两篇文章贺信淳,王亮亮(新课标下北京中考数学命题新思路)

1、13年 第52卷 第12期数 学通报 从多角度审视一道中考试题说开去 谈对初 中数学教育现状之惑 贺信淳 (北京市东城区教师研修 中心数学教研员(退休) 偶读文1彐,谈到以2012年全 国的中考试题 中的一些试题为例,说它们是 “ 起到创新和引领” 作用的“不可多得 的优秀试题 ” ,呈现出“低起点, 易进难出、 渐人佳境”的特点,从而引起笔者 研读 的兴趣. 图1 研读之后,确实感受到了命题者精心设计 、 素 材选取与背景设计精 心,由浅人深,注重学 习能 力,运用创新思维,充分要求考生灵活运用数学知 识解决问题的追求,但是,再进一步结合课程标 准(2011版)(以下简称 新课标 )、现行教

2、材 、 当 今教学 、 考试实际、 学生的学习状况等多角度进行 审视,就产生 了诸 多不解之惑,值得进一步研究 探讨。 为了研究方便,现把原题和给出的参考答案 转载于下: “ 在平面直角坐标 系劣O丿中,对于任意两点 P1(J1,l )与P2(J2,丿2)的 “ 非常距离”,给出如下 定义: 若| J1一奶| 丿1 2| ,则 点P1与点P2 的“非常距离”为 J1J2; 若| J1一助| (y 1一| ,则点P1与点P2 的“非常距离”为y 1 2卜 例如:点P1(1,2),点 P2(3,5),因为 1一引 (2-5,所 以点Pl 与点 P2的 “ 非 常距离 ” 为 2-5=3,也就是 图

3、1中线段P1Q与线段P2Q 长度的较大值(点Q为垂直于 轴的直线P1Q与 垂直于劣轴的直线P2Q的交点). (D已知点A( :,0),:为 y 轴上的一个动 点, 若点A与点B的 “ 非常距离”为2,写出一 个满足条件的点B的坐标; 直接写出点A与点B的 “ 爿 F常 距离 ” 的最 小值; (2)已 知C是直 线y = J+3上的一 个 动点, 如图2,点D的坐标是(0,1),求点C与点 D的 “ 非常距离”的最小值及相应的点C的坐标; 如图3,E是以原点O为圆心,1为半径 的 圆上的一个动点,求点C与点E的 “ 非常距离”的 最小值及相应的点E和点C的坐标 . 图2 数学通报2013年 第

4、52卷 第12期 图3 解 :(1) 点B的坐标是(0,2)或 (0,-2);(写出一 个答案即可) 点A与点B的 “ 非 常 距 离 ” 的 最 小 值 (2) 过点C作J轴的垂线,过点D作y 的垂 线,两条垂线交于点M,连结 CD。 如图4,当点C 在点D的左上方且使CMD是等腰直角三角形 时,点C与点D的 “ 非常距离”最小. 理 由如下:记此 时点C所在位 置 的坐标 为 (t ,J0+3) 当点C的横坐标大于JO时,线 段CM的长度变大,由于点C与点D的 “ 非常距 离”是线段CM与线段MD长度 的较大值,所以 点C与点D的 “ 非常距离”变大;当点C的横坐标 小于J时,线段MD的长

5、度变大,点C与点D的 “ 非常距离”变大.所以当点C的横坐标等于跖o 时,点C与点D的 “ 非常距离”最小. 因 为 CM= 。 +3-1,MD=.O, c 几r =MD, 所 以 J+3 1=一幻 解 得 所 以点C的坐标是 因此C几=MD= 所 以 当点C的坐标是(一 睾 ,竿 )时 ,点C与 点D的 “ 非 常距离 ” 最小,最小值是号 . 图5 如图5,对于0上的每一个给定 的点E, 过点E作丿轴 的垂线,过点C作 J轴的垂线,两 条垂线交于点N,连结CE,由可知,当点C运 动到点E的左上方且使CNE是等腰直角三角 形时,点C与点E的 “ 非常距离”最小。 当点E在上运动时,求这些最小

6、 “ 爿F常距 离”中的最小值,只需使CE的长度最小. 因此,将直线 丿=J+3沿图中所示 由点C 到点E的方 向平移到第一次与O有公共点,即 与O在第二象限内相切 的位置时,切 点 即为所 求点E. r /F EP轴T点P.设直线 J+3与 Lr 轴,丿轴分别交 于点Ff ,G, 可求 得HO=4,GO=3, OEP GFr O。 所 以篙=篙=黠,即 GFr =5。可 证 87 一 砀 7 87 一 87 1一2 是 图4 15 4 o 3 =:x +3 尸 / 1 x 2013年 第52卷第12期数 学通报 45 3一5 丶卜 准5 , O 35 得 /盯 刀 干 以 c c +3一昔

7、解得 Jc = 所以点C的坐标是( 因此CN=NE=1。 所 以当点C的坐标是(詈, )冻 E的坐 标是( ,营 )时 ,点C与点的“非常距离”最 丬 、最小值是1.” 下面是对有关问题的进一步研讨。 1 关于本题的“起点” 的进一步探讨 近来,为 贯彻 新课标 的课改精神,普遍 出现 了一 种称为“新定义”的题型,它一般是指 以学生 未学习过的知识为载体,考查学生独立获敢新知 识并运用的能力,是考查学生 的阅读理解能力和 探索性应用能力的好题型,有一定的积极意义,但 是,由于这类题型有明显的新颖性,表面看来和学 生已有的知识范围有距离但存有一定的联系,所 以经常有一定 的难度。 显然,较好地

8、控制这个难 度,是设计这类题 目的重要方面. 本题的起点是建立在数的绝对值的几何意义 的基础上,给出J2Jl | 的几何意义下展开的. 但在 新课标中,关于“ 数的绝对值 ” 的内容 标准是这样描述的:“借助数轴理解相反数和绝对 值的意义,掌握求有理数 的相反数与绝对值 的方 法,知道| 的含义(这里勿表示有理数)”(加重点 是笔者加的,下同). 这就是说“岔的含义”的教学要求是“知道” , 而“知道”等同于“了解”,是指学 习活动结果 目标 属于最低的初级水平. 这样看来,本题 是 以 阅读 理 解 第一象 限 内 | L 茁1| 的几何意义为背景(即表示一个与坐标 轴平行的线段的长度)作为

9、起点的,即便当做公式 做计算,它的难度已经大大超出 新课标 要求 了, 何况在此后解题的进程 中,还将面对要理解 、 掌握 在任何象限内J2J1| 和| 冫 一y l 都 能表示相 关的直角三角形的直角边时,才能应对.而在几何 中,这一定必须要经过一番考察论证后才能认定 , 这个起点还能算是低 吗?所以笔者认为,此题 的 起点不仅不能算低,而且直接运用时,逻辑上也不 够严谨的. 2 需要进一步协调 新课标 下几何 教 学 的价 值观 笔者认为,新课标在一定程度上 降低 了对 几何的教学要求.例如,缩小 了几何知识 的范 围 , 限制了例习题的难度要求;在知识体系上,适度扩 大了公理体系,规避

10、了“公理”的名称,代之 以“基 本事实”的提法;提高了对 “ 合情推理”、 “ 猜想 ” 的 价值认 同;加强 了对 图形运动和变换 的认识与运 用;鼓励把实验 、 观察 、 归纳 、 猜想作为推理的重要 手段等等。这意味着 新课标 一方面强调 了 “ 合情推理”在探索问题时有促进发现和思考 的作 用,但结论 的真确性 的确认,仍需要严格 的推理 和逻辑证明的步骤.如果确实如此,在当前的教学 实践 中,在一定 的程度上受到 “ 去学科化”、 “ 去数 学化”思潮的影响,上面的看法并未得到广泛的认 同,在实践 中也未得到切实的落实,在本题 的解答 中就凸显出对此 问题认知 的明显 的落差,本题作

11、 为试卷的“压轴题”,显然是设计为深层次的能力 要求型试题,它应充分体现数学学科 的基本精神 和几何教学的最终要求;在本题 中,学生在经历实 验 、 探索、 发现的历程,得到初步的结论后,理应对 获得的结论 给 出科 学严 谨 的证 明,才 是 合 格 的 解答. 但事实并不是这样.从命题者给 出的参考答 案来看,本应建立在推理证明基础上的判定,就仅 以描述性的文字来替代严格 叩匙旦江咀?是 十 分 不妥的,这种处理方式反映出当前数学教学对几 何教学的价值观 的认识上 的混乱,几何教学要求 标准的把握严宽不一。例如: (D当点C是直线 丿丁J+3上 的任意一 点,点E也是第一象限内的点时, J

12、2 =1| 表示 点C和点E的 “ 非常距离”是不难理解并容易接 受的;但当点C和点E的位置不都在第一象 限 .所以点E的坐标是 设点C的坐标 为 (Jc , 因为CN=Jc +3 Jc +3) 告 ,NE=一 音 一 Jc , 85 J 35 95 85 数学通报 2013年 第52卷 第12期 时,就发生了J2一宓1| 是否仍能表示点C和点E 的“非常距离”的疑问,就是要经过一定 的论证才 能推广认定的.如果命题者认为仅从几何 图形角 度研究问题,那么本题给出 =2一r 1| 的定义的意 义在哪里呢?何不给出纯几何的定义呢? (2)在问题 的“ 证明”中 “ 当点C的横坐标 大于f 时,线

13、段CM的长度变大”和“当点C的横 坐标小于r 。时,线段MD的长度变大,点 C与点 D的 非常距离 变大”中,“点C与点D的 非常 距离 就是 “ 线段MD的长度”,都是仅从观察 图 形所得,未能给出严格的证明。 在问题 的“证 明”中“当点E在O上运 动时,求这些 “ 非常距离”中的最小值,只需使CE 的长度最小,”和“将直线y =+3沿图中所示 由点C到点E的方 向,即 与 O在第二象 限内相 切的位置时,切点 即为所求点E,”也都未经任何 论证,甚至仅用“平移到第一次与O有公共点” 这样仅依靠形象化 的语言描述来替代 证明,也应 认为是十分不妥的. 这一切表现都背离 了几何逻辑 的科学性

14、,也 脱离了通过几何学习进行严谨的逻辑论证思维训 练的基本宗 旨,表现出对几何课程设置价值观 的 异化. 笔者认为,这种现象表明,作为对中学数学教 学起着引领作用的中考试题如此处理 问题,既反 映了当今几何教学 目标认识上混乱 的现状,也会 产生不当的后续影响.我们不禁要问,这种对几何 教学的“非几何化”的倾 向,是对“新 课标”的正确 理解和贯彻呢?还是不适当地降低 了对几何的教 学要求呢?值得商榷. 3 “ 新课标 所限定的知识范围和课本设定的技 能训练水平,使得学生在创新思维、 探索活动中能 走多远”是值得认真调研的刻不容缓的课题 实践经验显示,新课标 歹 刂 人的知识 、 技能和 限定

15、的难度要求,远未能给创新 、 探索活动以足够 的支持,教师们的精心设计,也总难逃脱知识范围 和能力要求都“超标”的困境,只能在违背数学科 学的基本精神和学生的认知规律的“非数学化”的 困境下艰难前行 例如,在上述谈 到的几处 “ 未能给出证 明”的 地方,如果按照严格按 新课标 编写 的课本学 习 的学生,是不可能具各严格证明能力的,如要证 明 “ 线段MD的 长度”就是 “ 点C与点D的 非常距 离 ” 用到定理 “ 三角形 中较大的角所对 的边也较 大”;“当点C的横坐标大于JO时,线段CM的长 度变大”,就会用到一次函数的单调性;要证 明“与 O在第二象限内相切 的位置时,切点 即为所求

16、 点E.”就要经历一段应用到定理 “ 连接直线外一 点到直线上的点的线段 中,垂线段的长最短”的证 明过程,在按照 新课标 编写的教材 中,并不包含 这样的定理,更没有引人解决这类 问题的方法 、 思 路的训练,实际上,学生就难以具各应对这样 的试 题的能力 。 又如,在得出 “ 当点C在点D的左 上方丑使CMD是等腰直角三角形 时,点C与 点D的 非 常距 离 最 小 ” 以后 ,就 应 面 临根 据 JM JD=| y c y D| ,即通过解绝对值方程 阮叫 =| 扣扪-1 才能求解,而绝对 值 方 程的解法却是新课标 未列人的学习内容 综上所述,应当认为,实际上学生应当是不具 各完整解

17、答这个题 目所需的基本能力的, 另一方面,笔者还认为,新课标 引人的初 中 阶段学习的坐标平面的知识,目的仅 限于处理 函 数图象的有关问题,而并非是引入 “ 坐标法 “ 这个 数学工具.近年来,借 助于坐标平面当做 “ 理想平 台”,结合难度较易加强 的几何 问题取代 函数,而 将“解析几何”的思路和方法隐现其 中,从而不 当 地出现了大量的“坐标系拉 台,平面几何 唱戏 ” 的 “ 压轴题”,大行其道,成为初 中数学教学,特别是 各考复习阶段 的不可或缺 的“重头戏”;本文讨论 的题 目就是一个貌似解析几何,却用平面几何来 解题的“怪怪的”试题. 笔者 以为,上述 现象 的出现,不可简单地

18、 归 责于题 目、 活动 的编拟者 “ 随意违规 ” ,而应认识 到 新课标倡 导 的知识 和技 能 的范 围 的缩 小 、 技能训练的难度 的降低 和 同样是 新课标 所倡 导的探索 、 创 新 能力 培养 的深层 次 目标 存 在 明 显 的、 严重 的落差,使得编拟时“顾 此失彼 ” 、 “ 捉 襟见肘 ” 、 “ 寸步难行 ” ,被迫而走 “ 非数学化 ” ,打 “ 擦边球”的策略,以致标准不一,乱象丛生,这是 当前 中考试题 中经常出现值得商榷的不当试题 的 原因,这应是我们当前急须认真面对 、 认真反思的 客观事实. 13年 第52卷第12期数 学通报 4 追本溯源,中考中这类试题

19、 出现的由来的进一 步分析 坦 白说,笔者完全理解命题人员呕心沥血设 计出这类超新课标 、 超课本 、 超难度的试题是被 迫的,是不得 已而为之的。 实际情况是,如前所述,新课标的大力度的 改革,使新课本 的知识 与时俱进,但走 内容 现代 化,吐故纳新,走内容广而浅 的道路;改革力度较 大的几何部分删减定理,大幅度限制题 目的难度, 减少训练量等一系列改革措施,希望达到减轻学 生负担,让学生轻松学习的 目的.但另一方面,由 中国国情决定,家长和学生无法逃离择校 、 升学的 激烈竞争,而考试成绩是进行竞争最有效 的硬性 指标.在我们的“ 一试定生死”的考试制度下,还是 试卷成绩决定一切;在当前

20、 新课标 的理念 的考 查尚未能以恰当的形式进人试卷;而新课标 列 出的那些知识和技能,在家长紧张督促下,大部分 学生都能较好地完成,所以严格按照 新课标 、 新 课本所能到达的水平考试,成绩将普遍较高,远远 达不到选拔性考试所需要 的对 区分度 的要求,这 就促成 了试题难度不断提高,新理念带来 的新颖 性的试题不断出现,形成了试题样式 、 难度的不断 发展和提高态势,与 新课标的要求落差 日趋扩 大,命题难度和试题 的科学性和适用性难免 良莠 不齐,状况频 出,对数学教学 的负面影 响 日益显 现,值得课程改革的领导给予关注. 5 中考试题与 新课标 的教学 目标 的要求的落 差是当前“乱

21、象”之源 不可否认,面对激烈的升学成绩竞争 的社会 需求,使家长 、 学生和教师在严谨落实新课标 和 设法应对“难度超标 ” 的试卷面前只能选择后者, 全国历届 中考题 中那些未必能正确反映课改 目标 的“新颖题”、 “ 压轴题”的的有关 内容,都将被列人 必须研修的各考教材纳人各考 的必修 内容 , 使数学教学,特别是备考时,远远突破 了 新课标 的范围,大大增加了学生的学习负担,背离了课改 的方向. 面对大家都不愿看到的局面,离课改 的美好 初衷愈来愈远,热切盼望教育部门的领导者,真正 的专家学者能认清“乱象”之源,制定有效的对策, 尽早结束这种局面,使中国数学教育重新建立正 常的教学秩序

22、. 6 关于 新课标 的改进和“ 新课改 ” 实施的几点思考 (D“因材施教” 是 中国 自古 以来各受尊崇 的 教育原则.我国各地区文化发展不平衡,个人知识 的积累、 认知能力和思维水平也存在差异,是人所 共知的。笔者认为,在这种情况下用一个标准去规 范教育内容实际上限极为不当。目前的情况是,当 前在“教育公平”、 “ 减轻负担”、 “ 国际潮流”的口号 影响下,只能以最低 的标准去制定这个全 国统一 的“课程标准”去规范全 国.使得数学教育发展处 于国际先进水平的地区,和有高素质的、 极具发展 潜力青少年只能 向低标准看齐,既限制 了他们才 能的发挥,也是国家人才培养的损失,实际上产生 了

23、更大的教育 的损失和另一种教育的不平等.为 什么不能制定几种不 同要求 的“课程标准”,供不 同类型的地区学校 的校长 、 教师去选择,由家长、 学生根据个人 的实 际去选择,真正落实 “ 因材施 教”和“因材受教”呢?(笔者正修改此文 时,喜见 文E4彐的发表,本文许多见解与企盼与此文介绍 内 容趋 同,深感欣喜和安慰D。 (2)世界各 国很多数学教育工作者认 为,中 国的中学数学教育是较为成功的,认为它的优势 在于基础扎实,后续持续学习能力强,也有很多人 认为,中国数学教育具有优秀的传统,也在于重视 基础,重视基本技能训练(文E4彐).但是我们似乎 对此并未组织专家学者进行认真地探讨总结,

24、更 未能充分体现在新课标中,令人遗憾.笔者认 为,“思维数学化”是学生的思维素质培养的重要 内容,是数学教育的重要 目标之一,是其他课程无 可替代的;虽然“思维数学化”绝不是一蹴而就的, 只能随着数学知识的扩大逐步提高、 逐步完善,但 始终应是中学数学的终极 目标; (3)希望慎重考虑并进一步修改 新课标 对 基础知识和基本技能 的“删”与“限”的内容.如前 所述,删、 限过度,不仅遏制 了学有余力 的学生能 力发展,也使学生在解决 问题 时,缺东少西,捉襟 见肘,更难 以实现 新课标 自身 主张 的 “ 探索”、 “ 应用”、 “ 创新”的 目标。 应当进一步研讨什么是删减的正确方 向和正

25、饰原则,才既能达减轻负担和降低不合理的难度 的目标,叉不会引起“翻墙”、 “ 越狱”引人不当教学 内容、 设计不当试题的情况发生. (下转第9页 ) 2013年 第52卷 第12期 数 学通报 | =歹+溺+记 | 卩 =砺:+a :+豸 卩=131+曰2莎2+沙 9 由 H卩 | 就 得到定理4,如果把柯西 不等式两边开力 柯 西不等式可以表述为:两个 向 量模的积不小 于 两个 向量数量积 的模,这是柯 西 不等式的几何意义。 启发性练习 已 知 r ,求证 :兰+手 胃 J 已知 弘 丿r ,求证:+; F睾了 = 已知 纪阢c r ,恤 :管+膏 +等 曰+乙+c . 4.上面的练习有

26、什么共同的特点?你能从 中 得到更一般的结论吗? 这几道题在学习基本不等式时学生都做过, 放在这里可以作为柯西不等式 的一组巩 固练习, 更重要的是启发学生发现柯西不等式 的变式,练 习1,2的证明都 只要两边 同乘 以 +丿,用柯西 不等式即可,练习3只要两边同乘 以夕+乙+c ,用 柯西不等式 即可,教师启发学生观察练习1,2的 一个共 同特征:右式分母正好是左式两个分母之 和,而练习3右式可以写成 甥芦苫琵羊 的形式, 也符合上述规律 通过讨论可以得到以下结论 柯西不等式变式1,设 为大于1的自然数, 伤l ,2,夕Rx ,则 (乙1+乃2+扬)2,等号当且仅当 夕2 堍 _仇 时成立(

27、当劬=0时,约定乙i =0,氵=1,2, ,), 浼 臼 柯 西不 等式变式 2. 曰l ,纟2,曰Rx ,则 竺+丝+ +丝 设为大于1的自然 数, ,等 铴+饧+ 曙 +箦+笋 ) (沙l +沙2+ +纰)2 z 1 乙2 曰 曰l 号当且仅当红=丝=。= z 1 z 2 +幻+曰” 红时成立(当 免=0 曰 时,约定乙i =0,氵=l ,2,), 教材从定理1到定理4是推广,通过对教材 的研读,也要让学生掌握推广的基本模式,培养学 生推广的意识,这对培养学生创造性思维能力 的 发展具有重要意义. 在应用“问题链”进行 阅读 四层次达成的教学 中,教师所设计的问题要对准阅读的目标,突出阅读

28、 内容的重点;要问在学生有疑问的地方,促进学生对 问题的理解,帮助学生将证据与结论联系起来;要能 够引导学生积极思考,将学生的观点引入课堂,促进 学生的参与和讨论;还要为学生进一步学习留有空 间.只有这样,数学阅读才能有效的展开。 参考文献 1 中国大百科全书总编委会教育编辑委员会 中国大百科全书 教育卷匚M彐.北京:中国大百科全书出版社,1985,8(第 一版) 2 单蹲 普通高中课程标准实验教科书选修4-5不等式选讲 匚M彐,南京:凤凰出版传媒集团,江苏教育出版社,2O1O 3 单撙 普通高中课程标准实验教科书选修4-5不等式选讲教 学参考 书EM南京:风凰 出版传 媒 集 团,江 苏 教

29、 育 出版 社,2O10 4 中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准(实验)匚s 彐 , 北京:人民教育出版社,0娃 (上接第5页 ) 结 束 语 笔者退休多年,本文只是作为一个旁观者有 感而发,信 “ 笔”由缰,草拟而成,难免有胡言乱语 之嫌.只是想丢一块石头到表面平静的水面,掀起 一些涟漪,如能促进大家思考,也是有一点积极意 义的,这就是笔者写此文的初衷 . 欢迎大家批评指正, 参考文献 1 刘东升.12年中考数学命题的喜与忧匚 J彐 中学数学教学参 考(中旬),2012,l 1:56 2 中华人民共和国教育部,义务教育数学课程标准(2011年版) Es 北京:北京师范大学出版社,12

30、,11 3 万家练,这样 的中考题今后还还 出现吗?EJ彐 数学通报, 2O12,9:24 4 张英伯,文志英.法兰西英才教 育掠影匚 J数学通报,2013, 1:1 2013年 第52卷 第12期数学通报 新课程标准下的中考命题思路的变化 以北京市 中考数学试题为例 王亮亮 (北京教育考试院 100083) 随着 义务教育数学课程标准(2011年版) (以 下简称巛课程标准(2011年版)”)的颁布和实施,如 何实现由 全 日制义务教育数学课程标准(实验稿) (以下简称 巛课 程标 准(实验稿)” )到 课程标准 ( 9011年版)的平稳过渡,不仅对中学数学教学提出 了新要求,也对中考数学命

31、题工作提出了新要求 . 为了实现平稳过渡,北京市 中考命题工作结 合北京市的教学实际情况,提出了“逐步渗透课 程标准(2011年版)的理念和精神,对 课程标准 (2011年)弱化 的课程 内容不再进行强化,最后 修订课程 内容 主干知识 ” 的命题工作思路,并在 北京市高级中等学校招生考试考试说 明(以下 简称“ 考试说明 ” )中逐步地体现思路的变化. 12和13年 的工 作 主要 有 以下几 个 方 面:第一,根据 课程标准(实验稿)和 课程标准 (2011年版)的基本理念和总 目标要求 中具有 的 共性的问题,2012年的 考试说 明 增加 了“数学 学科中考注重考查初 中数学 的基础知

32、识 、 基本技 能和基本思想方法;考查数感 、 符号感 、 空间观念 、 统计观念 、 运算能力 、 推理能力 、 发现问题和分析 解决问题的能力,以及应用意识等”;第二,经过一 年对 课程标准(2011年版)的理念 和精神 的渗 透,2013年 的 考试说明 明确地指 出了中考命题 “ 参考 义务教育数学课程标准(2011年版)的理 念和精神”,并把 “ 四基”写入 了考试说明,进一 步地修改了核心概念 “ 数学学科 中考注重考查初 中数学的基础知识 、 基本技能、 基本思想和基本活 动经验;考查数感 、 符号 意识 、 空 间观念 、 几何直 观 、 数据分析观念 、 运算 能力 、 推理

33、 能力 、 模 型思 想 、 发现问题和分析解决问题 的能力,以及应用意 识和创新意识等”;在此基础上对课程标准(2011 年版)弱化的部分内容进行了修改,例如,删除了 “ 数与式”当中的“有效数字”、 “ 能对含有较大数值 的信息作出合理 的解释和推断”和“图形与变换” 当中的“了解物体 的镜面对称 ” 等 内容.上 述工作 是对如何实现两个“课程标准”平稳过渡进行 的方 向性的指引;而在具体工作 中,如何将课程标准 (20J1年版)提出的理念和精神恰如其分地渗透 到试题 中,并对中学教学起到 良好的引导作用,这 对命题工作来说是至关重要的. 实现这种“恰如其分”,一个重要方 面是抓住 教学

34、 目标上的失衡点,如缺乏对数学本质和思想 的感悟,现在的课堂通过各种训练使学生获得基 础知识 、 基本技能和应考能力,但对思想的感悟及 经验的积累、 数学能力 的培养是缺乏的,这与 课 程标准(2011年版)的基本理念及实现全面育人 的 目标 是 不 吻合 的,针对 这一方 面 的 问题 ,在 12年的试题 中选定 了一道难度 中等的题 目.下 面通过题 目的设置 、 考后数据 以及教学 的思考等 方面对试题做进一步的分析. 小翔在如图1所示 的场地上匀速跑步,他从 点A出发,沿箭头所示方 向经过点B跑到点C, 共用时30秒,他的教练选择了一个 固定的位置观 察小翔的跑步过程.设小翔跑步的时间

35、为莎 (单位 : 秒),他与教练的距离为 丿(单位:米 ),表 示y 与莎 的函数关系的图象大致如图2所示,则这个 固定 位置可能是图1中的 : 数学通报2013年 第52卷 第12期 图2 A。 点 山f B。 点 N C. 点 P D. 点Q 简单地说,对数学本质及思想 的理解可 以认 为是“将具 体 的数 学 知识 都 忘掉 以后 剩 下 的东 西”,也可以看做是从数学角度看 问题,把问题简 化和量化,建立数学模型,通过缜密的思考和严谨 的推理,使问题得以解决的一般性思想过程,解决 实际问题的过程也就是上述一般性思想过程的重 现,在这一过程中,学生会 自然地将学习中感悟到 的数学思想 、

36、 培养 的数学能力和积累的数学活动 经验应用到其中, 2012年题 目的出发点是考查学生对数学思 想及本质的感悟,而不是某一个具体 的知识或技 能的应用;题目情境的搭设不是传统形式下的“点 在基本图形运动”的模式,而是选取了一个与学生 生活息息相关的“操场”作为实例 图形,并按照学 生能够具有的经验和理解的范围将“操场”进行 了 特殊化的处理矩形 与圆结合,这种与现实生 活相结合的搭设方式,不仅使得题 目具有一定 的 信息量 、 有一定的深度,更重要的是考查了学生能 否主动地 、 有意识地从数学角度观察 、 分析现实问 题(这种意识可 以看做是判断学生是否真正理解 数学本质及思想的标准之一);

37、题 目采用 了选择题 的形式,但设问方式又与“通过点运动判断函数 图 象”的传统方式不同,而是从逆 向思维的角度给出 了“通过运动后形成的函数图象去判断点的位置” 的设问形式,这就对学生的分析 、 解决问题的能力 和数学思维提出了较高的要求. 通过考后对考生成绩的分析,题目难度0.,区 分度0.56.根据难度曲线分布图不难发现,题目对 -116分的考生具有较好 的区分功能;但对0 80 分的考生,尤其是题 目定位的50-80分的考生区 分效果不理想,难度 曲线波动较大。考后经过与 一线教师的座谈,了解到这部分考生“主动地进行 数学思维思考”的意识 比较薄弱,但这部分考生在 平常学习中又非常认真

38、以老师为主体 、 按照 老师的要求学习知识及进行相应 的训练。根据上 面的分析,不难发现,在教学活动 中,老师需要 主 动地调整 自己和学生在课堂上 的关系,实现 以学 生发展为根本 目标 的师生 的关 系,进而实现有效 的教学活动,使学生的数学思维意识得到发展 , 难度曲线分布图 10 20 30 40 50 60 7o 80 90 100 110 120 首先,对数学本质及思想感悟的培养不能空洞 地进行,一定要 以数学知识为载体,将知识与思想 融为一体,这就要求教师在讲解知识 的时候,不能 只重视结果和结果的机械化训练,同样要重视知识 的来龙去脉,也就是说让学生知道所学 的知识是 “ 从哪

39、里来的,又会到哪里去”.因为在这一过程中, 学生可以更深刻地去认识 、 体验数学,形成正确的 数学观,学会数学地思考和掌握数学思想方法.其 次,在教学的过程 中突出学生 的主体地位,让学生 主动地在数学活动过程 中去理解、 掌握相关知识, 积累数学活动经验,感悟数学思想,实现知识在现 实生活中的应用。这样,经过“知识背景、 知识形成、 解释联系”的过程,学生不仅构建 了 自己的知识体 系,也培养了学生发现问题 的意识、 解决 问题 的能 力和应用意识等,使得学生得到了全方面的发展, 实现这种“恰如其分”,另一个重要方 面是把 握住课程标准(2011年 版) 对 课程标准(实验 稿)深化的内容和

40、要求,例如对合情推理能力 的 培养.在传统的教学 中,往往重演绎,轻归纳和类 比,对证明现成结论 的训练远远多于经历探索结 论和提出猜想的数学活动过程。但是在数学 中,发 现结论 比证明结论更重要,因为这是培养学生 问 题意识 、 创新 意识 的前提.根据对这种情 况 的了 解,12年的试题以填空题 的形式呈现 了一道 以 考查“合情推理”为主要 目的的题 目. 在平面直角坐标系K”中,我们把横 、 纵坐 标都是整数的点叫做整点。 已知点A(0,4),点B 2013年 第52卷 第12期 数学通报 是轴正半轴上的整点,记AOB内部(不包括 边界)的整点个数为勿.当m =3时,点B的横坐 标的所

41、有可能值是 ;当点B的横坐标为 4(彳为正整数)时,印= 数式表示), (用含彳的代 4 3 2 1 / L L L : LJ | | _i j 亠:扛l I 0扛I 4J I | l l l I | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 J 课程标准(2011年版)指 出:在多种形式 的 数学活动中,发展合情推理与演绎推理的能力;合 情推理用于探索思路,发现结论,演绎推理用于证 明结论;两种推理功能不同,相辅相成. 试题在平面直角坐标系新定义 的背景下,以 “ 整点及整点个数”为素材,为考生营造一个数学 探究的环境,要求考生积极探究,运用合情推理的 思想方法,发现问题 的内部特征及相应 的解决方 法,形成相应的结论。第(1)问,让考生通过特殊值 逐步地探索解决问题的思路:哪些点满足9,z (3、 哪