2019 08 02 方法精讲-数量4 高照

1、 方法精讲-数量 4 主讲教师：高照 授课时间：2019.08.02 粉笔公考微信 1 方法精讲方法精讲- -数量数量 4 4（笔记）（笔记） 学习任务： 1.课程内容：最值问题、排列组合与概率 2.授课时长：3小时 3.对应讲义：183页190页 4.重点内容： （1）掌握最不利构造、构造数列问题的特征及解题方法，快速解决函数 问题 （2）掌握常用的排列组合公式，理解分类讨论与分步计算的区别，了解 枚举法的适用范围 （3）掌握捆绑法、插空法、插板法、环形排列的适用范围和使用步骤，掌 握错位排列的条件识别特征并记住常见的错排数 （4）掌握概率情况两种题型的解题思路，正难反易则从求解 第九节 最

2、值问题 【注意】最值问题：问的是“最”的情况。 一、最不利构造 【知识点】最不利构造： 1.特征：至少（最少）保证。 2.方法：答案=最不利情形+1。+1 才能保证； “无论如何，至少” ，就 是“至少保证” 。 3.例：省考结束后，大家都进面了，有段等成绩的时间是空闲的，所以公 司举行了休班活动，现在前台有一个筐，筐里面有一些球，其中有红球 2 个， 黄球 2 个，黑球 1 个，共 5 个球，摸到红球就可以休班，摸到红球的概率是 2/5=40%。单位有个同事很厉害，每次都是摸红球，老师比较惨，一摸就是黄 2 球，有一天老师摸了个黄球，同事想让老师帮忙摸黄球（怕自己不上班拿工资 不太好） ，老

3、师同意了，帮忙摸球，一摸给摸了一个黄球。此时老板来了，问 老师在干什么，老师说在研究概率问题。老板说那你摸球吧，摸到红球给你休 班，放你 10 天假，结果老师摸了 1 个黑球。此时还剩 2 个红球，老板开始安 排工作， 同事手一到了红球就跑了。 问至少摸多少次， 才能保证摸到红球， 前面摸了 3 次都摸不到，只要再摸一次就可以摸到红球，这就是最不利情形， +1 是为了保证。 4.最不利： （1）够，那就少一个。就像大学考试时的 60 分，多一分浪费，少一 分受罪。有次考试老师给了 59 分，由于你没交作业，逃过一次课，所以明明 可以给 60 分，就不给你 60 分，给你 59 分。 （2）不够

4、，那就全给你。你可以吃 10 个西瓜，就给你吃 9 个，再不给你 了，此时就算给你 5 个、10 个香蕉都没用，因为你爱吃的是西瓜，无关的给多 少都没用；就像爱情，你把你最爱吃的给了他，他还不爱你，因为你给他的不 是他爱的，给多少都没用。 【例 1】 （2014 山东）在 2011 年世界产权组织公布的公司全球专利申请排名 中，中国中兴公司提交了 2826 项专利申请，日本松下公司申请了 2463 项，中国 华为公司申请了 1831 项，分别排名前 3 位，从这三个公司申请的专利中至少拿 出多少项专利，才能保证拿出的专利一定有 2110 项是同一公司申请的专利？ A.6049 B.6050 C

5、.6327 D.6328 【解析】例 1.“至少保证” ，把重点字圈起来，本题为最坏+1。最坏的 情况：2826 和 2463 都够 2110，够，就都给 2109；1831 不够 2109，就都给，最 后再加 1 来保证。故需要拿出专利 2109+2109+1831+1，此时任意抽都能保证拿 出的是 2110 项，不用计算，尾数为 0，对应 B 项。 【选 B】 【注意】1.山东也有简单题，可怕的是做了前两道都不会，后面就直接蒙题 了。 2.题目为最坏+1 题型，A、B 项和 C、D 项都有加 1 的关系，故蒙 B、D 项。 3 【拓展 1】一副牌(共 54 张)，至少从中摸出多少张牌才能确

6、保至少有 6 张牌的花色相同？（ ） A.21 B.22 C.23 D.24 【解析】拓展 1.一副牌每种花色都能摸出 5 张（够、少给 1 个） ，再加 上大、小王（不够，就全给） ，共 5+5+5+5+2+1=23。 【选 C】 【注意】公考题目常考牌。花色 4 种：红桃、方片、梅花、黑桃，每种 花色 13 张（A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K） ，还有大、小王，共 54 张（不含广告牌） 。一年有 365 天，365/7=52 余 1，或是 366/7=52 余 2，四种花 色代表四个季节，每个季节有 13 个星期，全年 52 个星期，大、小王代表太阳和 月亮。 【例

7、 2】 （2013 国考）某单位组织党员参加、廉政建设、科学发展 观和业务能力四项培训， 要求每名党员参加且只参加其中的两项。 无论如何安排， 都有至少 5 名党员参加的培训完全相同，问该单位至少有多少名党员？ A.17 B.21 C.25 D.29 【解析】 例 2.假设、廉政建设、 科学发展观和业务能力分别表示为 A、B、C、D。参加两项，可以是 AB、AC、AD、BC、BD、CD，问“无论如何，至 少” ，就是“至少保证” ，六种选择，要至少 5 名党员，就每种选择 都给 4 人，最后加 1，结果=4+4+4+4+4+4+1=25。 【选 C】 【注意】1.排列组合：四项中随意选 2 个

8、，C（4,2）=6。若再加一个粉笔培 训，共五项分别为 A、B、C、D、E，就是 C（5,2）=10，共 10 种情况。这 10 种 情况为：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE。每种情况给 4 个，最后再 加 14*10+1=41。 2.若要求每名党员参加且仅参加 3 项， 用 C （5,3） =10， 然后用 10*4+1=41。 三项就是两项的对立面，每个两项的选择都有 1 个三项的对立面，故也是 10 种 选择。 4 【例 3】 （2016 山东）某个社区老年协会的会员都在象棋、围棋、太极拳、 交谊舞和乐器五个兴趣班中报名了至少一项。 如果要在老年协会中随机抽取会

9、员 进行调查， 至少要调查多少个样本才能保证样本中有 4 名会员报的兴趣班完全相 同？ A.93 B.94 C.96 D.97 【解析】例 3.假设象棋、围棋、太极拳、交谊舞和乐器分别为 A、B、C、D、 E，要求保证 4 名相同。报一项是 5 种情况：A、B、C、D、E；报两项是 10 种情 况：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE；报三项的情况：就是报两项的 对立面，也是 10 种，如 AB 的对立面就是 CDE，后同；报四项的情况：就是报一 项的对立面，即 5 种；选五项只有 1 种可能：ABCDE 一起报；故总情况 =5+10+10+5+1=31 种；要 4 个人

10、，所以每个都给 3 个，最后加 1，31*3+1=94，A 项是忘了加 1 的坑。 【选 B】 【注意】1.本题若是没有时间做，判定题型为最坏+1，A、B 项和 C、D 项都 有加 1 的状况，蒙 B、D 项，有 50%的正确率。 2.至少选一项， 问有 4 名完全相同的。 选一项为 C （5,1） =5； 选两项： C （5,2） =（5*4）/（2*1）=10；选三项：C（5,3）=C（5,2）=10；选四项：C（5,4）=C （5,1）=5；选五项：C（5,5）=1，共 5+10+10+5+1=31 种情况，31*3+1=94。 【答案汇总】1-3：BCB 二、构造数列 【知识点】构造数

11、列： 1.特征：某个主体最。 （1）最（某个主体）最（量）。如最高的人，身高最多是多少。 （2）排名第几最。 2.方法： （1）构造一个名次。 5 （2）求谁设谁。 （3）反向推其它。 （4）加和求解。 3.引例：4 个人分 100 个一元的硬币，每人都能分到钱，分到的钱均为整 数且互不相等。分到最多的人，最多分（ ）钱？ 答： 每人都能分到钱， 且均为整数 （不能破民币） ， “最最” ， 构造数列题。 （1）构造名次：四个主体对应四个名次，第一、第二、第三、第四。 （2）求谁设谁：第一名分 x 元。 （3）反向推其他：第一名要多，其他人就尽量少，第四名最少，最少是 1 元（都能分到），第三

12、名最少 2 元，第二名最少 3 元。 （4）加和求解：x+3+2+1=100，x=94，第一名最多分 94 元。 4.易错点： （1）主体个数是否相同！ ！ ！引例要求主体不相等。 （2）答案是非整数时：如现在体重已经 146.5 斤，你已经吃撑了，不能 再吃了，你最多可以写 146 斤，不能写 147 斤；同理，若是问你最少多少斤， 可以写 147 斤，不能写 146 斤。 某个主体最多，向下取整。 某个主体最少，向上取整。 （3）重点记忆反向取整。 【例 1】（2017 江苏） 在一次竞标中， 评标小组对参加竞标的公司进行评分， 满分 120 分。按得分排名，前 5 名的平均分为 115

13、分，且得分是互不相同的整 数，则第三名得分至少是： A.112 分 B.113 分 C.115 分 D.116 分 6 【解析】例 1.判定题型： “第三的至少” ，构造数列。 （1）构造名次，五个主体，对应五个名次，一、二、三、四、五。 （2）求谁设谁：设第三名分数为 x。 （3）反向推其他：要想 x 少，其他人要尽量多，所以第一名最多为 120，第 二名最多是 119（分数互不相同） ，第四名无限接近第三名，为 x-1，第五名为 x- 2。 （4） 加和求解： 120+119+x+x-1+x-2=115*5， 解题时可以合并同类项，（115+5） +（115+4）+3x-3=115+115

14、+115*3，两边消掉 115+115，得到 3x+6=115*3，两边 同时约掉 3，x+2=115，解得 x=113。 【选 B】 【注意】1.计算时：可以约分也可以合并同类项。 2.第四名要多，要无限的接近第三名。 3.若问第三名最多是多少，设第三名为 x，则其他人要尽量少，第二名向第 三名抱，只比第三名多一丢丢，就是 x+1，第一名是 x+2，第五名最少是 1 分（得分互不相同） ，第四名要向少的抱，是 2 分。 【例 2】 （2018 国考）某新能源汽车企业计划在 A、B、C、D 四个城市建设 72 个充电站，其中在 B 市建设的充电站数量占总数的 1/3，在 C 市建设的充电站数

15、量比 A 市多 6 个，在 D 市建设的充电站数量少于其他任一城市。问至少要在 C 市 建设多少个充电站？ A.20 B.18 C.22 D.21 【解析】例 2.“B 市建设的充电站数量占总数的 1/3” ，故 B 市充电站数量 为 72*1/3=24。无需再研究 B 市，只看其他。 “C 市建设的充电站数量比 A 市多 6 7 个，在 D 市建设的充电站数量少于其他任一城市” ，即 CAD，问“最多的 最少” ，构造数列题。 （1）构造一个名次：一、二、三。 （2）求谁设谁：设 C 市为 x 个，则 A 市为 x-6 个（确定的关系） ，D 最多比 A 少一个，是 x-7。 （3）加和求解

16、：x+x-6+x-7=72-24=48，解得 x=61/320.333，结果为非整 数，反向取整，取 21。 【选 D】 【例 3】 （2015 陕西）植树节到来之际，120 人参加义务植树活动，共分成人 数不等且每组不少于 10 人的 6 个小组，每人只能参加一个小组，则参加人数第 二多的组最多有多少人？ A.32 B.33 C.34 D.35 E.36 F.37 G.38 H.39 【解析】例 3.判定题型， “第二多最多” ，构造数列。构造名次：六 个小组，对应六个名次，1、2、3、4、5、6。问第二名的最多，其他尽量少，设 第二最多为 x，则第一为 x+1，第六名最少，为 10（题干有

17、要求， “分成人数不等 且每组不少于 10 人的 6 个小组” ） ，每组不等，则其他组为 13、12、11。加和求 解： x+1+x+13+12+11+10=1202x+1+3+2+10=802x=73， 解得 x=36.5， 结果是非 整数，问最多，反向取整为 36。 【选 E】 【答案汇总】1-3：BDE 三、函数最值 8 【知识点】二次函数最值： 1.什么是函数最值问题？高中所学的关于 y=ax 2+bx+c 形式的二次函数的 最值。 2.直接给出函数表达式求什么时候取得最值： y=ax 2+bx+c。 当 x=-b/2a 时， y 取得最值。若 a0，开口向上，在对称轴时取得最值；若

18、 a0，开口向下， 在对称轴处取最大值。 3.引例： （2017 辽宁）某商业银行的总利润 P 与贷款数量 Q 之间的函数关 系为：P=10000+400Q-Q，当贷款数量为（ ）万元时，总利润最大。 A.100 B.150 C.200 D.250 答：直接给出了 y=ax 2+bx+c 的形式，注意 a 是 x2的系数，b 是 x 的系数， c 是常数。-b/2a=-400/2*（-1）=200。 【选 C】 4.两点式求法：如：y=（a-x） （b-x） 。 （1）根据条件列方程，写成两括号相乘的形式。 （2）求出使方程等于 0 的两个 x 的值。即 x1=a，x2=b。 （3）求出两个

19、x 的平均值，此时 y 取最值。对称轴=（x1+x2）/2。 5.例：y=（75-x） （500-2x）x1=75，x2=25，x =50，此时有最值。 9 【例 1】（2016 陕西） 某种商品原价 25 元， 成本为 15 元， 每天可销售 20 个。 现在每降价 1 元就可以多卖 5 个，为获得最大利润，需要按照多少元来卖？ A.23 B.22 C.21 D.20 E.19 F.18 G.17 H.16 【解析】 例 1.降价 1 元多卖 5 个， 降价 2 元就多卖 10 个。 利润=单价*数量， 设降价 x 次，代表降价了 x 元，能多卖 5x 个，y=（10-x）*（20+5x）

20、。求根， x1=10，x2=-4，x =10+(-4)/2=3。降了 3 次，就是降了 3 元，需要按照 25-3=22 元来卖。 【选 B】 【注意】陕西题目虽然选项坑，但是难度不大。 【例 2】 （2018 广州）某单位计划在户外举办讲座，计划使用 72 米的隔离带 围成一个长方形作为活动场所， 其中一边不封闭 （即成形） ， 缺口面向讲坛。 能围成的场所面积最大是多少平方米？ A.324 B.648 C.972 D.1296 【解析】例 2.一边不封闭，就是围三个边，问长方形面积，S=长*宽，设宽 为 x，则长为 72-2x，面积=S=（72-2x）*x。求根，x1=32，x2=0，x

21、=18。问面积 最大，将 18 代入，S=（72-2x）*x=（72-36）*18=36*18，尾数法计算，6*8=48， 尾数是 8，对应 B 项。 【选 B】 【注意】假如一道题目，求出一个根是 6，一个根是 10，则在 8 处取最值， 若问在 x9 时的最值，就在 x=9 时取最值，因为图像是向下的抛物线。 10 【例 3】 （2017 四川）农户老张的田里有一堵 16 米长的围墙。老张想利用现 有的围墙作为其中的一边，修建一个长和宽均为整数米的长方形养鸡场。如老张 的材料最多只能新修 41 米长的围墙，则他能围出的长方形养鸡场面积最大 为多少平方米？ A.195 B.204 C.210

22、 D.256 【解析】例 3.围的是三条边，设宽为 x，则长为 41-2x，S=长*宽=（41-2x） *x， “利用现有的围墙作为其中的一边” ，即要求 41-2x16，解得 x12.5，S 的 方程中 x1=20.5，x1=0，x =（x1+x2）/2=10.25，要求 x12.5 时取最值，则应在 13 处取最值，若取 12，围墙不够长，鸡飞了。代入 13，S=（41-26）*13=15*13， 直接算尾数，尾数是 5，对应 A 项。 【选 A】 【注意】1.计算时要观察选项，及时止损。 2.一元二次最值，难点和坑点在于 x 的限定。 11 【答案汇总】1-3：BBA 【小结】最值问题：

23、 1.最不利构造类： （1）判定：至少保证。 “无论如何至少” 。 （2）方法：最坏的情况+1。 2.构造数列： （1）特征：最最、排名第几最。 （2）方法： 构造一个名次。 求谁设谁。 反向推其他。 加和求解。 （3）注意： 非整数时：最少向上取整、最多向下取整（反向取整） 。 主体个数是否相同。 3.函数最值： 12 （1）识别： 单价和数量此消彼长。 求最大利润或售价。 （2）方法： 无限定：求两根，算平均，得最值。 有限定：求两根，算平均，根据条件求最值。 【练习 1】 （2013 国考）某单位 2011 年招聘了 65 名毕业生，拟分配到该单 位的 7 个不同部门，假设行政部门分得的

24、毕业生人数比其他部门都多，问行政部 门分得的毕业生人数至少为多少名： A.10 B.11 C.12 D.13 【解析】 练习 1.比其他部门都多， 代表他是最多， 问 “最多的最少” ， 为构造数列题目。构造名次：1、2、3、4、5、6、7。求谁设谁，设第一名为 x， 反向求其他，要想 x 最少，则其他要尽量多，就向多的抱，第二名抱第一名 的，无限接近，但是少 1，则第二名最多为 x-1，没有要求不同，所以其他 部门可以相同，都是 x-1。加和求解：7x-6=65，解得 x10.142853，结果为非 整数，反向取整为 11。 【选 B】 【注意】1.主体是否相同。 2.非整数时，取整方向。

25、第十节 排列组合与概率 一、基础概念 13 【知识点】排列组合与概率：不要纠结，山东考的都不算难题，真正难的 是将高中三年的感受一直带到了现在，公考从公务员角度出发，考的是两个原 理、两个概念、N 多题型，小白 0 基础也不用担心，如果有理科基础更好。只 要知道什么是公务员的思想就可以。排列组合要写“自己” ，角色代入，由你 来排列。 1.分类与分步： （1）分类：如老师从山东到山西上地面班课程，有飞机 2 班和火车 3 班， 因此从山东到山西共有 5 种选择，现在在山西上完课要到北京去谈事情，此时 飞机有 2 班，火车有 1 班，或是跑着去，共有 4 种选择，若问从山东到北京有 多少种方式，

26、即 4*5=20 种。 “要么要么” （多者选其一） ：从山东到山西，选其中任何一趟 都能到，多者选其一。 相加一步到位，拿出来哪一个都好使。 （2）分步： “既又” （同时选择） 。必须同时满足，既去山西又去北京，就 相乘。 相乘一步不好使，必须都完成。 2.排列与组合： （1）排列用 A：与顺序有关。 （2）组合用 C：与顺序无关。 （3）例：现在班里有 1000 人，所有人都进面试了，龙哥一高兴，要办抽 奖，一、二、三等奖都随意设，因此设一等奖 1 个亿，二等奖 1 万。三等奖 1 毛。谁先领谁是一等奖，你得了一等奖，你同位是三等奖，他想用三等奖换一 等奖，你肯定不同意，从 1000 人

27、中选 3 人，有差别就用 A；若是一、二、三等 奖的奖励都是 1 毛。 你同位想跟你换， 你会同意， 因为换与不换没差别， 从 1000 人中选 3 人，没差别用 C。排列组合一定要问“自己” 。 （4）判定标准：从选出的主体当中任意地挑出两个，调换顺序。 对结果有影响，与顺序有关（A） 。 对结果无影响，与顺序无关（C） 。 14 3.计算：（1） A （9,3） =9*8*7 （9 依次往下乘， 乘 3 个数） ； A （9,5） =9*8*7*6*5； （2）C（9,3）=（9*8*7）/（3*2*1） ；C（9,2）=（9*8）/（2*1） 。 （3） C （7,2） = （7*6）

28、/ （2*1） =21， 计算主要靠约分。 C （7,5） = （7*6*5*4*3） /（5*4*3*2*1） ，约分后，原式=（7*6）/（2*1）=C（7,2） 。若问 C（9,7）=？， 光列式就很麻烦，记住 C(9,7)=C（9,2） 。 （4）A（5,1）=5，C（5,1）=5/1=5，A（5,1）=C（5,1） 。一个人的时候没 有顺序可言。 4.例： （1）从七个葫芦娃中，任选两个一起去救爷爷。大娃去救、二娃去救，换 顺序后没区别，用 C（7,2） 。 （2）从七个葫芦娃中，任选两个一起去救爷爷，第一个去探路，第二个 去打架。还是 7 个中选 2 个，大娃打架、二娃探路和二娃打

29、架、大娃探路有区 别，代入自己，让你去的话，你喜欢探路而不是打架，用 A（7,2） 。 【例 1】 （2019 广东县级）小李今天上午有 a、b、c、d 这 4 项工作要完成， 下午有 e、f、g 这 3 项工作要完成，每半天内各项工作的顺序可以随意调整，则 他今天有多少种完成工作的顺序？ A.30 B.60 C.72 D.144 【解析】例 1.今天分为上午和下午，要过今天，需要先过上午、再过下午， 缺一不可， “先后”用乘法，为分步。 （1）上午：四项工作，顺序任意挑，可以是 a 开头，可以是 b 开头，先干 15 a 还是先干 b 有差别，四个工作挑四个完成，有顺序即 A（4,4） 。

30、（2）下午：三个工作必须都做完，有顺序，即 A（3,3） 。先上午，后下午， 用乘法，列式：A（4,4）*A（3,3）=（4*3*2*1）*（3*2*1）=12*12，尾数为 4， 对应 D 项。 【选 D】 【注意】先做 a 再做 b，与先做 b 再做 a 有差别。与炒菜一样，先放油再炒 菜，与先放菜再放油有差别。要问自己，看清问题的所在。 【例 2】 （2019 河南）某小学组织 6 个年级的学生外出参观包括 A 科技馆在 内的 6 个科技馆，每个年级任选一个科技馆参观，则有且只有两个年级选择 A 科 技馆的方案有： A.1800 种 B.18750 种 C.3800 种 D.9375 种

31、 【解析】例 2.要学会圈关键词。年级选科技馆参加，假设有 a、b、c、d、 e、f 六个年级，A、B、C、D、E、F 六个馆，当你是老板的时候，有人说：老板 这个要少放辣，一般会先关注有要求的人，其他的炒一锅菜。A 馆只能有 2 个年 级，6 个里面选 2 个，选择 a、b 参观 A，与 b、a 参观 A 无差别，都是两个馆参 观，从 6 个年级中选 2 个，因此用 C（6,2）=（6*5）/2=15。a、b 已经去 A 了， 此时 c 只有五种选择，d 不去 A 同样只有五种选择，因此 c、d、e、f 均有 5 种 选择， “先后”用乘法，列示：C（6,2）*5*5*5*5=（6*5）/（

32、2*1） *5*5*5*5=15*5*5*5*5，尾数是 5，对应 D 项。 【选 D】 【注意】1.排列组合：代入自己，将自己封官，自己是馆长。 2.先安排有要求的。 3.c 可以选 B、C、D、E、F，五个里面选一个，因此为 C（5,1） 。 4.只对 A 有要求，全去 C 也可以，想怎么选怎么选。 5.没有要求可以任意选择，b 可以选择除了 A 之外的任意一个，因此为 C （5,1） 。 【例 3】 （2017 四川）某大队的 16 名民警中，男性为 10 人，现要选 4 人进行夜间巡逻工作，要求男性民警不得少于 2 名，问有多少种选人方法？ 16 A.1605 B.1520 C.107

33、1 D.930 【解析】例 3.方法一：因共 16 人，男性为 10 人，则女性为 6 人。 “男性不 少于 2 名”说明大于等于 2 名，可以选 2 个男的，可以选 3 个男的，可以选 4 个 男的，要选 4 人，因此要么 2 男 2 女，要么 3 男 1 女，要么 4 男 0 女， “要么 要么”用加法。 （1）2 男 2 女：从 10 个男的中选 2 人，选 A、B 和选 B、A 没有差别，即 C （10,2） ；从 6 个女的中选 2 人，即 C（6,2） 。先选男的再选女的，没差别，用乘 法：C（10,2）*C（6,2）=（10*9）/（2*1）*（6*5）/（2*1）=5*9*3*

34、5。 （2）3 男 1 女：从 10 个男的里面选 3 个，即 C（10,3） ；从 6 个女的里面选 1 个，即 C（6,1） 。列式：C（10,3）*C（6,1）=（10*9*8）/（3*2*1）*6=10*3* 4*6。 （3）4 男 0 女：C（10,4）=（10*9*8*7）/（4*3*2*1）=10*3*7。 “要么， 要么”用加法，列式：C（10,2）*C（6,2）+C（10,3）*C（6,1）+C（10,4） =5*9*3*5+10*3*4*6+10*3*7=尾数 5+尾数 0+尾数 0=尾数 5，对应 A 项。 方法二：反向思想，与容斥原理类似，正面情况太多，就用总的情况-不

35、满 足情况的。 “不少于 2 名男性”的就是小于 2 名。 （1）总的情况：16 人中选 4 人，即 C（16,4） 。 （2）：1 男 3 女：C（10,1）*C（6,3） ；0 男 4 女：C（6,4） 。 （3）总情况数-不满足情况数=C（16,4）-C（10,1）*C（6,3）-C（6,4）= （16*15*14*13）/（4*3*2*1）-（10*6*5*4）/（3*2*1）-C（6,2）=尾数 0-尾数 0-尾数 5=尾数 5，对应 A 项。 【选 A】 【注意】第一种为正向情况，第二种为反向情况，正向情况数多时，则反向 求。 【答案汇总】1-3：DDA 二、经典题型 【知识点】1

36、.特定题型： 17 （1）全排列：a、b、c、d 四项工作任意排，即全排列 A（4,4） 。 （2）相邻。 （3）不相邻。 （4）同素分堆。 （5）错位排列。 2.特邀嘉宾：全排列，A、B、C、D、E，五个人照片，从五个中五个人 照相，如大家当上公务员之后参加培训，领导坐前面，你坐在芸芸中，有 差别用 A，即 A（5,5） 。 3.捆绑法（相邻） ：题目要求一部分主体必须在一起（这一撮人全部扎堆， 都挨着） ，需要先将要求在一起的部分排列，然后视为一个主体，和其他主体 排列。 （1）引例： 大学有 4 个室友，老大、老二、老三、老四，老大结婚时，老二、老三、 老四都去了，婚礼结束的时候大家都上

37、台合照，老大和媳妇一定站在一起，先 将在一起的排列，这两人照相时，男左女右与男右女左有差别，即 A（2,2） ； 把相邻的主体捆在一起，看成一个主体，加上老二、老三、老四，一共 4 个主 体，即 A（4,4） 。 “先后”用乘法，列式：A（2,2）*A（4,4） 。 老大和老二一起举行婚礼，老三、老四都去了，照相时，老大一家在一 起为 A（2,2） ，老二一家在一起为 A（2,2） ，老大一家看为一个大胖子，老二 一家看为一个大胖子，一共 4 个主体，列式：A（2,2）*A（2,2）*A（4,4） 。 18 老大、老二、老三一起举行婚礼，老四去了，照相时，先排老大家为 A （2,2） ，再排老

38、二一家为 A（2,2） ，最后排老三一家为 A（2,2） ，还剩老四， 一共 4 个主体，列式：A（2,2）*A（2,2）*A（2,2）*A（4,4） 。 老大家生了一个小孩，老二家生了一对双胞胎，老三家刚结婚，还没生 小孩，老四结婚，大家一起去，老大家三人为 A（3,3） ，老二家四人为 A（4, 4） ，老三家为 A（2,2） ，老四家为 A（2,2） ，列式：A（3,3）*A（4,4）*A（2, 2）*A（2,2）*A（4,4） 。 （2）进一步解释： 19 先捆：把相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序。 再排：将捆绑后的“胖子”看成一个元素，与其他主体排列。 【例 1】 （2017 重

39、庆选调）某画廊设计展出 10 幅不同的画，其中 5 幅国画， 4 幅油画，1 幅水彩画，展览时排成一行，要求同一品种的画必须靠在一起，且 水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有多少种？ A.A（4,4）A（5,5） B.A（3,3）A（4,4）A（5,5） C.A（3,1）A（4,4）A（5,5） D.A（2,2）A（4,4）A（5,5） 【解析】例 1.出现“在一起” ，即 5 幅国画绑在一起为 A（5,5） ，4 幅油画绑 在一起为 A（4,4） ，在一起的看为一个大胖子，分成三组，其中水彩画不能放在 两端，剩下的两组先放国画还是先放油画有区别，即 A（2,2） ，列式：A（5,5） *A

40、（4,4）*A（2,2） ，对应 D 项。 【选 D】 【注意】1.假设有一万幅画，将你的画放在了门口最显眼的位置，每个人都 能看到，突然将你的画放到了最后，别人就都看不到了，此为顺序的差别。 2.分完之后形成三个主体，水彩画不能在两端，因此必须在中间，剩下两个 再排列，先放国画还是先放油画有区别，用 A（2,2） 。 3.排列组合真正的核心在于自己安排，问自己。 4.“在一起”就是一撮人都在一起。 【例 2】 （2017 广东）单位工会组织拔河比赛，每支参赛队都由 3 名男职工 和 3 名女职工组成。假设比赛时要求 3 名男职工的不能全部连在一起，则每 支队伍有几种不同的方式？ 20 A.4

41、32 B.504 C.576 D.720 【解析】例 2.“不能全连在一起”即可三个人都分开，或者两两在一起，反 向就是一撮人都在一起，因此运用反向思想。情况数=总数-全部一撮人在一起， 总数即三男三女为 A（6,6） ；三男在一起为 A（3,3） ，男的看为一个整体和三个 女的为四个主体，即 A（4,4） 。情况数=总数-在一起=不能全部在一起=A（6,6） -A（3,3）*A（4,4）=（6*5*4*3*2*1）-（3*2*1）*（4*3*2*1）=尾数 0-尾数 4= 尾数 6，对应 C 项。 【选 C】 【注意】正面情况数多，则反向。 【知识点】插空法（不相邻） ： 1.题目要求一部分

42、主体不能在一起，就需要先排列其他主体，然后把不能在 一起的主体插空。 2.不能在一起：即不相邻、不挨着、不连续，这一撮人每一个都不相邻。 3.引例： （1）A、B、C、D、E 五人站一排照相。 假设 A、B 关系不好，因此照相时 A 和 B 不相邻。 答：先排列其他的 C、D、E，即 A（3,3） ；3 个人形成了 4 个空，选 2 个空给 A、B 站，A 在前还是 B 在前有差别，即 A（4,2） 。 “先后”用乘法，列 式：A（3,3）*A（4,2） 。 A、B 不相邻且 A、B 不在头和尾。 答：先排列其他主体 C、D、E，即 A（3,3） ；3 个人形成了 4 个空，A、B 头 和尾不

43、能站，剩下两个空给两人站，即 A（2,2） 。列式：A（3,3）*A（2,2） 。 21 （2）1 男 3 女，男生不相邻，问有多少种排法？ 答：因男生只有一个，故为 A（4,4） 。 （3）2 男 2 女，男生不相邻，问有多少种排法？ 答：先排女的，即 A（2,2） ，形成三个空，从 3 个空中选 2 个，A 在前还是 B 在前有差别，因此为 A（3,2） 。列式：A（2,2）*A（3,2） 。 （4）3 男 1 女，男生不相邻，问有多少种排法？ 答：女的就一个，无论怎么排，男生都会相邻，因此不可能。 4.方法： （1）先将可以相邻的进行排列，排列后形成若干个空位。 （2）再将不相邻的插入到

44、形成的空位中去。 （3）注：谁不相邻，拿谁插空。男的不相邻，将男的往里面插空。 【例 3】 （2017 云南） 某兴趣组有男、 女生各 5 名， 他们都准备了表演节目。 现在需要选出 4 名学生各自表演 1 个节目，这 4 人中既要有男生，也要有女生， 且不能由男生连续表演节目。那么，不同的节目安排有多少种？ A.3600 B.3000 C.2400 D.1200 【解析】例 3.男生、女生各 5 名，选出 4 名；既要有男生，也要有女生。情 况数： （1）1 个男生、3 个女生：先选人再排序，5 个男的里面选一个为 C（5,1） ， 女生选女一号、女二号、女三号都是出来表演，没差别为 C（5

45、,3） 。男生怎么排 都不相邻，即*A（4,4） 。列式：C（5,1）*C（5,3）*A（4,4）=5*10*（4*3*2*1） =5*10*24=1200。 （2）2 个男生、2 个女生：先选人再排序，都是选人出来表演的没差别，即 C（5,2）*C（5,2） ；2 个男生，即有相邻的可能性，则先安排女生为 A（2,2） ； 2 个女生形成 3 个空，3 个里面选 2 个空给 2 个男生插，即 A（3,2） 。列式：C（5, 22 2）*C（5,2）*A（2,2）*A（3,2）=10*10*12=1200。 （3）3 个男生、1 个女生：3 个男生怎么排都连续，不存在此种可能。 “要 么要么”

46、用加法，总的情况数=1200+1200=2400，对应 C 项。 【选 C】 【注意】1.先选人，再排序，按照自己思维来，就像安排接力赛，先选四个 人，然后看谁是第一棒、谁是第二棒。 2.有先、后，用乘法。 3.要问自己，不能感觉。 【知识点】1.插板法：同素分堆，问分法，体现在个数的差别。 （1）例 1：7 个相同的苹果分给唐僧和悟空，每人至少分一个，有多少种分 法？ 答：唐僧在西天取经的路上第一个遇到的是孙悟空，孙悟空一个筋斗云摘来 七个苹果。先想一个西成两份，只需要切一刀，七个苹果分给两人需要切一 刀，七个苹果六个空，即六个空切一刀。 假设你是孙悟空，切在第一个苹果前面，则唐僧吃 0 个

47、，孙悟空吃 7 个， 故不行，需要每人至少分一个。 若在第一个苹果后面切，则唐僧吃 1 个，孙悟空吃 6 个。若在第二个苹果 后切，则唐僧吃 2 个，孙悟空吃 5 个。若在第三个苹果后面切，则唐僧吃 3 个， 孙悟空吃 4 个。若在第四个苹果后面切，则唐僧吃 4 个，孙悟空吃 3 个。若在第 五个苹果后面切，则唐僧吃 5 个，孙悟空吃 2 个。若在第六个苹果后面切，则唐 僧吃 6 个，孙悟空吃 1 个。要保证每人至少一个。 23 如拿个板子，有一堆糖，拿板子分成两份，大哥吃一个，二弟吃两个。因 此不能在头和尾分，没有意义。分给 2 人只要切一刀，为 C（6,1） 。问的是个数 的差别。 （2）

48、例 2：7 个相同的苹果分给唐僧、悟空和八戒，每人至少分一个，有多 少种分法？ 答：第二个徒弟是猪八戒，七个苹果 6 个空，分给 3 人切 2 刀，从选出的主 体中置换顺序，没有差别，即 C（6,2） 。 （3）例 3：7 个相同的苹果分给唐僧、悟空、八戒、沙和尚，每人至少分一 个，有多少种分法？ 答：第三个徒弟为沙和尚，七个苹果六个空，分给四个人切，即 C（6, 3） 。 2.小结： （1）M 个元素有 M-1 个空位，分 N 堆，需要 N-1 刀。 （2）空里插刀，至少分一个共有 C（M-1，N-1）方法。 （3）记忆：9 个苹果，分给 3 人，每人至少 1 个，9 个苹果 8 个空，分

49、3 人 切 2 刀，空里插刀，即 C（8,2） 。 【例 4】 （2016 深圳事业单位）将 9 封相同的信投入 3 个不同的信箱，且每 个信箱至少投入，不同的投法有多少种？ A.18 B.21 24 C.28 D.36 【解析】例 7.圈“至少一个” ，运用插板法。9 个信 8 个空，3 个信箱切 2 刀，即 C（8,2）=（8*7）/（2*1）=28，对应 C 项。 【选 C】 【注意】1.记住 C（8,2）=28，因为考过很多次。 2.如知识点中的例题，分给 2 人时为 C（6,1） ，若在第一个苹果后面切，则 唐僧吃 1 个，孙悟空吃 6 个；若在第六个苹果后面切，则唐僧吃 6 个，孙

50、悟空吃 1 个。分的时候已经有顺序了，因此不用乘以 A（2,2） 。 【知识点】同素分堆，再拓展。 1.例： 10 个相同的苹果分给三个小盆友， 每人至少分 2 个， 有多少种分法？ 答：同素分堆若不是至少一个，则凑成至少一个。先每人分一个，剩下的每 人至少分 1 个。先每人 1 个，分了 3 个小朋友，还剩 7 个，有 6 个空，3 个小朋 友切 2 刀，即 C（6,2）=（6*5）/（2*1）=15。 2.例： 20 个相同的苹果分给三个小盆友， 每人至少分 4 个， 有多少种分法？ 答： “至少 4 个”则每人先分 3 个，3 个小朋友分了 3*3=9 个；剩下 11 个， 10 个空，

51、分给 3 个人切 2 刀，即 C（10,2） 。 3.破题点：至少 xx 个。问的是分法，只是个数上的差别。 【例 5】 （2014 广州）某办公室接到 15 份公文的处理任务，分配给甲、乙、 丙三名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于 3 份，也不得 多于 10 份，则共有多少种分配方式？ A.15 B.18 C.21 D.28 【解析】例 5.“不得少于 3 份” ，即至少 3 份。问分配方式，就是个数上的 差别，没有顺序。先每人 2 个，分给 3 人，分了 6 个，剩下 9 份，8 个空，分给 3 人切 2 刀，即 C（8,2）=28，对应 D 项。 【选 D】 【注意】

52、1.“也不得多于 10 份” ：剩下的 9 份分给 3 人，最多的人能分到 7 份（7、1、1） ，怎么凑也不可能凑到 10，所以这个条件只是吓唬人的。 2.先挑简单的会的入手。 25 【答案汇总】1-5：DCCCD 【知识点】错位重排：即避嫌，不能要自己的。 1.例： （ ）厨师，炒了（ ）盘菜，每个人都不尝自己，有几种情况？ 答：参加比较，很难吃，但还是打 100 分，因此需要错位重排。排列用 A， 组合用 C，错位重排用 D。 （1）一个厨师炒了一盆菜，只能尝自己的，因此 D1=0。 （2）两个厨师（A、B）两盘菜（a、b） ，A 只能尝 b，B 只能尝 a，只有 1 种 尝法，即 D2

53、=1。 （3）三个厨师（A、B、C）三盘菜（a、b、c） ，A 尝 b、B 尝 c、C 尝 a，或 者 A 尝 c、B 尝 a、C 尝 b，有 2 种尝法，即 D3=2。D4=9，D5=44，记住即可。最常 考 D4和 D5，前面的太简单，枚举就可以枚举出来，D6=265。 2.公式推导： （D1+D2）*2=D3， （D2+D3）*3=D4， （D3+D4）*4=D5， （D4+D5）*5=D6。 【例 6】 （2014 北京）相邻的 4 个车位中停放了 4 辆不同的车，现将所有车 开出后再重新停入这 4 个车位，要求所有车都不得停在原来的车位中，则一共有 多少种不同的停放方式？ A.9 B

54、.12 C.14 D.16 【解析】例 6.“所有车都不得停在原来的车位中” ，避嫌，不能在原来的车 位中，即 D4=9，对应 A 项。 【选 A】 【例 7】 （2015 山东）某单位从下属的 5 个科室各抽调了一名工作人员，交 流到其他科室，如每个科室只能接收一个人的话，有多少种不同的人员安排方式？ A.120 B.78 C.44 D.24 【解析】例 7.“交流到其他科室”即避嫌，D5=44，对应 C 项。 【选 C】 26 【知识点】枚举法： 1.观察选项如果数不大，一个个枚举出来也是不错的。 2.注：别查漏了，最好按照一个标准，一般从大到小。 【例 8】 （2019 安徽）小王在商店

55、消费了 90 元，口袋里只有 1 张 50 元、4 张 20 元、8 张 10 元的，他共有几种付款方式，可以使店家不用找零钱？ A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】例 8.将自己代入，不要将钱当钱： （1）1 张 50 元（只有一张） ，2 张 20 元，0 张 10 元，凑成 90。 （2）若 20 元的多留几张，则 1 张 50 元，1 张 20 元，2 张 10 元。 （3）1 张 50 元，0 张 20 元，4 张 10 元。 （4）若要将 50 元的留着给侄子发压岁钱，则 0 张 50 元，4 张 20 元，1 张 10 元。 （5）0 张 50 元，3 张 20 元，3 张

56、10 元。 （6）0 张 50 元，2 张 20 元，5 张 10 元。 （7）0 张 50 元，1 张 20 元，7 张 10 元。若不用 50 元和 20 元的则不行， 凑不到 90 元，一共 7 种情况，对应 C 项。 【选 C】 【注意】将自己置身于这个环境中。 27 【知识点】环形排列： 1.引例：5 位粉笔老师围一圆桌吃饭饭，有（ ）坐法？ 答：此做法为相对的做法，由于各个地方的风俗不同，因此哪里是主位不一 样，因此不会考主位。假设 5 个位置为 A、B、C、D、E，5 个人排序为 A（5,5） ， 这五个的相对顺序是一样的， 有重复的需要去重， 即 A （5,5） /5=A （4

57、,4） 。 同理， 9 个人为 A（8,8） ，10 个人为 A（9,9） 。 2.结论：n 个人进行环形排列，有 A（n-1,n-1）种排法。 【例 9】 （2016 陕西）6 个小朋友围成一圈做游戏，小华和小明需要挨在一 起，问有多少种安排方法？ A.720 B.180 C.560 D.480 E.360 F.240 G.120 H.48 【解析】例 9.“围成一圈”即环形； “在一起”为捆绑法，即 A（2,2） 。把 小华和小明看成 1 个主体， 加上剩下 4 个人， 一共 5 个主体， 环形排列为 A （4,4） 。 列式：A（2,2）*A（4,4）=2*（4*3*2*1）100 种，对应 H 项。 【选 H】 【答案汇总】6-9：ACCH 三、概率 【知识点】概率问题： 28 1.给情况求概率： （1）概率=满足情况数/总情况数。 2.给概率求概率： （1）分类（用加法） ：P（A）=P1+P2+Pn。 （2）分步（用乘法） ：P（A）=P1*P2*+Pn。 【例 1】 （2019 联考）某学校举行迎新篝火晚会，100 名新生随机围坐在篝 火四周，