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文档简介

1、1.4 勒贝格积分和Lp空间 1.4.1 测度，可测集 定义1.4.1（开集的测度） 设E是直线R上 的有界开集，定义E的测度为它的一切构 成区间长度之和。,定义1.4.2（闭集的测度） 设F为直线R上的有界闭集，若F含于 （a，b），则有G = （a，b）- F，G是一 有界开集，定义 F 的测度为： m F =（b - a）- m G,定义1.4.3 （外测度和内测度） 设E为直线R上的任一有界点集，称所有包含E的开集的测度的下确界，为E的外测度，记作m*E。 把所有含于E中的闭集的测度的上确界称为集E的内测度，记作m*E。,定义1.4.4（可测集） 设E是直线R上的有界点集，若 m*E

2、= m*E，则称E为勒贝格可测集，它的内外测度的共同值就称为E的勒贝格测度，记作mE。,1.4.2 可测函数 定义1.4.7（L可测函数） 设E为直线R上的可测集（有界或者无界），f ( x ) 是定义在E上的实值函数，如果对于任何实数a，集合 E ( f a ) = x f ( x ) a, xE 都是L可测的，就称f ( x ) 是E上的勒贝格可测函数，简称L可测函数或可测函数。,定理1.4.8（函数L可测的充要条件） 函数 f ( x ) 在可测集E上可测的充要 条件是对于任何实数与 ，集合 E( f ) = x f(x) , xE 是L可测的。,“几乎处处”的定义,1.4.3 勒贝格积分 定义1.4.10（有限测度集上的勒贝格积分）,如果不论 , 如何分割和 i 如何选取，当 n ，且 () 0 时， () 的极限存在且相等，就称 f ( x ) 在 E 上是勒贝格可积的， () 的极限值就称作 f(x)在E上的勒贝格积分或简称L积分，记作,定理1.4.11（勒贝格积分存在条件） 设 mE ，则 E 上任何有界可测函数 f ( x ) 都是L可积的，若 f ( x ) ，则有不等式,1.4.4 Lp(E)函数空间 设 E 是 L 可测集， E 上 p 幂可积函数f（ f(x)p 在 E 上 L 可积）的全体组成之集合称为 L

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