天津市滨海新区五所重点学校高三联考数学试卷(理科)

1、20132013 年天津市滨海新区五所重点学校高三联考数学试卷（理科）年天津市滨海新区五所重点学校高三联考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一. .选择题（本题共选择题（本题共 8 8 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确分在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确 的）的） 1 （5 分） （2013天津模拟）复数（其中 i 为虚数单位）的虚部等于（） AiB1C1D0 考点： 复数代数形式的混合运算 专题： 计算题 分析： 两个复数的商的乘方，等于被除数的乘方，除以除数的乘方 解答： 解：由于

2、，所以虚部为1， 故选 B 点评： 本题主要考查复数代数形式的混合运算，属于基础题 2 （5 分） （2013天津模拟）p：|x|2 是 q：x2 的（） A充分必要条件B充分不必要条件 C必要不充分条件D既不充分也不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题： 计算题 分析： 解不等式可得命题 p 对应的集合，由集合的包含关系可得结论 解答： 解：由|x|2，解得 x2 或 x2， 由于集合x|x2是x|x2 或 x2的真子集， 故 p 是 q 的必要不充分条件 故选 C 点评： 本题考查充要条件的判断，用集合的包含关系是解决问题的关键，属基础题 3 （5 分） （2013天

3、津模拟）阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S 的值是（ A39B21C81D102 ） 考点： 循环结构 专题： 图表型 分析： 用列举法，通过循环过程直接得出S 与 n 的值，得到 n=4 时退出循环，即可 解答： 解：第一次循环，S=3，n=2； 第二次循环，S=3+232=21，n=3； 第三次循环，S=21+333=102，n=4； 第四次循环，不满足条件，输出S=21+333=102， 故选 D 点评： 本题考查循环结构，判断框中n=4 退出循环是解题的关键，考查计算能力 4 （5 分） （2013天津模拟）若 AB （a0）展开式中 x3的系数为 C ，则 a 的值为（

4、） D1 考点： 二项式定理 专题： 计算题 分析： 在二项展开式的通项公式中， 令 x 的幂指数等于 3， 求出 k 的值， 再根据展开式中 x3的系数为 即可求得 a 的值 解答： 解：由于 ， （a0）展开式的通项为 ， 由 52k=3 得 k=1，所以 a= ， ，即 x3的系数为5a4，即，所以， 故选 A 点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的 性质，属于中档题 5 （5 分） （2013天津模拟）已知双曲线=1（a0，b0）的左右焦点分别为 F1，F2，在双曲线 右支上存在一点 P 满足 PF1PF2且 PF1F2= AB

5、考点： 双曲线的简单性质 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程 分析： 利用 PF1PF2且，可得 的离心率 解答： 解：因为 PF1PF2且 ，那么双曲线的离心率是（） CD ，结合双曲线的定义，即可求得双曲线 ，所以， 又， 所以，即双曲线的离心率为， 故选 C 点评： 本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于基础题 6 （5 分） （2013天津模拟）在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，其中 A=120，b=1， 且 ABC 面积为 A ，则 B =（） CD 考点： 正弦定理 专题： 计算题 分析： 利用三角形的面积公式表示出三角形AB

6、C 的面积，将 sinA 与 b 的值，以及已知面积代入求出c 的 长，再由 b，c 及 cosA 的值，利用余弦定理求出a 的长，由 a 与 sinA 的值，利用正弦定理求出三角 形外接圆的半径 R，利用正弦定理及比例的性质即可求出所求式子的值 解答： 解： S ABC= bcsin120=，即 c=， c=4， 由余弦定理得：a2=b2+c22bccos120=21， 解得：a=， =2R， 2R=2， 则=2R=2 故选 D 点评： 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键 7 （5 分） （2013天津模拟）在平行四边形ABCD 中， ，则实数

7、与 的乘积为（） ABCD ，连接CE、DF 相交于点 M，若 考点： 平面向量的基本定理及其意义 专题： 平面向量及应用 分析： 由题意可得=2（）+，由 E、M、C 三点共线，可得 2=1，同理可得 =，由 D、M、F 三点共线，可得 +=1，综合可得数值， 作乘积即可 解答： 解：由题意可知：E 为 AB 的中点，F 为 BC 的三等分点（靠近 B） 故 =（）+ = =2（） = +， 因为 E、M、C 三点共线，故有 2（）+=1，即 2=1， 同理可得 = = ， ）=1，即 +=1， = 因为 D、M、F 三点共线，故有 +（ 综合可解得 = ，故实数 与 的乘积 故选 B 点评

8、： 本题考查平面向量基本定理即意义，涉及三点共线的结论，属中档题 8 （5 分） （2013天津模拟） 已知函数 f（x） =1+x +，g （x） =1x+ ，设函数 F（x）=f（x+3）g（x4） ，且函数 F（x）的零点均在区间a，b（ab，a，bZ 内， 则 ba 的最小值为（） A8B9C10D11 考点： 函数的零点与方程根的关系；函数最值的应用 专题： 计算题；函数的性质及应用 分析： 可通过导数法求得 f（x）与 g（x）的零点，从而可得f（x+3）和 g（x4）的零点，继而可求得F （x）的零点均在区间a，b（ab，a，bZ）的具体区间，从而可求得ba 的最小值 解答： 解

9、： f（x）=1+x+， f（x）=（1x）+（x2x3）+x2012 =（1x） （1+x2+x4+x2010）+x2012 当 x=1 时，f（x）=21006+1=20130， 当 x1 时，f（x）=（1x） （1+x2+x4+x2010）+x2012 =（1x）+x2012 =0， +在 R 上单调递增； f（x）=1+x 又 f（0）=1， f（1）= f（x）=1+x+ 0， 在（1，0）上有唯一零点， 由1x+30 得：4x3， f（x+3）在（4，3）上有唯一零点 g（x）=1x+， g（x）=（1+x）+（x2+x3）+x2012 =（1x）+（x2x3）+x2012 =f

10、（x）0， g（x）在 R 上单调递减； 又 g（1）=（ ）+（ ）+（ g（2）=1+（ n2 时， = ）+（ ）0， ） ，）+（ 0， g（2）0 g（x）在（1，2）上有唯一零点， 由 1x42 得：5x6， g（x4）在（5，6）上有唯一零点 函数 F（x）=f（x+3）g（x4） ， F（x）的零点即为 f（x+3）和 g（x4）的零点 F（x）的零点区间为（4，3）（5，6） 又 b，aZ， （ba）min=6（4）=10 故选 C 点评： 本题考查函数的零点，考查利用导数判断函数的单调性及零点存在定理的应用，考查综合分析与转 化的能力，属于难题 二二. .填空题：本大题共填

11、空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分. .请把答案填在答题卡的相应的横线上请把答案填在答题卡的相应的横线上. . 9 （5 分） （2013天津模拟）某工厂生产A、B、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4， 现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，其中 A 型号产品有 16 件，那么此样品容量为 n=72 考点： 分层抽样方法 专题： 计算题 分析： 用 A 型号产品的样本数 16，除以 A 型号产品所占的比例，即得样本容量 n 的值 解答： 解： 由于 A 型号产品的样本数为16， A 型号产品所占的比例为， 故样本容量 n

12、=16=72， 故答案为：72 点评： 本题考查分层抽样的定义和方法， 用 A 型号产品的样本数除以A 型号产品所占的比例，即得样本容 量 10 （5 分） （2013天津模拟）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为 考点： 由三视图求面积、体积 专题： 计算题 分析： 由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1 的长方体挖去一个半径为1 的半球代入长方体的 体积公式和球的体积公式，即可得到答案 解答： 由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1 的长方体挖去一个半径为1 的半球所以长方体的 体积为 221=4，半球的体积为 故答案为： ，所以该几何体的体积为 点评： 本题考

13、查的知识点是由三视图求体积， 其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状是解题的关键 11 （5 分） （2013天津模拟）已知a=，b=20.6，c=log43，则a，b，c 的大小关系从小到大为a，c， b 考点： 不等关系与不等式 专题： 转化思想 分析： 由于此三个数既不同底，真数也不同，故需借助于中间值0，1 来做 解答： 解：由于， b=20.620=1，0=log41c=log43log44=1 则 a，b，c 的大小关系为 acb 故答案为 a，c，b 点评： 本题考查的是比较实数的大小关系，属于基础题，注意：此类题除利用函数的单调性来处理外，还 常借助于中间值（如：1，0，1）

14、来处理 12 （5 分） （2013天津模拟）己知集合 x1，AB=x|4x3，则实数 m 等于 ，若 AB=x|1 考点： 子集与交集、并集运算的转换 专题： 计算题 分析： 首先化简 A，然后根据已知条件求出集合B，再由一元二次不等式的解集求出结果 解答： 解：， AB=x|1x1，AB=x|4x3， 由数轴可知 B=x|4x1， 即4，1 是方程 x2+2mx4=0 的两个根， 4+1=2m=3，解得 故答案为： 点评： 此题考查了子集与交集、并集运算的转换，属于基础题 13 （5 分） （2013天津模拟）直线 l：（t 为参数） ，圆 C：=2（极轴与 x 轴的非负半轴重合，且单位长

15、度相同） ，若直线l 被圆 C 截得的弦长为，则实数a 的值为0 或 2 考点： 参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程 专题： 计算题 分析： 化直线的参数方程为普通方程， 化圆的极坐标方程为一般方程， 由直线 l 被圆 C 截得的弦长为转 化为圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式求解实数a 的值 解答： 解：直线l：，由得，代入得直线 l 的方程为 x+2y+（2a）=0， 由 =2，得 =2cos2sin 2=2cos2sin，所以圆的方程为 x2+y2=2x2y，即（x1）2+（y+1）2=2， 所以圆心为（1，1） ，半径若直线 l 被圆 C 截得的弦长为， 则圆心到直线的距离

16、， 又，即|1a|=1， 解得 a=0 或 a=2 故答案为 0 或 2 点评： 本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标和直角坐标的互化，训练了点到直线的距离公式， 是中档题 14 （5 分） （2013天津模拟）设函数 上横坐标为 n（nN*）的点，向量 ，A0为坐标原点，An为函数 y=f（x）图象 ，向量 i=（1，0） ，设 n为向量 an与向量 i 的夹角， 则满足的最大整数 n 是3 考点： 两角和与差的正切函数 专题： 压轴题 分析： 先确定点 A =（n，f（n） ） ，再确定 n ，然后明确夹角 n，进一步表示出 tann，最后可由列举法求 出满足要求的最大整数 n 解答

17、： 解：由题意知 A =（n，f（n） ） ， n =， 则 n为直线 A0An的倾斜角，所以 tann= 所以 tan1= 则有 =1，tan2=，tan3= ， =， =，tan4= 故满足要求的最大整数 n 是 3 点评： 本题综合考查向量的夹角与运算及正切函数的定义与求值 三三. .解答题：本大题解答题：本大题 6 6 小题，共小题，共 8080 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15 （13 分） （2013天津模拟）已知函数 f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，xR求： （I）求函数 f（x）的最小正周期和单调递增

18、区间； （II）求函数 f（x）在区间上的值域 考点： 由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性 专题： 三角函数的求值 分析： （I）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，即可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间； （II）先确定 解答： 解： （ I） ： = 分） 最小正周期 f（x）的单调递增区间为 ，（5 分） 时 f（x）为单调递增函数 （8 分） =（4 ，再求函数 f（x）在区间上的值域 （ II） ， ， ，由题意得： f（x）1，4 f（x）值域为1，4（13 分） 点评： 本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，

19、考查学生的计算 能力，属于中档题 16 （13 分） （2013天津模拟）甲、乙两人参加某种选拔测试规定每人必须从备选的6 道题中随机抽出 3 道题进行测试，在备选的6 道题中，甲答对其中每道题的概率都是 ，乙只能答对其中的 3 道题答对一 题加 10 分，答错一题（不答视为答错）得0 分 （）求乙得分的分布列和数学期望； （）规定：每个人至少得20 分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率 考点： 离散型随机变量的期望与方差 专题： 概率与统计 分析： （）确定乙得分的取值，求出相应的概率，即可求得分布列和数学期望； （）利用对立事件的概率公式，即可求得甲、乙两人中至少有一人通

20、过测试的概率 解答： 解： （）设乙的得分为 X，X 的可能值有 0，10，20，30（1 分） ， （5 分） 乙得分的分布列为： X0 P （6 分） 所以乙得分的数学期望为15（8 分） （）乙通过测试的概率为 甲通过测试的概率为 甲、乙都没通过测试的概率为 因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为 （9 分） （11 分） （13 分） 102030 点评： 本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生分析解决问题的能力，属于 中档题 17 （13 分） （2013天津模拟） 如图在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 是边长为 a 的正方形， 侧面 PAD 底

21、面 ABCD，且 PA=PD=AD，设 E、F 分别为 PC、BD 的中点 （） 求证：EF 平面 PAD； （） 求证：面 PAB平面 PDC； （） 求二面角 BPDC 的正切值 考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 专题： 证明题；空间位置关系与距离 分析： （）利用线面平行的判定定理：连接AC，只需证明 EF PA，利用中位线定理即可得证； （）利用面面垂直的判定定理：只需证明PA面 PDC，进而转化为证明PAPD，PADC，易 证三角形 PAD为等腰直角三角形，可得PAPD；由面 PAD面 ABCD 的性质及正方形 ABCD 的 性质可证 CD

22、面 PAD，得 CDPA； （）设 PD 的中点为 M，连结 EM，MF，则 EMPD，由（）可证 PD平面 EFM，则 EMF 是二面角 BPDC 的平面角，通过解Rt FEM 可得所求二面角的正切值； 解答： （）证明：ABCD 为平行四边形， 连结 ACBD=F，F 为 AC 中点，E 为 PC 中点， 在 CPA中 EF PA，且 PA平面 PAD，EF平面 PAD， EF 平面 PAD； （）证明：因为面PAD面 ABCD，平面 PAD面 ABCD=AD，ABCD 为正方形， CDAD，CD平面 ABCD， 所以 CD平面 PAD， CDPA， 又， ，即 PAPD，所以 PAD是等

23、腰直角三角形，且 CDPD=D，且 CD、PD面 ABCD，PA面 PDC， 又 PA面 PAB， 面 PAB面 PDC； （）解：设 PD 的中点为 M，连结 EM，MF，则 EMPD， 由（）知 EF面 PDC，EFPD，PD面 EFM，PDMF， EMF 是二面角 BPDC 的平面 角， Rt FEM 中， 故所求二面角的正切值为； 点评： 本题考查线面平行、面面垂直的判定及二面角的求解，考查学生的推理论证能力及逻辑思维能力， 属中档题 18 （13 分） （2013天津模拟）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且Sn=2an2（nN*） ，数列bn满足 b1=1， 且点 P（bn，bn

24、+1） （nN*）在直线 y=x+2 上 （）求数列an、bn的通项公式； （）求数列anbn的前 n 项和 Dn； （）设 cn=ansin2，求数列cn的前 2n 项和 T2n 考点： 数列与三角函数的综合；数列的求和 专题： 等差数列与等比数列 分析： （）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可求求数列an的通项公式；利用点 在直线 y=x+2 上，可得bn是等差数列，公差为 2，首项 b1=1，从 而可求bn的通项公式； （）利用错位相减法，可求数列anbn的前 n 项和 Dn； （）利用分组求和法，可求数列cn的前 2n 项和 T2n 解答： 解： （）当 n=1，a1=2（1 分）

25、 当 n2 时，an=SnSn1=2an2an1（2 分） an=2an 1（n2） ， an是等比数列，公比为 2，首项 a1=2 又点 （3 分） 在直线 y=x+2 上， bn+1=bn+2， bn是等差数列，公差为 2，首项 b1=1， bn=2n1（5 分） （） 得（7 分） = （9 分） （8 分） （）（11 分） T2n=（a1+a3+a2n 1）（b2+b4+b2n） =（13 分） 点评： 本题考查数列的通项与求和，考查等差数列与等比数列的判定，考查错位相减法的运用，属于中档 题 19 （14 分） （2013天津模拟）设椭圆C： 点为 A，在 x 轴负半轴上有一点 B

26、，满足 （）求椭圆 C 的离心率； （）若过 A、B、F2三点的圆恰好与直线相切，求椭圆 C 的方程； （）在（）的条件下，过右焦点F2作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点，若点 P（m，0） 使得以 PM，PN 为邻边的平行四边形是菱形，求的取值范围 ，且 ABAF2 的左、右焦点分别为F1、F2，上顶 考点： 圆与圆锥曲线的综合；直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质 专题： 综合题 分析： （） 由题意知 F1（c， 0） ， F2（c， 0） ， A （0， b） ， 由知 F1为 BF2的中点， 由 ABAF2， 知 Rt ABF2中，BF22=AB2+AF22 （）

27、由，知， ，由此能求出椭圆的离心率 ，Rt ABF2的外接圆圆心为（ ， 0） ，半径 r=a，所以，由此能求出椭圆方程 （）由F2（1，0） ，l：y=k（x1） ，设M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，由 x28k2x+4k212=0，由此能求出 m 的取值范围 解答： 解： （）由题意知 F1（c，0） ，F2（c，0） ，A（0，b） ABAF2 知 F1为 BF2的中点， ，得（3+4k2） Rt ABF2中，BF22=AB2+AF22 又 a2=b2+c2 a=2c 故椭圆的离心率 （）由（）知 于是， （3 分） 得， ， ， Rt ABF2的外接圆圆心为（ ，0） ，半径

28、r=a， 所以 c=1， ，解得 a=2， 所求椭圆方程为（6 分） （）由（）知 F2（1，0） ，l：y=k（x1） ， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， ，代入得（3+4k2）x28k2x+4k212=0由 则， y1+y2=k（x1+x22）（8 分） 由于菱形对角线垂直， 则 故 x1+x22m+k（y1+y2）=0 即 x1+x22m+k2（x1+x22）=0， （10 分） 由已知条件知 k0， 故 m 的取值范围是（12 分） 点评： 本题主要考查椭圆标准方程， 简单几何性质， 直线与椭圆的位置关系， 圆的简单性质等基础知识 考 查运算求解能力，推理论证能力；考查函数