54奈奎斯特稳定判据.ppt

1、5.4.1会聚角原理5.4.2奈奎斯特稳定判据5.4.3系统对于积分环节时奈奎斯特稳定判据的应用示例、5.4奈奎斯特稳定判据、5.4会聚角原理，对于一个复变，函数F(s )是复变量s的单值函数，s在整个s平面内变化例如，s平面上的点(-1，j1)和F(s )平面上所映射的点是(0，-j1)。参照下图，由F(s )的值域构成的复数平面被称为F(s )的s平面上的每个点根据给定的函数关系被映射在F(s )平面上的相应点处。 其中，s平面上的所有零点与F(s )平面上的原点映射，s平面上的极点在F(s )平面上映射时为无穷远点。 s平面上除零、极以外的通常点，在F(s )平面上映射是除原点以外的有限

2、远点。 s平面上的点s1在F(s )平面上映射的点F(s1 )，矢量的大小为矢量的相角为Re、Im、s平面、F(s )平面、ds点为(-1， 假设j0)，F(s )平面上的向量的大小是- 1，向量的相角是180。当在s平面上移动点s通过某条曲线CS到达s2时，在F(s )平面上映射的也是曲线CF，所以该曲线完全只表示移动点s从s1到s2的相角的变化量假设s平面上的移动点沿着与虚轴平行的直线、从(-1，j1 )到(-1，j0 )在F(s )平面上具有映射点的变点s沿着CS顺时针旋转一周，当连续取值时，在F(s )平面上也映射闭合曲线CF。 s平面上用阴影线表示的区域称为CS的内部区域。 因为我们

3、规定按时间顺序旋转，所以内部地区总是在行进方向的右侧。 在F(s )平面上，由CS映射获得的闭合曲线CF的形状和位置严格取决于CS。 另外，在这样的映射关系中，重要的点是，不需要知道包围线CS的正确的形状和位置，只要知道其内区域中包含的零点和极点的数量，就能够预测包围线CF包围坐标原点和包围原点几次，相反，所给出的包围线CF是否包围原点和包围原点另外，1 .周线CS既不包括零点也不包括极点，如图所示，当在s平面上变点s沿周线CS顺时针旋转一周时，考察F(S )中的各因子项的宽度的变化规则。 以图中未包围的零点-2为例。 当变点s沿CS绕一周时，因子(s 2)的幅度a的改变为0。 同样，对于未被

4、包围的极也同样，在因子项(s 0)的宽度b的变点s沿CS绕1周后的变化也等于0。 然后，映射在F(S )平面上，拐点F(S )沿CF绕1周后的宽度变化也应该为0。 这表示此时包围线CF不包围原点。 2 .周线CS仅包围零点而不包围极点，如图所示，周线CS包围零点z=-2，调查因子(s 2)的宽度a，如果变点s沿着CS顺时针旋转一周，则a的变化为-360。 沿与F(S )平面上的相对应变点F(S )映射的CF绕1周后的振幅变化也必须等于-360。 的双曲馀弦值。 同样，如果周线CS的内侧区域包含z个零点(但不包含极点)，则CF必须以时间修正的方式将原点围绕z周。 3 .周线CS仅包围极点而不包围

5、零点。 在这种情况下，如该图所示，当周线CS包围极点时，变点s沿着CS顺时针旋转一周，因子(s 0)-1的振幅-b变化360。 映射在F(S )平面上，框线CF必须围绕原点逆时针旋转一次。同样地，在周线CS的内部区域仅包含p个极的情况下，应该是CF绕逆时针方向将原点包围p圈，或者是CF绕逆时针方向将原点包围p圈。 4 .围线CS包围z个零点和p个极点，如上述讨论可知，当变点s沿CS顺时针旋转一周时，CF应该顺时针包围原点ZP次数。 即，CF以时间校正的方式围绕原点次数N=ZP。 这就是所谓的振幅原理。 柯西宽度角原理： s平面上不通过F(s )的特异点的闭合曲线CS，包围着s平面上F(s )的

6、z个零点和p个极点。 当s沿闭合曲线CS向顺时针方向旋转一周时，在F(s )平面上，与闭合曲线CF相对应地向顺时针方向绕原点旋转r圈。 r、z和p之间的关系是R=P-Z。 如果r为负，则表示CF顺时针移动，包围原点；如果r为0，则表示CF顺时针移动，不包围原点；如果r为正，则表示CF逆时针移动，包围原点。 5.4.2尼奎斯特稳定判定标准，尼奎斯特当时巧妙应用宽角原理得到了尼奎斯特稳定判定标准。 如该图所示，可以清楚的是，如果假设，则等于0的迭代素函数是闭环特征方程。 复素函数的次数是n次，分子分母是相同的次数。 复素函数可以记述如下。 式中，F(s )的零、极。 从(a )、(b )和(c )

7、式可以看出，F(s )的极点是开环传递函数的极点，F(s )的零点是闭环传递函数的极点，按此顺序进行喀呖声。 在一个操纵系统中，如果特征路线位于s右半平面，则系统变得不稳定。 对于以上讨论的重复素函数F(s)1Gk(s )，由于其零点正好是闭环系统的极点，所以如果明确F(s )零点在s右半平面的个数，则能够得出稳定性结论。 如果F(s )的右半零点个数为零，则闭环系统稳定。 由于奈奎斯特曲线应用柯西幅度原理来研究闭环系统的稳定性，如果s平面的闭合曲线能够包围整个s右半平面，则该闭合曲线在F(s )平面上的映射原点所包围的次数假定为R=F(s )的右半极数F(s )，因此在此解决了两个问题1 .

8、如何建构围绕整个s右半平面的闭合曲线，满足柯西宽度的条件2 .如何确定对应的图F(s )相对于原点的包围次数n，并将其与开环频率特性Gk(jw )相关联？正虚轴：第一个问题：首先F(s )。 s的右半部分的平面整体按时间修正用曲线CS包围。 此封闭曲线称为奈奎斯特路径。 如下图所示。 这是因为，对于右半平面上半径无限大的半圆：负的虚轴：F(s )平面上的映射，将s=Rejq代入F(s )，在r、q :中得到第二部分的映射，得到映射曲线，则能够根据柯西宽度角定理校正R=P Z，式中的z、p是f 如果知道p，确定n，就可以求出Z=P -R。 当Z=0时，系统变得稳定和不稳定。 以s=jw代入F(s

9、 )，使w从0变化，得到第一部分的映射。 用s=jw代入F(s )，从0得到第三部分的映射。 F(s )原点的包围相当于Gk(s )对(-1，j0)的包围。 即，映射曲线F(s )相对于原点的包围次数n与Gk(s )相对于(-1，j0 )点的包围次数相同。 Nyquist pass的第一部分的映射是Gk(jw )曲线向右偏移1，F(s )的极是Gk(s )的极，该F(s )的右半平面的极数是Gk(s )的右半平面的极数。 可以从Gk(jw )计算F(jw )，其中Gk(jw )是开环频率特性。 第二个问题：如何确定相应的图F(s )相对于原点的包围次数n，并将其与开环频率特性Gk(jw )相关

10、联，Nyquist结构的F(s)1Gk(s )和Gk(s )是开环传递函数。 因此，由于通常在Gk(s )中分母的次数比分子的次数高，所以当s=ejq时，第二部分映射为Gk(s)0，即F(s)=1。 分母的次数=分子次数，Gk(s)K (零极形式的开环男同志)，即F(s)=1 K。的双曲馀弦值。 第一部分的映射是关于第一部分的映射的实轴的对称性。 根据以上讨论，如果将柯西振幅定理中的闭合曲线设为奈奎斯特路径，则能够将柯西振幅定理用于闭环系统的稳定性的判断。 下述尼奎斯特稳定判定标准。 Nyquist稳定判定基准：系统的开环传递函数在右半平面中有p个极，当开环频率特性曲线对(1，j0 )点所包围

11、的次数为r、(N 0逆时针)时，闭环系统在右半平面处的极数为Z=P-R。 Z=0时闭环系统稳定，否则不稳定。 尼奎斯特稳定判定基准的另一个记载：设开环系传递函数Gk(s )的右半s平面上的极数为p，则闭环系稳定的关一盏茶要件是，当Gk(s )平面上的开环频率特性曲线及其镜像从w变化时，在逆时针方向上为(1，j0) 在围绕点p的开环系统稳定时，如果P=0，则闭环系统稳定所需的一盏茶是：开环频率特性曲线及其镜像不围绕(1，j0 )点。 不稳定闭环系统在s右半平面的极数是Z=P-R。 例如开环传递函数为：试用奈判断闭环系统的稳定性。 解：当残奥仪表k、T1、T2为任意正值时，P=0。 开环系统的奈氏

12、图如右。 如果s右半平面处的极点数为0、围绕(1，j0 )点的匝数R=0，则闭环系统在s右半平面处的个数： Z=P-R=0。 闭环系统是稳定的。 另外，可以作为对比求出闭环传递函数，劳斯-赫尔维茨判断闭环系统稳定。 以开环系统的传递函数为例，试用奈判断闭环系统的稳定性。 解：K=52时，开环电极为1、1j2，全部位于s左半平面，因此P=0。 奈氏图如右。 从图中可以看出，奈氏图按时间修正绕(1，j0)点两周。 因此，闭环系统的s右半极数为Z=P-R=2，闭环系统不稳定。 的双曲馀弦值。 在稳定系统，即K 26时，奈氏图不包围(1，j0 )点。 的双曲馀弦值。 如果是K 1，请求K 10。 系统

13、稳定的条件是10 K 26。 上述结论也可以从劳斯赫尔维茨的判断标准中得出。 劳斯阵列：在稳定系统中，第一列都大于0，因此得到10 K 26。 解：开环系奈氏图是半径，有中心的圆。 由图可知，在K 1时，奈氏曲线逆时针绕(1，j0)点一周，如果R=1，P=1，则Z=P-R=0闭环系统稳定。 明显的，K 1包括点(1，j0)，并且K 1不包括点(1，j0)。 K=1时通过(1，j0)点。 K=1时，奈氏曲线通过(1，j0)点，处于临界稳定状态。 K1时，奈氏曲线不包围(1，j0 )点，R=0，P=1，Z=P-R=1，闭环系统不稳定。 上面讨论的奈奎斯特的判断标准和例子都是假定虚轴没有开环极，即开

14、环系统全部为0型，这是因为满足柯西幅角定理的条件。 但是，在式的开环系统中，由于在虚轴上(原点)具有极点，所以不能用柯西振幅定理判断闭环系统的稳定性。 为了解决这个问题，需要重新构建奈奎斯特路径。 5.4.3系统包括积分环节时奈奎斯特稳定判据的应用，开环具有0的极系统，可知其开环传递函数：原点有v重0极. 即，在s=0点时，不进行Gk(s )解析，在奈路径相同的情况下(包围穿过虚拟轴的整个s右半平面的半圆)，不满足柯西振幅定理。 为了使奈氏路径不通过原点而能够包围s的右半平面整体，重构奈氏路径以原点为中心，半径无限小，形成右半圆。 此时奈奎斯特路径由以下4个部分组成：半径为无限小的右半圆，下面

15、讨论对于该奈奎斯特路径的映射：1，第和第部分：通常的奈奎斯特图，关于实轴对称2，第一部分：假设分母的阶数高于分子的阶数，正虚轴：右半平面上的半径为无限大的半圆：负虚轴：对于(b )型系统：代入奈氏路径中的点：该段的映射是半径从p变为p的整个圆(顺时针)。 的双曲馀弦值。 因此，此段的映射是半径为且角度由变为的右半圆。 3、第部分：关于(a )型系统：代入奈氏路径中点得到：结论采用上述形式的奈氏路径，奈氏判断标准也适用于型系统。 试用奈确定闭环系统的稳定性，因为示例、-1、-1、以及示例类型的系统的开环频率特性如下图所示，并且在s右半平面上没有点。 解：首先画出完整奈氏曲线的映射曲线。 如右图：所示，