中科大数学分析历年期末考试卷

1、I?E?X 2001 ?)?(3)?K ?m?2003c1?8F?8:3010:30/:?2210!2211!2104()!2103(?) ?ek?K8? 100 1. 10 Q? fn(x) 3m a,b ?u f(x) ?Q C?2 + a f(x,u)dx u u 3m , ? 2. 12?e?5? (1) n=1 ( n 3n + 1 )n ,(2) n=1 n ( log 2n + 1 2n 1 1 ) ,(3) 1 0 sin(1 x) xdx. 3. 15 ? n=1 (1)n1 n + 1 n nx O3?m? !? 4. 10 ? n=0 1 2n + 1x 2n+1 ? R

2、, d?3 (R,R) ? 5. 10 ? f(x) (0,1) ?K?NO?y?e lim n 1 n n1 k=1 f( k n) ? 3k?K 1 0 f(x)dx ? 1 0 f(x)dx = lim n 1 n n1 k=1 f( k n) 6. 14 O?e?nd?| 0 ex 2 dx = 2 (1) 2 0 cos3xsin4xdx; (2) + 0 eax 2 ebx 2 x2 dx(a 0, b 0). K: ?(3)? 2 ?1 1 ? 7. 15 ? a,b ? f(x) = ax, x 0; bx,0 x . (1) f(x) ? Fourier ? (2) ? f(

3、x) ? Fourier ?en? (a) n=0 (1)n 2n + 1, (b) n=0 1 (2n + 1)2 ,(c) n=0 1 (2n + 1)4 . 8. 14? 0 0. (1) yn? n=1 cosnx n 3 , ? (2) y?3 , ? f(x), f(x) ? Fourier ? ? n=1 cosnx n . K: ?(3)? 2 ?1 2 ? I?E?X 2003 ?(1)?K ?m?2004c1?8F?8:3010:306? /:?2521, 2409? ?ek?K8? 100 1. z?K5 (1) ? f(x) 3m a,b ? Riemann ? (2)

4、 ? Lagrange ? Taylor n (3) ?u Riemann ? Lebesgue n (4) ?n 2. e?4?(z?K5) (1)lim x+ x2 0 arctantdt x4 + 1 (2) lim x0 cosx ex 2/2 x4 (3) lim n n2+n n2 sinx x dx(4) lim n n k=1 cos (k1) 2n cos (k+1) 2n 1 + cos k 2n 3. e?(z?K5) (1) xln2 xdx(2) cosxsinx (1 + sin2x)n dx (3) 3 0 arcsin x 1 + x dx(4) + 0 e x

5、 dx 4. (20) ? x = a(cost + tsint), y = a(sint tcost), 0 t 2, ? a 0 L?l? 5. (10) ?v? x 0 tf(t)dt = 1 2x x 0 f(t)dt ?Y f(x). K: ?(1)? 2 ?1 1 ? 6. (10) ? f(x) 3m 0,1 ?kY? f(0) = 0. y? 1 0 |f(x)|2dx 1 2 1 0 (1 x2)|f0(x)|2dx, ?=? f(x) cx ? c K: ?(1)? 2 ?1 2 ? ? ? ? 20052006c1? ?8 ?I ?o ?05001 ?F2006c1?9F

6、 I?E? C?K?Ld? I ? E ? ? 20052006c1? ?8? ?I? )3X?6? ?ek?K8? 100 1. Qnz?K5 (1) ? Lagrange ? Taylor n. (2) ? f(x) 3m a,b ? Riemann ?. (3) ?u Riemann ? Lebesgue n. (4) ?n. 2. e?“?(z?K10) (1) lim n n2+n n2 arctanx x dx(2) lim n 1p+ 2p+ + np np+1 , p 0 (3) x(lnx)2dx(4) 1/3 0 1 1 + x x 1 + x dx 3. (15) ? ?

7、x = sint 2, y = t 2, z = 1cost 2 , 0 6 t 6 2 ?l?. 4. (10) ? f(x) m 1,1 ?Y?3 1,1 ? g(x), k 1 1f(x)g(x)dx = 0. y f(x) 1,1 ? 5. (10) ? f(x) 3 (,+) ?v? x 0 tf(t)dt = (x 1) x 0 f(t)dt ?Y. y f(x) 0. 6. (5) ? f(x) 4m 0,1 ?v f(0) = f(1) = 0 ?Y?, y?“ ( 1 0 f(x)dx )2 6 1 12 1 0 |f0(x)|2dx, ?=? f(x) Ax(1 x), p

8、 A . 20052006 c1?1 1 ? 1 ? ? ? ? 20062007c1? ?8 ?I ?o ?0600001 ?F2007c1?27F I?E? C?K?Ld? I ? E ? ? 20062007c1?(A?) ?8? ?I? )3X?6? ?ek?K8? 100 ?. e?4?(z?K5) 1.lim x0 1 x4 ( x 0 et 3 dt x ) 2.lim n+ n+1 n sinx x dx 3.lim n+ 1 0 exxndx4.lim n ( 1 n + 1 + 1 n + 2 + + 1 n + n ) 5.lim n n n! n ?. e?(z?K5)

9、 1. xlnxdx 2. cosxsinx (1 + sin2x)n dx 3. 1 1 x2 1 x2dx4. + 0 e x dx n. (10) )?(x + y)dx + xdy = 0. o. (10) ? n=1 (n + 1 n)cosn ?5?5 . (10) ? n=1 x2enx3m 0 6 x 0. y: lim n nan= 0. 20062007 c1?1 1 ? 3 ? C?K?Ld? ?)? ?. 1. d LHospital K lim x0 1 x4 ( x 0 et 3 dt x ) = lim x0 ex 3 1 4x3 = lim x0 3x2ex 3

10、 12x2 = 1 4. 2. ? |sinx x | 1 x, ? ? ? ? n+1 n sinx x dx ? ? ? ? n+1 n 1 x dx = ln ( 1 + 1 n ) . dd? lim n n+1 n sinx x dx = 0. 3. ? exxn exn, x 0,1, 0 1 0 exxndx e n+1. u lim n 1 0 exxndx = 0. 4. lim n ( 1 n + 1 + 1 n + 2 + + 1 n + n ) = lim n n k=1 1 1 + k n 1 n = 1 0 1 1 + x dx = ln2. 5. d Stirli

11、ng “ n n! n 1 n (n e )n 2n )1/n 1 e (n ). ?. 1. ? xlnxdx =2 3x 3/2 lnx 2 3 xdx = 2 3x 3/2 lnx 4 9x 3/2 + C. 2. cosxsinx (1 + sin2x)n dx = 1 2 d(1 + sin2x) (1 + sin2x)n = 1 2(1n)(1 + sin 2x)1n + C,n 6= 1 1 2 ln(1 + sin2x) + C,n = 1. 3. ?C? x = sint. ? 1 1 x2 1 x2dx = 2 1 0 x2 1 x2dx = 2 2 0 sin2tcos2

12、tdt = 1 2 2 0 sin22tdt = 1 4 2 0 (1 cos4t)dt = 1 8. 4. + 0 e x dx = 2 + 0 tetdt = 2 ( tet ? ? ? + 0 + + 0 etdt ) = 2 + 0 etdt = 2 20062007 c1?1 2 ? 3 ? C?K?Ld? n. ?C? u = y x. ?z? du 1 + 2u = dx x . ? x2+ 2xy = C. o. 5? (n + 1 n) cosn = cosn (n + 1 + n), ? 0 ?, ?“u, d?u? 0 2 ?, ?L 1 n/2, ?. . - f(x)

13、 = x2enx, K f(0) = f(+) = 0. ? f0(x) = x(2 nx)enx, 3m (0,+) ?, f(x) ?k?7:, d:7?:, d f(x) 4e2 n2 . d d?3 0,+) ?. 8. d?, ?n, k f(x) = f(x) f(0) = f0()x x,x 0, 1 2. f(x) = |f(1) f(0)| = |f0()(1 x)| 1 x,x 1 2,1. d 1 0 f(x)dx = 1/2 0 f(x)dx + 1 1/2 f(x)dx 1/2 0 xdx + 1 1/2 (1 x)dx = 1 4. ?U, Kk f(x) = x,

14、x 0, 1 2 1 x,x 1 2,1. d? f(x) 3 x = 1 2 ?. ?. d?, ? n ?u,?, an?N?, dk4? a 0. e a = 0, K an an+1 1/lnn = an+1 ( an an+1 1 ) lnn a. ? n=2 1 lnn u?, ? n=1(an an+1) ?u?, ?d?w,? a1 a. ?g a = 0, =, an“u. - bn= nan. K (lnn) ( bn bn+1 1 ) = n n + 1 ( (lnn) ( an an+1 1 ) lnn n ) . df?y, =? bn?“u. 20062007 c1

15、?1 3 ? 3 ? C?K?Ld? I ? E ? ? 20072008c1?(B?) ?8? ?II? )3X?6? ?. (20) ? u, v d?| xu yv = 0, yu + xv = 1 (?| (u,v) (x,y). 20072008 c1?1 1 ? 6 ? ?. (20) O? S xyz dS, ? S x + y + z = 1 31?%?. 20072008 c1?1 2 ? 6 ? C?K?Ld? n. (10) O?1?. S (y2+ z2)dydz + (z2+ x2)dzdx + (x2+ y2)dxdy, ? S ? x2+ y2+ z2= a2(z

16、 0) ?. 20072008 c1?1 3 ? 6 ? o. (20) y?| F = (x2 yz,y2 zx,z2 xy) R3?k|=? F ?= ?F? F. 20072008 c1?1 4 ? 6 ? C?K?Ld? . (20) ? f(x) 2 ? f(x) = x2, x ,). (1) f(x) ? Fourier ? (2) ? n=1 1 n4 ? n=1 (1)n1 (2n 1)3 ? 20072008 c1?1 5 ? 6 ? 8. (10) ? f(x,y,z) 34 (x x0)2+ (y y0)2+ (z z0)2 R2?k? Y? f = 2f x2 + 2

17、f y2 + 2f z2 = 0. - S (x0,y0,z0) ?%, r (0 r R) ?. y 1 4r S f(x,y,z)dS ? r . 20072008 c1?1 6 ? 6 ? ? ? ? ? C?K?Ld? ? ? ? ? I ? E ? ? 20072008c1?A? ?8? ?I? )3X?6? ?. (15 ) VgK? (a) Q f(x) 3m a,b ? Riemann ? (b) Q? 1 n=1 an(x) 38? E ? (c) Q f(x) 3m I S?: x0? 20072008 c1?1 1 ? 6 ? ?. (15 ) O?e? (a) 1 x(

18、1 ? x)dx (b) 2 2 cos2x 1 + ex dx (c) +1 0 exsinxdx 20072008 c1?1 2 ? 6 ? ? ? ? ? C?K?Ld? ? ? ? ? n. (15) ? 1 n=1 n n + 1 xn3?S? o. (15) ? y00= y0 x + x?) 20072008 c1?1 3 ? 6 ? . (15) ? an ?v lim n!1 an+2 an = q 0, 0 ?, k (1 + x) 1 + x. 20082009 c1?1 4 ? 6 ? C?K?Ld? 8. (10) ? 0. ? n=1 (n + 1) n)cosn

19、?5. 20082009 c1?1 5 ? 6 ? ?. (15) ? an= 2n n k=1 1 k. y: (1) 1 an 2 1 n; (2) 4? a = lim n an?3; (3) ? n(a an) k. 20082009 c1?1 6 ? 6 ? 中国科学院大学 2016 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：数学分析 解答：Eufisky (Xiongge) 考生须知： 1. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟； 2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 1. (15 分) 计算极限 lim x0 ( ex+e

20、2x+ +enx n )1 x . 解: lim x0 ( ex+e2x+ +enx n )1 x =lim x0 exp 1 x ln ( ex+e2x+ +enx n ) =lim x0 exp 1 x ln ( 1+ (ex1) + (e2x 1)+ + (enx1) n ) =lim x0 exp (ex1) + (e2x 1)+ + (enx1) nx =lim x0 exp x+2x+ +nx nx =e(n+1)/2. 2. (15 分) 求定积分 I= 1 0 log (1 + x) dx. 解:令 t= x, 则有 I= 1 0 log (1 + x) dx=2 1 0 tl

21、og(1+t)dt = 1 0 log(1+t)dt2= t2log(1+t) 1 0 1 0 t2 1+t dt =log2 1 0 (t1)dt+ 1 0 1 1+t dt =log2 1 2 +log2 = 1 2. 3. (15 分) 求二重极限 lim x y x+y x2xy+y2 . 解:解法一. ? ? ? ? x+y x2xy+y2 ? ? ? ? ? ? ?1 x + 1 y ? ? ? ? ? ? x y + y x 1 ? ? ? ? ? ?1 x + 1 y ? ? ? ? ? ? x y + y x ? ? ?1 ? ? ? ? 1 x + 1 y ? ? ? ?.

22、 考试科目：数学分析第 1 页共 5 页 解法二.(忘忧草) ? ? ? ? x+y x2xy+y2 ? ? ? ? 2|x+y| x2+y2 2|x| + |y| x2+y2 2 ( 1 |x| + 1 |y| ) . 因此所求二重极限等于 0. 4. (15 分) f(x)是a,b上的连续正函数, 求证存在 (a,b), 使得 a f(x)dx= b f(x)dx= 1 2 b a f(x)dx. 证明:令 g(t) = t a f(x)dx 1 2 b a f(x)dx, 则 g(x)在a,b上连续, 而 g(a) = 1 2 b a f(x)dx,g(b) = 1 2 b a f(x)

23、dx. 故 g(a), g(b)必不同号, 由零点定理可知存在 (a,b), 使得 g(t) = a f(x)dx 1 2 b a f(x)dx=0, 即 a f(x)dx= 1 2 b a f(x)dx, 此时有 b f(x)dx= b a f(x)dx a f(x)dx= 1 2 b a f(x)dx. 5. (15 分) 求以下曲面所围立体的体积: S1: x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 =1, S2: x2 a2 + y2 b2 = z2 c2 (z0). 一开始看到这题, 感觉不好算, 觉得时间紧迫, 果断搁置. 后面才回来解决的. 解:当 z2 c2 1 z2 c2,

24、即 z c/2 时, 我们有 V1= 1 dV= c 0 dz D1 dxdy= c c 2 ab c2 z2ab ( 1 z2 c2 ) dz =ab c c 2 ( 2z 2 c2 1 ) dz= abc 3 ( 1+ 2 ) 当 z2 c2 1 z2 c2, 即 z c/2 时, 我们有 V2= 2 dV= c 0 dz D2 dxdy= c 2 0 ab ( 1 z2 c2 ) ab c2 z2 dz =ab c 2 0 ( 12 z2 c2 ) dz= 2 3 abc 因此 V=V1+V2= abc 3 ( 221 ) . 考试科目：数学分析第 2 页共 5 页 6. (15 分)

25、f(x)是a,b上的连续函数, 且 f(x)单调递增. 求证: b a tf(t)dt a+b 2 b a f(t)dt. 证明:由于 b a tf(t)dt a+b 2 b a f(t)dt= b a ( t a+b 2 ) f(t)dt = a+b 2 a ( t a+b 2 ) f(t)dt+ b a+b 2 ( t a+b 2 ) f(t)dt = a+b 2 a ( t a+b 2 ) f(t)dt a a+b 2 ( a+b 2 x ) f(a+bx)dt(x=a+bt) = a+b 2 a ( t a+b 2 ) f(t) f(a+bt)dt. 而当 t ( a, a+b 2 )

26、 时, 有 t a+b 2 0,t (a+bt) =2t (a+b) 0, 又 f(x)单调递增, 可知 f(t) f(a+bt) 0. 因此 b a tf(t)dt a+b 2 b a f(t)dt= a+b 2 a ( t a+b 2 ) f(t) f(a+bt)dt0. 7. (15 分) 若数列an,bn满足以下条件: (a) a1a2 且 lim n an=0; (b) 存在正数 M, 对任意的正整数 n, 均有 ? ? ? ? n k=1 bk ? ? ? ? M. 证明级数 n=1 anbn收敛. 当时一看到这题就想到了阿贝尔变换, 但公式不熟啊, 只知道是分部积分的离散形式,

27、还 不敢写, 是和最后一道题一样留到最后写的. 事实上, 这是 Dirichlet 判别法. 证明:记 Bn= n k=1 bk, 由 Abel 变换有 ? ? ? ? ? n i=m+1 aibi ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? n1 i=m+1 (aiai+1)Bi+anBnam+1Bm ? ? ? ? ? M n1 i=m+1 |aiai+1| +M(|an| + |am+1|) =M ? ? ? ? ? n1 i=m+1 (aiai+1) ? ? ? ? ? +M(|an| + |am+1|) =M|am+1an| +M(|an| + |am+1|) 2M(|an| + |

28、am+1|) 4M|am+1| 0. 由 Cauchy 收敛准则知级数 n=1 anbn收敛. 考试科目：数学分析第 3 页共 5 页 8. (15 分) 设 0ab/2, f(x)在a,b上连续, 在(a,b)上可导且 f(a) =a, f(b) =b. (a) 求证存在 (a,b), 使得 f() =b; (b) 若 a=0, 求证存在 , (a,b),=, 使得 f()f() =1. 证明: (a) 令 g(x) =f(x) b+x, 则有 g(x)在a,b上连续, 而 g(a) =f(a) b+a=2ab0. 由零点定理可知存在 (a,b), 使得 g() =f() b+=0, 即 f() =b. (b) 当 a=0, 则有 b0. 由 Lagrange 中值定理可知存在 (a,), 使得 f() = f() f(a) a = b . 存