大数定律的特 例,而辛钦大数定律在应用中是非常重 要的。,（2） 由于证明辛钦大数定律要用特征函数 的知识，故证明略。,二、中心极限定理,中心极限定理的客观背景,在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.,例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.,空气阻力所产生的误差，,对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.,如瞄准时的误差，,炮弹或炮身结构所引起的误差等.,观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布.,

5、自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.,现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.,在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.,中心极限定理回答了大量独立随机变量和的 近似分布问题, 其结论表明: 当一个量受许多随机 因素(主导因素除外) 的共同影响而随机取值, 则它 的分布就近似服从正态分布.,定理1 李雅普诺夫定理,设随机变量 相互独立 , 它们具有数学期望和方差:,注：定理1表明, 在定理的条件下, 随机变量,近似地服从正态分布,这就是说,无论各个随机变量 服从什么分布,只要,定理2（独立同分布下的中心极限定理

6、）,设 X1, X2, , Xn 是独立同分布的随机 变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,n，则,注 1）证明所需要的知识已超出范围，证明略。,列维一林德伯格（LevyLindberg）定理.,独立同分布，且它们的数学期,2）中 心极限 定理表明，若 随 机 变 量 序 列,望及方差存在，则当n充分大时，其和的分布,3）中心定理还表明：无论每一个随机变量,服从什么分布，只要每一个随机变量,标准正态分布）,例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服 从均值为100小时的指数分布. 现随机地取 16只,设它们的寿命是相互独立的. 求这16 只元件的寿命的总和大于1920小时的概

7、率.,由题给条件知，诸Xi独立，,16只元件的寿命的总和为,解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, ,16,E(Xi)=100, D(Xi)=10000,依题意，所求为P(Y1920),由题给条件知,诸Xi独立,16只元件的寿命的总和为,解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, ,16,E(Xi)=100,D(Xi)=10000,依题意，所求为P(Y1920),由于E(Y)=1600,D(Y)=160000,P(Y1920)=1-P(Y1920),=1-(0.8),1-,=1-0.7881=0.2119,定理3 (棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理) 设 是 重伯努利试验中事件A出

8、现的次数, 又A在每次试验中出现的概率为 则对于任意的实数 有:,注 1）德莫佛拉普拉斯定理表明:二项分布,以正态分布为极限;,2) 棣莫佛拉普拉斯定理是中心极限定理,的特殊情况.,设 为 重贝努里试验中事件A发生的频率, p为每次试验,用频率估计概率的误差,这个关系式可用来解决频率估计概率的计算问题:,中事件A发生的概率 , 由棣莫佛拉普拉斯定理,有,解 设 表示某一时刻机器开动的台数,则,设电厂至少要供应 个单位的电能,则由题意,有,由棣莫弗-拉普拉斯定理,有,查表得,应有,故至少须向该车间供应2261个单位的电能,才,能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.,看作是相互独立同分布的

9、随机变量,而总重量,是独立同分布的随机变量之和.,是所求得箱数,由条件可以把,由林德伯格-列维定理,即 必须满足,即最多可以装98箱。,例4 对敌人的防御工事用炮火进行 100 次轰击, 设每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其 数学期望为 2, 均方差为 1.5 . 如果各次轰击 命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击 (1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率.,解 设 X k 表示第 k 次轰击命中的炮弹数,相互独立，,设 X 表示100次轰击命中的炮弹数, 则,(1),(2),例5 售报员在报摊上卖报, 已知每个过路人在 报摊上买报的概率为1/3. 令X 是出售了100份 报时过路人的数目，求 P (280 X 320).,