第17章含参变量的积分.ppt

1、2020年7月21日星期二,1,级数与积分是构造函数的两个重要分析工具。我们已经介绍了一种利用定积分构造的函数积分上限的函数。 本章和下章介绍另一种利用 Riemann 积分与广义积分构造的函数含参变量的正常积分与含参变量的广义积分，并研究它们的分析性质：连续性、可微性、可积性。,第十七章 含参变量的积分,2020年7月21日星期二,2,17 含参变量的正常积分,1. 含参量正常积分的定义,2. 含参量正常积分的性质,3. 含参量正常积分的一般形式,2020年7月21日星期二,3,称为含参量 的正常积分,或简称含参量积分.,1. 含参量正常积分的定义,设 是定义在矩形域 上的连续 函数, 当

2、取 上某定值时,函数 则是定义在 上以 为自变量的一元函数.若此时 在 上可积, 则其积分值是 在 上取值的函数,表为,(先固定x),2020年7月21日星期二,4,类似地称,为含参变量 的积分。,是由含参变量的积分所确定的函数,下面我们研究这种函数的连续性，可微性与可积性。,这种形式的函数在理论和应用上都有重要作用,许多很有用的特殊函数就是这种形式的函数.,(先固定y),2020年7月21日星期二,5,若函数 在矩形域 上连续,2. 含参量正常积分的性质,证:,2020年7月21日星期二,6,2020年7月21日星期二,7,若函数 与其偏导数 都在矩形域,上连续,则,在 上可微, 且,即求导

3、和积分可以交换顺序.,2020年7月21日星期二,8,(证毕),2020年7月21日星期二,9,下面讨论可积性.,设 在矩形 上连续，那末由定理1 ，函数,分别在 及 上连续。因此 在 上可积，,在 上可积。记为,要研究这两个积分是否相等？,2020年7月21日星期二,10,若二元函数 在矩形域 上连续,则 和 在 和 可积, 且,即累次积分顺序可以交换.或与积分顺序无关.,2020年7月21日星期二,11,2020年7月21日星期二,12,2020年7月21日星期二,13,称为含参量 的正常积分,或简称含参量积分.,3. 含参变量正常积分的一般形式,2020年7月21日星期二,14,G,Y=

4、c(x),Y=d(x),若二元函数 在矩形域,2020年7月21日星期二,15,对于参变量的积分：,它的分析性质也有类似的结果。,在 上连续。,则,(教材p245),2020年7月21日星期二,16,证明,当 时，上式右端的三个积分都趋于零，于是,2020年7月21日星期二,17,结合复合函数及可变上限积分的求导法则即可证明.,若 在 上连续, 为定义在,2020年7月21日星期二,18,则,对于参变量的积分：,它的分析性质也有类似的结果.,(教材p247),2020年7月21日星期二,19,证明,现在分别考虑 在 点处的导数。,由定理 2 得,2020年7月21日星期二,20,由积分中值定理

5、,这里 在 和 之间。,由于 的连续性及 可微,同样可以证明,定理证毕。,2020年7月21日星期二,21,例 1 设 ，求,解:,应用定理4,有,2020年7月21日星期二,22,例 2 求,解,设,则,在矩形,连续。,于是由定理 2,2020年7月21日星期二,23,再对 积分，得,由于 ，所以,从而,2020年7月21日星期二,24,2020年7月21日星期二,25,2020年7月21日星期二,26,例 5 求,解,考虑含参量的积分,函数,及其关于 的偏导数,都在矩形 上连续，据定理 19.2，有,2020年7月21日星期二,27,将上式两边关于 从 0 到 1 积分，得,因为,所以,2020年7月21日星期二,28,解法 2,因为,所以,2020年7月21日星期二,29,(1)