数学竞赛《提优教程》教案：第14讲平几问题选讲

1、第 16 讲平几问题选讲 平面几何在高中竞赛和国际竞赛中占有重要的地位， 本讲将对平几中的一些典型问题的 选讲，强化解平几问题的典型思想方法. A 类例题 例 1 如图，已知正方形ABCD，点E、F 分 且 BE+DF=EF，试求EAF 的度数.（1989 年全 分析 注意到 BE+DF=EF，很容易想到“截 AD F BE C 别在 BC、CD 上， 国冬令营） 长补短”的方法 AD 解 延长 CB 到 F， 使得 BF= DF， 连结AF 显 然 AFB AFD F BAF=DAF，AF=AF 又EF=BE+BF=BE+DF，AE 为公共边， C FBE AFEAFE EAF=EAF 又F

2、AF=BAD=90， EAF=45 说明 本题AFB 可以看作是AFD 顺时针旋转 90 得到的； 本题也可以延长 CD 或旋转 ABE. 链接 本题若在 EF 上截取 EH=BE，是很难进行下去的，但我们可以用代数的方法来研 究， 解法如下： 过点A作AHEF于H， 由勾股定理得AB2+BE2=AH2+EH2， AD2+DF2=AH2+FH2， 两 式 相 减 可 得BE2-DF2=EH2-FH2， 于 是 (BE-DF)(BE+DF)=(EH-FH)(EH+FH) ， 而 BE+DF=EH+FH所以 BE-DF=EH-FH，由可得 BE=EH， DF=FH从而可得 AE 平 分BAH，AF

3、 平分DAH，所以EAF=45 A D F H BE C 例 2 如图，A、B、C、D 为直线上四点，且 AB=CD，点 P 为一动点，若APB=CPD， 试求点 P 的轨迹（1989 年全国初中数学联赛） P ABCD 分析由于已知的两个条件 AB=CD 和 APB=CPD，分散在两个三角形中，需要把它们集中，于是可以进行平移或添加辅助圆建 立这两个已知条件间的联系. 证法一 分别过点 A、B 作 PC、PD 的平行线得交点 Q.连结 PQ. 在QAB和PCD中,显然 P QABPCD,QBA Q PDC. 由 AB=CD,可知 QABPCD. 有 QAPC，QBPD，AQB CPD. AB

4、CD 于是,PQAB，APBAQB. 则 A、B、P、Q 四点共圆，且四边形ABPQ 为等腰梯形.故 APBQ.所以 PAPD. 即点 P 的轨迹是线段 AD 的垂直平分线. 证法二 作PBC 的外接圆交PA、PD 分别 P 为 E、F，连结 BE、CF， APB=CPD， BE=CF，ABE=EPC=BPF= F EDCF. 又AB=CD， ABEDCF. ABCD PABPDC. PAPD. 即点 P 的轨迹是线段 AD 的垂直平分线. 说明 同样地， 也可以作PAD 的外接圆， 目的是建立条件 AB=CD 和APB=CPD 之间的 联系. 证法三 由三角形的面积公式易得PAPB=PCPD

5、，PAPC=PBPD，两式相乘，化简得 PAPD. 即点 P 的轨迹是线段 AD 的垂直平分线. PAABPDCD 证法四 由正弦定理得=,=, sinPBA sinAPB sinPCD sinCPD 从 而 PAPDPAPD =， 同 理 可 得=， 而 sinPBA=sinPBD ， sinPBAsinPCDsinPCBsinPBD sinPCD=sinPCB，化简得 PAPD. 即点 P 的轨迹是线段 AD 的垂直平分线. PA2ABAC 链接 本题可以有更一般的结论，如:若仅已知APB=CPD，求证：=；请同学 2AC MPA Q PD N AB 们自己研究 例 3 AD 是ABC 的

6、高线， K 为 AD 上一点， CK 交 AB 于 F.求证：FDAEDA. 分析 为了把已知条件之间建立联系， 可以通 方法. 证明 如图，过点 A 作 BC 的平行线,分 别交直线 DE、DF、BE、CF 于 Q、P、N、M. 显然， F K E BK 交 AC 于 E， BDC 过作平行线 的 BDKDDC . ANKAAM 有 BDAMDCAN. (1) APAFAM ，有 BDFBBC BDAM AP. (2) BC AQAEAN 由，有 DCECBC DCAN AQ. (3) BC 由 对比(1)、(2)、(3)有 APAQ. 显然 AD 为 PQ 的中垂线，故 AD 平分PDQ.

7、 所以，FDAEDA. 说明 这里,原题并未涉及线段比,添加 BC 的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这 些比例式,就使 AP 与 AQ 的相等关系显现出来.本题证明方法很多，例如可以过点 E、F 作 BC 的垂线，也转化为线段的比来研究. 链接 若 K 为ABC 的垂心时，DEF 为垂三角形，对于垂三角形有如下性质： 三角形的垂 线二等分其垂三角形的内角或外角.关于垂心的性质可参见本书高一分册第十七讲三角形 的五心 情景再现 1点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、BC 的中点，连 AF，CE，设 AF，CE 交于点 G， 则 S 四边形 AGCD S 矩形ABCD D G

8、AE 等于（） C F B 5432 ABCD 6543 （2002 年全国初中数学竞赛试题） 2. 在ABC 中，D 为 AB 的中点， CB 到点 E，F，使DE=DF；过E， CB 的垂线， 相交于 P 设线段 PA， 别为 M，N 求证：PAE=PBF (2003 年全国初中数学竞赛) 3如图，四边形ABCD 为平行四 BAFBCE.求证： EBA B 类例题 例 4 如图，AD 为ABC 的中线，E、 上，且 DE DF，求证：BE+CFEF. 分析 由要证的结论，可联想到构造三 和大于第三边解决问题.要构造三角 线段，从而可以运用平移、旋转、作 是有如下证法. 证法一 延长 FD

9、到 F， 使得 DF=DF， 由 D 为 BC 的中点，显然DBF BF=CF，又因为 DE 垂直平分 FF， 三角形 BEF中，BE+BFEF.从 BE+CFEF. 证法二 作点B关于DE的对称点 DB、FB.则 EB=BE，不难得到 DB=DB=DC，BDFCDF. B E E A A C C D D B B 分别延长CA， F 分别作 CA， PB 的中点分 F F E A P P G D C 边形， ADE. BF A F 分别在 AB、AC E F B D C 角形，运用两边之 形，就要移动一些 对称等方法，于 连结 BF、EF， DCF.于是 所以 EF=EF.在 而 A E F

10、B F D A C E F B， 连结 EB、 从而可知 B、 B D C C 关于 DF 对称，于是 BF=CF，在三角形 BEF 中，BE+BFEF.从而 BE+CFEF. 说明证法一也可以从中心对称角度来理解，F和 F 关于点 D 对称. 链接 常见的几何变换有： 一、平移变换一、平移变换 1定义:设PQ是一条给定的有向线段，T 是平面上的一个变换，它把平 面图形 F 上任一点 X 变到 X， 使得XX =PQ， 则 T 叫做沿有向线段PQ 的平移变换. 2主要性质:在平移变换下，对应线段平行且相等， 直线变为直线，三角 形变为三角形， 圆变为圆.两对应点连线段与给定的有向线段平行 （共

11、线） 且相等. 二、轴对称变换二、轴对称变换 1定义:设 l 是一条给定的直线，S 是平面上的一个变换，它把平面图形 F 上任一点 X 变到 X，使得 X 与 X关于直线 l 对称，则 S 叫做以 l 为对 称轴的轴对称变换. 2主要性质:在轴对称变换下， 对应线段相等， 对应直线 （段） 或者平行， 或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分. 三、旋转变换三、旋转变换 1定义:设 是一个定角，O 是一个定点，R 是平面上的一个变换，它把 点 O 仍变到 O（不动点），而把平面图形F 上任一点 X 变到 X，使得O X=OX，且XOX=，则 R 叫做绕中心 O，旋转角为 的旋转变换.其中

12、 0 时，为逆时针方向. 2 主要性质:在旋转变换下， 对应线段相等， 对应直线的夹角等于旋转角. 四、位似变换四、位似变换 1定义:设 O 是一个定点，H 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上 OX ，则 H 叫做以 O 为位似中心，k 为 任一点 X 变到 X，使得OX =k 位似比的位似变换.其中 k0 时，X在射线 OX 上，此时的位似变换叫做 外位似；kAC,O 点是它的外心,射线 已知：cosB+cosC=1， 求证：ABD 与ACD 的周长相等. 证明 作 OEAC、OFAB，E、F 是垂足. 由三角形外心性质知： AOE=B， 记 BC=a、CA=b、AB=c.于是 B B

13、D D A A AO交BC边于D点. F F E E O O C C AOF=C. BDS ABC DCS ACD 1 2 1 2 AB ADsinBADAB sinOAF AC ADsinCADACsinOAE AB cosAOFc cosCc 1cosB AC cosAOEb cosBb 1cosC 由余弦定理得 BDb2(c a)2b c a1 2 ；从而 BD=(a b c). 2DCc (a b)c a b 2 此时，AB+BD= 1 (a b c)=AC+CD.得证. 2 说明 本题用到了正余弦定理，以及三角形面积公式，同时运用了代数的方法证了几何题. 情景再现 4 ABC 中，

14、B=2C，求证： 2ABAC(2002 年江苏省数学夏令营试题） 5 已知同一平面的两个三角形A1B1C1， 并且 A1到 B2C2的垂线，B1到 C2A2的垂线， 的垂线交于同一点 P. 求证： A2到 B1C1的垂线， B2到 C1A1的垂线， B B2 2 的垂线也交于同一点. 6.在ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,点 M A A1 1 C C2 2 P P C C1 1A A2 2 B B1 1 A2B2C2， C1到 A2B2 C2到 A1B1 在 AB 边 上,点 N 在 AC 边上,并且MDN90.如果 BM2CN2DM2DN2,求证：AD2 AC2). C 类例题 1

15、(AB2 4 例 7如图，O 是ABC 的边 BC 外的旁切圆,D、E、F 分别为O 与 BC、CA、AB 的切 点.若 OD 与 EF 相交于 K,求证：AK 平分 BC. A 证明 如图，过点 K 作 BC 的行平线分别 交直线 AB、AC 于 Q、P 两点,连 OP、OQ、OE、OF. BC F P由 ODBC，可知 OKPQ. Q K E由 OFAB，可知O、K、F、Q 四点共圆，有 FOQFKQ. 由 OEAC，可知 O、K、P、E 四点共圆.有 EOPEKP. 显然，FKQEKP，可知 FOQEOP. 由 OFOE，可知 RtOFQRtOEP. 则 OQOP. 于是，OK 为 PQ

16、 的中垂线，故 QKKP. 所以，AK 平分 BC. O 链接 本题用到了直线束的一个性质，所谓直线束就是： 经过一点的若干 条直线称为一组直线束. 一组直线束在一条直线上截得的线段相等 ,在该直线的平行直线上 截得的线段也相等. 如图，三直线 AB、AN、AC 构成一组直线 束,DE 是与 BC 平行的直线.于是,有 DMAMME ， BNANNC MEDMBNDM 即或. BNMENCNC D A M E B NC 此式表明,DMME 的充要条件是 BNNC. 利用平行线的这一性质,可以很漂亮地解决某些线段相等的问题. 例 8 如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围

17、成的新三角形 相似.其逆亦真. 证明 将ABC 简记为，由三中线 AD，BE，CF 围成的三角形简记为.G 为重心，连 DE 并延长到 H，使 EH=DE，连 HC，HF，则就是HCF. (1)a2，b2，c2成等差数列. A若ABC 为正三角形，易证. H 不妨设 abc，有 1 CF=2a2 2b2c2， 2 1 BE=2c2 2a2b2， 2 1 AD=2b2 2c2 a2. 2 F E B D C 将 a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得 CF= 333 b，AD=c.a，BE= 222 333 b:ca: 222 CF:BE:AD = =a:b:c. 故有. (2)a2，b2，c

18、2成等差数列. 当中 abc 时， 中 CFBEAD. ， S CF 2() . S a S 33 ”，有 =. S 44 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的 CF23 2 = 3a2=4CF2=2a2+b2-c2 4a a2+c2=2b2. 例 9 四边形 ABCD 内接于圆，BCD，ACD，ABD，ABC 的内心依次记为 IA，IB，IC， ID.试证：IAIBICID是矩形. (第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题) 证明 连接 AIC，AID，BIC，BID和 DIB.易得 IB D IA 11 AICB=90+ADB=90+ 22 ACB=AIDBA，B，ID，I

19、C四点 共圆. 同理，A，D，IB，IC四点共圆.此时 AICID=180-ABID =180- AICIB=180-ADIB=180- AICID+AICIB C ICI D AB 1 ABC， 2 1 ADC， 2 1 (ABC+ADC) 2 1 =360-180=270. 2 =360- 故IBICID=90. 同样可证 IAIBICID其它三个内角皆为 90.该四边形必为矩形. 说明 本题的其他证明可参见中等数学1992；4 例10 设D是ABC的边BC上 点 P 在线段 AD 上，过点 D 作 别与线段 AB、 PB 交于点 M、E， AC、PC 的延长线交于点 F、N. DE=DF

20、， 求证：DM=DN. A P 的一点， 一直线分 与 线 段 如果 M B (首届中国东南地区数学奥林匹 证明 对AMD和直线 BEP 用梅涅 得： E D C F N 克) 劳斯定理 APDEMB 1(1)， PD EMBA AC FNDP 1(2)， CFND PA ABMD FC 对AMF和直线 BDC 用梅涅劳斯定理得：1(3) BMDFCA DEFNMD （1）（2）（3）式相乘得：1，又 DE=DF， EMND DF 对AFD和直线 NCP 用梅涅劳斯定理得： 所以有 DMDN ， DM DEDN DE 所以 DM=DN. 说明 本题是直线形，当然可以用解析法，请同学们试一试.

21、链接 本题用到了梅涅劳斯定理，在几何中有很多名定理，同学们可 以参考本书高一分册第十八、十九讲的内容.这些名定理中有些看上去很 简单，但证明却并不容易，例如著名的斯坦纳定理，这一定理有几百种 丰富多彩的证明，但大多是间接证法，直接证法难度颇大.一百多年来， 吸引了许多数学家和数学爱好者.经过大家的努力，出现了许多构思巧妙 的直接证法.下面给出德国数学家海塞（L.O.Hesse,18111874）的证法， 供大家欣赏. 如图， ABC 中， BD、 CE 是两角平分线， 且 BD=CE， 求证： AB=AC. 证明：作 BDF BCE，并 取 A DF=BC，使 F 与 C 分居于直线 BD 的

22、两侧，如图所示.连结 BF，由已知 BD=CE，得 . ECBBDF E D F DBF BEC,BF BE.连结 CF，设ABC 2,ACB 2， B C 则 FBC FBD BEC (1802)180(), CDF CDB BDF CDB BCE (1802)180(). 因为2 2180， . 所 在钝 以 角 90,FBC CDF 180() 90 FBC,CDF中，BC=DF，CF=FC，所以FBCCDF，BF=CD， 即 BE=CD.于是有BCDCBE，EBCDCB.所以 AB=AC. 情景再现 7设点D 为等腰ABC的底边 BC 上一 D、C 三点的圆在ABC内的弧上一点， 三点

23、的圆与边 AB 交于点 E.求证： A A 2 3 1 点， F 为过 A、 过 B、D、F CDEF DFAE BDAF.(首届中 F F 国 东 南 地 区 E E B B 数学奥林匹克) 8. 如图，O、H 分别是锐角ABC 的外心和垂心，D 是 BC 边的中点，由H 向A 及其外角 平分线作垂线， 垂足分别是E 是 F.证明：D、 E、 F 三点共 A A D DC C 线.（2004 年全国高中数学联赛四川省 B B D D O O E E H H F F 初赛） C C 习题16 1正方形 ABCD 的中心为 O，面积为 1989 点 ， 且 OPB=45 ， PA:PB=5:14

24、.则 P PB=_.(1989年全国初中联赛) A 2.如图,在ABC 中,ABAC,D 是底边 BC 上 上一点且 BED2CED A.求证： BD 3.如图， 等腰三角形 ABC 中， P 为 点，过 P 作两腰的平行线分别与 Q，R 两点，又 P的对称点，证明： 接圆上.(2002 年全国初中数学联 4.设点 M 在正三角形三条高线上 B Q P D C O 2.P 为正方形内一 B A E C 一点,E是线段AD 2CD. B D A P R 底边 BC 上任意 AB，AC 相交于 P在ABC 的外 合竞赛试卷) C 的射影分别是 M1，M2，M3(互不重合).求证：M1M2M3也是正

25、三角形. 5.在ABC 中,BD、 CE 为角平分线,P 为 ED 上任意一点.过 P 分别作 AC、 AB、 BC 的垂线,M、 N、Q 为垂足.求证：PMPNPQ. 6.在 RtABC 中，AD 为斜边 BC 上的高，P 是 AB 上的点，过 A 点作 PC 的垂线交过 B 所 作 AB 的垂线于 Q 点.求证：PD 丄 QD. 7.设 M1、 M2是ABC 的 BC 边上的点,且 BM1CM2.任作一直线分别交 AB、 AC、 AM1、 AM2 于 P、Q、N1、N2.试证： AM 1 AM 2 ABAC . APAQAN 1 AN 2 8.AD，BE，CF 是锐角ABC 的三条高.从

26、A 引 EF 的垂线 l1，从 B 引 FD 的垂线 l2，从 C 引 DE 的垂线 l3.求证：l1，l2，l3三线共点. 9. AD 是 RtABC 斜边 BC 上的高,B 的平分线交 AD 于 M,交 AC 于 N.求证：AB2AN2 BMBN. 10 已知等腰ABC 中， BAC=100，延长线段 AB 到 A D， 使得AD=BC， 连结CD， 试求BCD的度数. 11.圆外一点P作圆的两条切线和一条 D B. 所作割线交圆于 C，D 两点，C 在 BC 割线，切点为 A， P，D 之间.在弦 CD 上取一点 Q，使 DAQ PBC.求证：DBQ PAC. 12.已知两个半径不相等的

27、圆O1与圆 O2相交于 M、N 两点，且圆 O1、圆 O2分别与圆 O 内 切于 S、T 两点.求证：OMMN 的充分必要条件是 S、N、T 三点共线. （1997 年全国高中 数学联赛） D 2 CG=2GE，S AGC S AEC 3 G 11 显然S AEC S ABC S 矩形ABCD 24 AE1 S AGC S 矩形ABCD 6 112 从而S 四边形AGCD S ADC S AGC （）S 矩形ABCD S 矩形ABCD 263 本节“情景再现”解答： 1解一：连结 AC，从而可得 G 为ABC 的重心，于是 C F B S 四边形 AGCD 2 即=因此选 D S 矩形ABCD

28、 3 解二： 连结 AC、 BD， AC 与 BD 相交于点 O 则 分为 6 等份同理可把ADC 的面积等分为 6 AGCD 占有 8 份， D C O G ABC 的面积被 F 份显然四边形 B 即 A C C D D E A A E E B B 1 2 F F MM N N 3 P P S 四边形 AGCD S 矩形ABCD 82 因此选 D 123 1 同理， FN=BN=NP，BP 2 又DE=DF， 2. 解析 分别取 PA、PB 的中点 M、N，连结 EM、DM、MN、DN、NF，在 RtAEP 中， EM=AM=MP， 又 DM 为ABP 的中位线， 可得DM 且DN 1 AP

29、 2 ，从而EM=DN，DM=NF EMDDNFEMD=DNF又1=3=2，AME=BNF从而可得 PAE=PBF 3证明：证明：如图，分别过点 A、B 作 ED、EC 的平 /CD,易知PBAECD.有 PA P,连 PE.由 AB= P E A B G D C 行线,得交点 ED，PB 有 BCE BAF APE.所 连结 AD， BAD= C= EC.显然,四边形 PBCE、PADE 均为平行四边形. BPE， APEADE.由BAFBCE， 可知 BPE.有 P、B、A、E 四点共圆.于是,EBA 以,EBAADE. 4 证明： 延长 CB 到 D， 使 BD=AB， 则AB+BDAD

30、， 即2ABAD AB=BD， D ABC=2D 而ABC=2C， DAC=AD2ABAC C C C C1 1 F A A B B A A2 2 D D 5解：设 B2到 C1A1的垂线，C2到 A1B1的垂 于 Q.则 2222C 1 A 2 C 1B2 PA 2 PB 2 2222A 1B2 A 1C2 PB 2 PC 2 2222B 1C2 B 1 A 2 PC 2 PA 2 线 相 交 B B1 1 （1） P P （2） （3） （4） （5） A A1 1 B B2 2 C C2 2 B 2C1 2 B 2 A 1 2 QC 1 2QA 1 2 C 2 A 1 2C 2 B 1

31、2 QA 1 2QB 1 2 五式相加得 22C 1 A 2 B 1 A 2 QC 1 2QB 1 2 即A2C1 A2B 1 QC 1 QB 1 从而 A2QB1C1. A M D E N C 2222 6.证明：证明：如图，过点 B 作 AC 的平行线交 ND 延长线于 E.连 ME.由 BDDC，可知 EDDN. CND.于是， BENC.显然， MD 为 EN 的中垂线. 由 BM2BE2BM2NC2MD2DN2MN2 BEM 为直角三角形，MBE90.有ABC B ABCEBC90.于是，BAC90.所以， 有BED 有 EMMN. EM2， 可 知 ACB AD2 1 1 BC (

32、AB2AC2). 4 2 7证明：设 AF 的延长线交BDF 于 K， AKB ， AEF AKB 因 此 A A 2 3 1 2 AEF= EKBKAEAK .于是要证（1），, AFABAFAB 只需证明： F F E E B B D DC C CDBK DF AK BD AB (2) 又注意到KBDKFDC. 我们有S DCK 1 进一步有CDBK sinC， 2 S ABD S ADK 1 BD ABsinC 2 ， 因此要证 （2） ， 1 AK DF sinC 2 只需证明SABD SDCK SADK（3）而（3） SABC SAKC BK / AC (4) 事实上由BKAFDBK

33、AC知（4）成立，得证. 8.证明： 连结 OA， OD， 并延长 OD 交ABC 则 ODBC，BMMC，A、E、M 三点 分别是ABC 的A 及其外角平分线， HEAE，HFAF，四边形 AEHF 为 与 EF 互相平分，设其交点为G，于是： EFEG.而 OAOM，且 ODAH， OMAMAGGEA.故 EGOA (1) O、H 分别是ABC 的外心和垂心， 1 ODAHAG，因此，若连结DG， 2 AODG 为平行四边形 从而 DGOA.(2) 由(1)和(2)知，D、E、G 三点共线，但 F 在 EG 上，故 D、E、F 三点共线. “习题 16”解答： 1解：答案是 PB=42 .

34、连接 OA，OB.易知 O， D 222 圆， 有APB=AOB=90.故 PA +PB =AB =1989. PA:PB=5:14，可求 PB. O P 2.证明：证明： 如图,延长 AD 与ABC 的外接圆相交于 与 BF,则BFABCAABCAFC,即 故 BF:CFBD:DC.又BEFBAC,BFE A FBEABCACBBFE.故 EBEF.作 线交 BF 于 G,则 BGGF.因GEF MM B B D D E E O O H H A A F F G G 的外接圆于M， 共线.AE、AF AEAF.又 矩形.因此 AH 11 AGAH 22 C C OAM 且 ODBC， 则四边形

35、 CP，A，B 四点共 由于 点 F,连结 CF BFDCFD. BCA, 从 而 BEF 的平分 C A B E 1 BEFCEF, 2 B G D F GFE CFE,故FEGFEC.从而 GFFC.于是,BF2CF.故 BD2CD. 3.提示：连结 BP、PR、PC、PP，（1）证四边形 APPQ 为平行四边形；（2）证点 A、R、 Q、P共圆；（3）证BPQ 和PRC 为等腰三角形；（4）证PBA=ACP，原题得证. 4.略. 5.证明：证明：如图,过点 P 作 AB 的平行线交 BD A 于 F,过点 F 作 BC 的平行线分别交 PQ、AC N M E P D F G K C B

36、Q 于K、 G,连PG.由BD平行ABC,可知点F到AB、 BC两边距离相等.有KQPN.显然, EP PD EFCG ,可知 PGEC.由 CE 平分BCA,知 GP 平分FGA.有 PKPM.于是,PM FDGD PNPKKQPQ. 6.提示：证 B，Q，E，P 和 B，D，E，P 分别共圆。 7.证明：证明：如图,若 PQBC,易证结论成立.若 PQ 与 BC 不平行,设 PQ 交直线 BC 于 D.过点 A 作 PQ 的平行线交直线 BC 于 E.由 BM1CM2,可知 BE CEM1EM2E,易知 ABBEAC , APDEAQ B A P CEAM 1 , DEAN 1 E M 1E AM 2 M 2 EACAB ,.则 AQDEDEAPAN 2 C D M 1 M 2 N 1N2 Q BE CE DE M 1E M2 EAM 1 AM 2 AM 1 AM 2 ABAC .所以,. DEAPAQAN 1 AN 2 AN 1 AN 2 8.提示：过 B 作 AB 的垂线交 l1于 K，证：A，B，K， C 四点共圆. 9.证明：证明：如图,234590,又34,1 E