数学建模改进版

1、项目名称：不同形状烤盘的最优选择分析 参赛学院：会计学院 参赛班级: 注会11-1班 参赛人员：田婧 李继斌 袁明会摘要随着科技和时代的进步，越来越多的家庭厨具进入我们的生活，烤箱就是其中之一，当然伴随而来的烘烤食品也成为了最普通的需求之一。基于生活常识，可知不同形状的烤盘不仅对烘焙的效率和质量也有着明显的差别，而且对烤箱的利用空间有着不同的影响，由此引出了许多关于烤盘选择的问题。在此我们主要分析了烤箱的利用空间和烘焙质量的问题，并将其划分为2 个子问题，并且每一个都建立了相应的数学模型，得出了相应的结论。第一个子问题是不同形状烤盘所造成的温度差异，我们分析了正多边形、圆、椭圆和圆角矩形，得出

2、了远交矩形能够更好的利用空间；第二个子问题是无约束优化模拟烤盘内热量的分析，得出用一个矩形烤盘烘焙时，热量会集中在四个角落里，这四个角落里的食物会被烘焙过度（边缘上的食物烘焙的程度会轻一些）,用一个圆形烤盘烘焙时，热量会均匀地分配到整个外边缘，这也是角落里的食物就不会被过度烘焙的原因。基于上述两个子问题，我们进行了综合评价和最终评价，得出了圆形、正六边形和正方形的拟合曲线，进而得出最终的结果是随烤盘的长宽比 WL 和权重 P 的变化而变化的。特别是进行了模型分析、评价与改进同时又设置了后续工作，为的是进一步的改进和完善模型的建立，甚至是重新选择。关键词：不同形状、温度差异、热量分布、拟合曲线、

3、评价与改进AbstractWith the development of science and technology , more and more household appliances into our lives, the oven is one of them. Of course, with the baked food will become one of the most common requirements. Based on the common sense different shapes of the tray have obvious differences no

4、t only on the efficiency and the quality of baking , but also on the space use oven, which leads to many ray selection problems.Here we mainly analyze the space use oven and baking quality problems. It can be divided into 2 sub problems, and each one has established the corresponding mathematical mo

5、del, and has drawn the corresponding conclusions. In the first part, we discuss the temperature differences caused by different shapes of pans, and we analyze the regular polygon, circle, ellipse and rounded rectangle, and the rectangle can make better use of space. In the second part ,we analyze co

6、nstrained optimization heat simulation inside the oven .In the end, it shows if we use a rectangular oven to bake, heat will be concentrated on the four corners, and in the four corners the food are baked over (on the edge of the oven food baking degree will be lighter).If we use a round pan to bake

7、, heat will be evenly into the outer edge, which is why the food in the corner will not be excessively baking. Based on the above two sub-problems, we conducted a comprehensive evaluation and final evaluation, and get a round, hexagonal and square fitting curve, and then the final results will chang

8、e with the length- width WL and weight P. Especially we make the model analysis, evaluation and improvement and the follow-up work at the same time, in order to further improve and perfect the model, even to choose again .Keywords: different shapes, temperature differences, heat distribution, fittin

9、g curve, evaluation improvement目录1. 引言 .4 1.1 背景 . .41.2 问题重述 . . 42. 假设 .53. 符号表.64模型 . 74.1 模型 1: 不同形状烤盘所造成的温度差异. 74.2 模型 2：无约束优化模拟烤盘内热量的分析. 104.3 模型 3： 综合评价标准 . 124.4 模型 4： 最终评价标准- . . 155. 模型分析、评价与改进. .18 5.1优缺点分析 . .18 5.2灵敏度分析 . 196. 后续工作 .19 7. 参考文献 .19 1. 引言 1.1 背景随着社会的发展，越来越多的现代化设备被人们所使用，他们

10、被用来生产各种食品用品。我们最常见的糕点（几乎每个人都喜欢的食品），烘焙是其制作的“必经之路”。然而，在烘焙工程中常会出现一些不理想的状况，最常见的是以下两种：用一个矩形烤盘烘焙时，烤盘四个角落里的食物会被烘焙过度（边缘上的食物烘焙的程度会轻一些）；但用一个圆形烤盘烘焙时，没有这种现象。但烤箱一般是矩形的，所以圆形烤盘不能充分利用空间。这是由于各种不同形状烤盘上热的传播问题，从而引出了怎样选择烤盘形状的问题（矩形、圆形或者二者之间的形状）。另外，还要考虑生产量的问题。因此，不同的人肯定有着不同的选择。1.2 问题重述当在电烤箱中烘焙时，烤盘的形状对食品的质量和数量都有影响。对于前者，在矩形烤盘

11、中容易烤焦，但在圆形烤盘中没有这种现象。对于后者，由于大多数的烤箱都是长方形的，如果用圆形烤盘就浪费了烤箱的空间，降低了工作效率。 经过分析后，我们将这个问题划分为 4 个子问题：1)不同形状的烤盘所造成的温度差异，烤盘形状从长方形过渡到圆形；2) 什么形状的烤盘一次放入烤箱中的数量最多(N)，即产出量最高；3) 什么形状的烤盘温度分布最均匀(H)，即考出来的食品质量最好；4) 综合考虑 2）和 3）两个问题，并分别赋予权重 p 和 (1- p)，分析问题结论随 W/L 和 p 值的变化。备注：电烤箱工作原理电烤箱利用电热元件所发出的辐射热来烘烤食品，利用它我们可以制作烤鸡、烤鸭、烘烤面包、糕

12、点等。根据烘烤食品的不同需要，电烤箱的温度一般可在50-250范围内调节。电烤箱主要由箱体、电热元件、调温器、定时器和功率调节开关等构成。其箱体主要由外壳、中隔层、内胆组成三层结构，在内胆的前后边上形成卷边，以隔断腔体空气；在外层腔体中充填绝缘的膨胀珍珠岩制品，使外壳温度大大减低；同时在门的下面安装弹簧结构，使门始终压紧在门框上，使之有较好的密封性。 电烤箱的加热方式可分为面火（上加热器加热）、底火（下加热器加热）和上下同时加热三种。2. 假设1) 烤箱的长宽比（W/L）是确定的；2) 每个烤盘面积确定为A；3) 假设烤箱里有两个等间隔的烤架条件；4) 烤箱能容纳烤盘的最大数量N；5) 烤盘上

13、均匀传播的最大热量是H；6) 确定条件1和2的权重p和1-p来论证当长宽比或者p变化时结果的变化情况为一个新的布朗尼杂志上制作一个一到两页的广告，并在其中强调你的研究结果。3. 符号表- 角系数S- -面积K-周长与面积的比a- -椭圆的长半轴b- -椭圆的短半轴ti,j,m- -时刻 m 在(i, j)点的温度E（t）- -平均温度W- -烤箱宽L- -烤箱长A- -烤箱面积P- -权重N-烤盘的最大数量n- 正 N 边形F1-温度分布平均程度评价标准F2-烤盘最大数量评价标准F0-最终评价标准4.模 型4.1 模型1：不同形状烤盘所造成的温度差异当我们用矩形烤盘烘烤食物时，由于热量集中在烤

14、盘的四个角上，因此四个角上的物体会因过度受热（以及在较小程度的边缘处）而变焦。如果用圆形烤盘，热量会平均分布在整个外围边缘，在外围的物体就不会过度受热。然而，由于大多数的烤箱都是矩形的，所以用圆形的烤盘就不能较好的利用烤箱的空间。给烘烤食物的朋友带来很大的不便。因此建立了一个定面积求周长的模型来分析热量在圆形和矩形及它们之间的其它形状的烤盘外边缘的分布。由于食物接收到的热量与食物和空气接触的面积有关，比较小的部位和边缘易烤焦，现在建立的模型，使烤盘的周长L与面积S的比最小，说明食物接收的热量较均匀。考虑到烤盘的形状较多为规则多边形、椭圆，对单位面积的烤盘形状对热量的影响讨论如下：1）、单位面积

15、的正多边形： 设多边形边长为l,共有n条边，将正多边形分成n个等腰三角形。图1由图1可得每个三角形的面积为： （1.1）其中单位面积求多边形周长的公式为： （1.2） 可得计算边长与面积比的关系式：K (1.3)2)、单位面积的圆：对单位面积的各多边形烤盘求（从四边形到圆之间的正多边形）的周长与面积比的MATLAB程序作图如下： 图2：各多边形的周长 图3：各多边形及圆周长与面积的比周长与面积的比值结果分析：当多边形的边长越多时，周长无限接近于圆。即相同面积的烤盘，圆形时周长最短。周长与面积比最小，烤盘上的热量越均匀，实物越不易烤焦。3）、单位面积的椭圆： 已知椭圆周长和面积的计算公式：（1.

16、4） (1.5) 单位面积椭圆周长的计算公式：(1.6)(1.7)将(1.4)、(1.5)式代人式(1.6)求偏倒并令之等于零得：(1.8)(1.9)由于显然不符合逻辑。所以当时，椭圆演变为圆，此时仍可说明圆是使食物不易被烤焦的最佳选择，但考虑到圆形烤盘和椭圆烤盘在一般矩形烤架内空间利用率不大，所以我们想到了圆角矩形。4）、圆角矩形：考虑到矩形在烤箱中的利用率比圆形高，但由于其形状的原因对食物的烘烤出的质量的影响我们可以考虑结合矩形与圆的优缺，避免各子的缺点，可已将二者结合将矩形的四角变化成1/4圆弧从而可以很好的利用二者各自的优点，从而达到最优。4.2模型2：无约束优化模拟烤盘内热量的分布在

17、模型I中，说明了食物在烤盘角处变焦的原因，但从本质上讲，食物通过烤箱加热管释放的辐射能加热，再通过热传导使整个食物变熟。因此食物在烤箱中接收辐射热的多少决定了食物的成熟度。因此，研究烤盘周边的热量分布成为了相当必要的工作。我们采用无约束优化模拟烤盘内热量的分布。因此我们采用了两种优化方法来模拟烤盘内热量的分布：最速下降法和牛顿法。最速下降法又称为梯度法，它是以负梯度方向的极小化算法，相邻两次的搜索方向是相互直交的寻找目标函数法 。牛顿法利用目标函数在迭代点处的Taylor展开式作为模型函数，并利用这个二次模型函数的极小点序列去逼近目标函数的极小点。设无约束目标函数为周长与面积的比值 (1.10

18、)其中，一阶连续可微。基本思想是从当前出发，取函数在点处下降最快的方向作为我们的搜索方向。Taylor公式(1.11)由的Taylor展开式知(1.12)略去t的高阶无穷小项目不计，可见取时，函数值下降的最多。于是，我们建立了最速下降法和牛顿法的模型来模拟矩形烤盘。结果与分析：MAYLAB试验程序运行结果如图4： 图4 烤盘温度场的分布 由图4知，边角的食物在加热过程中会接收较多的辐射热，因此从食物接收热量多少的本质上揭示了边角食物易焦的原因。这也说明了用一个矩形烤盘烘焙时，热量会集中在四个角落里，这四个角落里的食物会被烘焙过度（边缘上的食物烘焙的程度会轻一些）,用一个圆形烤盘烘焙时，热量会均

19、匀地分配到整个外边缘，这样，角落里的食物就不会被过度烘焙的原因。4.3模型3：综合评价标准我们假设烤箱的面积 S=8000 * ，烤盘的面积 A=400* ，烤盘宽度 W=80 cm，p=0.5。我们由模型 3 得到了温度分布平均程度评价标准 F1 F1=*w1+*w2+nw3( =1/A(ti,jE(t) *(ti,jE(t) 为盘外缘热量平均度评估标准)（=1/A(ti,jE(t) *(ti,jE(t)（i=1,210）为盘的纵深热量平均度评估标准）现在，我们给出填充标准来评价最大数量的布朗尼盘 F2=N/|S/A|接着，我们考虑权重 p 和（1-p）。这样，我们得到了综合评价标准 F0=

20、F1(1-p)+F2*p我们得到了如下图所示的数据表F1F2F3矩形0.10.六边形0.0.750.圆形0.980040.70.84002由表格我们可以得到结论，当 W=80cm，p=0.5 时，最佳选择是矩形为了进一步说明问题，我们给出了如下图所示的拟合曲线F1关于 n 的拟合曲线（p=0.5，W=80cm）图5F2关于 n 的拟合曲线（p=0.5，W=80cm）图6F0关于 n 的拟合曲线（p=0.5，W=80cm）图7通过F0关于 n 的拟合曲线（p=0.5，W=80cm），我们可以确定，根据我们的假设，矩形是最佳选择。4.4模型 4：最终评价标准1）F1=F1(n)见图 5, 6, 7

21、2）F2=F2(W,n)图8F0=F1（1-p）+F2p=F0(n,W,p)1）固定 n 和 p图92）固定 n 和 W图105、模型分析、评价与改进5.1优缺点分析析针对于模型一来说现在科学中所使用的椭圆周长都是近似值，这是科学的遗憾之一，也是模型一的缺点之一，但是它比较直观的阐述了不同形状的烤盘的受热情况。对于模型二来说，它从图中比较直观的说明了看盘内不同地方受热情况,但是它缺少了不同形状烤盘内受热的演变过程,但是二者形成了互补,比较清晰的阐述了不同形状烤盘的温度差异。 从总体方面来说，烤箱烤盘有大量不同的形状从矩形到圆形，以及介于它们之间的形状。随着n的增加，空间填充模型越来越复杂，因此F关于n的函数的数据相对较少，基于这些数据建立的拟合曲线存在误差。5.2灵敏度分析2/F0是关于n，W, p的函数 (1) 我们设定W=80cm。对于n（