例谈高等数学知识在工程问题中的应用_周同

1、铜陵职业技术学院学报 年第期 例谈高等数学知识在工程问题中的应用 周 同 ， 杜珍珍 （铜陵职 业技术学院，安徽铜陵 ） 摘要：高等数学是高职院校多数专业的 一 门公共基础课和工具课，它在工程技术 和经济管理等学科中应用十分 广泛 。 高职数学培 养学生的应用 能力和创新能 力 ， 使学生能够运用所学知识解决实 际问题 。文章针 对高 职院校工科类专业特点，举例讨论高等数学知识在工程问题中 的应用。 关键词 ： 高等数学；工程问题；导 数； 积分 中图分类号： 文献标识码： 文章 编号： （ ） 引言解：该 产品的长期销售量应 为 时间 时的 数学作为 一 门基 础 学科，它在自然科学 、工程

2、销售 量 ，即求极限 技术和经济管理学等多学科中都有广 泛的应用 ，其 （ 教学目的是为学生学习专业课提供必要的理论知识 和思想方法。高职数 学应重视数学应用，培养学生 ， 利用所学知 识解决实际问题的能力。在工程技术日 ）， 益发达的今天 ， 利用数 学方 法去研究工程问题已是？； （ 无处不在，数学已经成为研究工程问题的 一个重要（ 工具。下面将酣具体的几个实例介绍高等数学在 ， 是说 ， 人们购买游戏会越来越少 ，从而转向购买新 极限的应用兑 日月 權是高等数学的職細輔本誠部分 ， 它的思想將于整个高等数 学教学过程之中。腳 ： 极限思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的 一 种数学思

3、想。极限思想来源于社会实践 ，例如， ， 我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来推算圆其 中常量分 别代 表电容值：和电竭值 面积的方法 酬术 ，就是极限思 想在几何損 是交流电的频率。试计算 ，烈尤，； ；： ， 应用。如今，我彳 可以利用极限思想解决很多工程 甘阐明其物理竞义 中的问题 ， 下面我 们以几个具体的例子来探讨。解 由极限的计算知 例 ：当推出 一种新 的电子游戏程序时 ， 在短 ： 期内销售量会迅速增 加，然后开始下降，其函数 兩 ，其物理 系为冰） （ 为月份） 。若要对该产品的长期 意义说明电容元件有 “ 阻低频 通高频 ” 的作用 ； 销 售作出预测，试建立相应的表达式

4、。义 ，其物理 收稿日期 作者简介 ：周 同（ ） ，男，安徽枞阳人，铜陵职业技术学院基础部教师； 杜珍珍（ ），女， 安徽临泉人，铜陵职业技术学院基础部教师。 ？ DOI 牶 牨 牥 牣 牨 牰 牱 牳 牴 牤 j 牣 cnki 牣 牨 牰 牱 牨 牠 牱 牭 牪 x牣 牪 牥 牨 牰 牣 牥 牨 牣 牥 牪 牪 意义说明电感元件有 “ 阻高频、 通低频 ” 的作用。这样， 问题就转化为求函数在 （， ）内的 导数的应用最小值 。对 关于求导， 得 导数来源于现实问题 ，它 在生产、生活中具有￥ 令 得 唯一驻点 重 要的应用价值，并在化学、物理 、生物、天文 、 ， 麵及经腾各种科学賴和生

5、活獅巾都有广泛 （，） 的应用。值 ，故最小值必在该 唯 一驻 点 处取得。将 （）函数的最值 厂 在工程技术、工农业生产、经济管理及科学实代 入 中，得 。这 就是 验中 ，经常需要解决在 定条件下 ，怎样使用料说 ， 若易拉罐的体积 一定 ，则当其 底麵半径与 高 省 、效率最局、成本最低、设计最优 、强度取大等之 比为 时 用料最省。 问题。从导数产生的背景，和导 数的意义可知 ，导 数是求函数最大（小）值的有力工具 。在 工程技 术中 ， 常常需要考虑曲线的弯曲程 例 ： （房屋梁的最彳滅 ）在建 造 房屋时 度 ，難，在冊誠公路及铁細弯綱，必须 经常要考 虑 房的设计。醜面为矩關 考

6、虑賴处的弯随；在房雖造 巾醜梁 ，机床 梁 ，其强度与矩形綱平方和細乘积成正比 ， 用 的等 ，它赃荷用下要产生弯曲变形 ，在 直径为的 圆木作矩形梁 ， 问高和宽各 为多少时 自计时 ， 对它们的弯曲程度必须有 一 定的 限制这 就要定量地研究它们的弯曲程度 ，数学上常用 “ 曲 率 ” 这 一概念来描述 曲线的弯曲程度 。 、 设 （）具有二阶导数，则曲线 （ ）在点 ！ （ ，）处的曲率计算公式为 為 （） 解 ： 如图所示，设矩形梁的宽为 ，高为 ， 则 横梁强度函数为（） （为比例系数 ）例 ： （拱桥承受压力问题）设 一辆 质量为的 又由勾股定理得 ： ， ，汽 车以速度经过如图所

7、示的抛物线拱桥 ，该桥的 贝 ） ，（）跨度为米 ， 高为米 ，试问汽车驶过顶点时 ， 对 所以 咐 ？） ，令 ，得唯 一驻桥 的压力多大？ ， 歐 由题 可知，当宽为 高为时 时梁， 的强 度域 大。 例 ：（易拉賴设计） 易拉罐在 我们生活中 随处可见，企业娜时 ， 为了顯小賊 本获得 最大的 利 润 ，需要考虑 在体积 一 定的情况下 丨 用料最省的问题。那么应如何设计其底面半径和高 解：由物理学知识可知 ，质量为的质点， 以 才目使用料取省 ？ 解 ： 用料最省也就是使易拉罐的表面积最小， 设易拉罐的底面圆半径为， 高为，表面积为，体 的向尤 、力为 二。 ， 若质点沿曲线（ ）运动

8、 ，我们可用该点的 由得 将其代入上式 ，得 ：曲 率圆弧代替其附近的曲线段，因此，质点在曲线 ，（ ）上某点的所受的向心力为 其中 为曲线在该 ？ ？ 为此 取坐标系如上图 ，建立拱桥的曲线 方分的概念，并发现了积分与导数之间 的内在联系， 程， 已知拱桥形状为抛物线，所以设为 ？￥给出了汁算定积分的 一般方 法 ， 从而使定积分成为 解 决有关 实际问题的有力工具 。 又因为该抛物线过点 （ ， 所以 ， ，、 丄 （）计算液体的压力 故 少 。由此可得： ，从 物理学知道 ，在液体深为处的压强为 ， 其中 是 液体的比重。 若 一 面 积为的平板水 而在 顶点处 ， 也即 ，所以得在该点

9、 平 放 置在液体深为处，则 平板 侧所 受的压力 的曲率为 尺 丨 丨 ，故在该点处的曲率半 。 （） 若一平 板垂直放置在液体屮 ， 由于深度不同处 径为 ！ 的压强 不相等 ， 故平板 一 侧所受的压力就不能如上 ；计 算 ， 但可用微 元法化成定积分计算 。 所以汽车经过点 时所受的 心力 为，例 ：有 一 储油罐， 装有比重为 而汽车 对桥 面的压力重力 向 心力，所以过点 桥 的油料，罐的下部有 一 直径为 米的圆 面所受的压力为 孔入口，孔的中心离液面米 ， 求孔挡板上的 压力 。 例 ：设工件 表面的截 线为抛物线 ，现解 ： 建立如图所示 在要用砂轮磨削其内表面， 问用直径多

10、大的砂轮才的坐标系 ，圆孔边界方 比较合适？程为 ： 选 为积分变量 ，对 应 小区间 ， 上小挡 板 上的压力为 ： ？ ？ （ ） （ ） 所以挡板上的压力为 ： ： （ 办 丄 ， ，十 ，本， 解 ： 在磨削弧形工件时 ， 为了不使砂 轮与工 件接 触处附近的那部分工件磨去太多 ， 砂轮的半 径应 不大于弧形工件上各点处曲率半 径屮的最小 ； 值 ， 由于抛物线在其顶点处的曲率半径最小，因 、 ，（ ）连续函数的平均值 此 ， 只要求出抛物 线 （ 在 其顶点（）处的我 们知 道： 个数 ， 的算术平雌为： 曲率半径即可。 計 凡。 由 取， ，有， ， ？。 ，所以产 “ 丨丨 在工

11、程技术及 自然科学中 ， 不仅需要计算有限 ！（） 个数值 的算术平均值 ，而且也经常要计算 一 个连续 故抛物线 顶点处的曲率半径为 函 数 （）在某个区间 ， 上所取得的 一 切值的平 所以选用砂轮的半径不得超过 单 位长 ，即直径均值 ，如平均温度、平 均速度平 均压强、平均电 不得超过 单位长比较合适 。动势 、平均功 率及平均电流 强 度等 ， 下面给出计算 积分的应用连 续函数 （）在区间 ， 上的平均值 。 定积分 起源于求图形的面积和体积等实际问根据定积分的定义 ， 可得连续函数）在区 题。世纪中叶，牛顿和莱布尼茨 先后提出了定积间 ， 上的平均值 ：（下转第 页 ） ？ 的身

12、体健康。参 考文献： （）安全可靠 。 从使用对象的安全角度 考 高永恒多功能中老 年 代步车 中国专利： 虑 ， 此代步车使用控制器，可智能地调节速度、 ， ： 进行制动和加速处理 。 代 步 车 设计为三轮结构， 于 文麒 健身代步车 中国专利： ， ： 结构平稳；有防后倾辅助 轮 ，在车辆上斜坡时可 ： ， 避免车身 重 心后移 ，充分保证使用者的安全。 ， 陈光华结构改进的电动代 步车 中国专利 ： （ ）探作方 便。起停时 ， 只需要 扳 动操 王盛学 电动代步车的结构设计分 析与开发 重庆 ： （）高 效节能。电池的充电效率较高 ， 一重 庆大学， 次 充满电可连续行驶儿十公里 ，

13、 电池寿 命长，使 郑国章 电动代步车差速转向 系统的研究和开发 重 用此老年代 步车经济 实惠 。庆 ：重庆大学 ， ： 陈安红 电动汽车电机驱动控制 系统研究 西安 ：长 本文 详细 介 绍了针对腿脚 不便的中老年 人及 ）： 一士，一丄，！， ， 十 ， 残疾人利用 的 一 种 代步车的基本结构 和功能原 理 。该代步 车可以实现电动驱动也可以实现甲动 丨 ， 驱动 ，同时，在电量较低的情况下可以实现电动 ， （ ） ：卜 和手动同时驱动运行 。该代步车的设计 、实现可 以极大地解决了广大中老年 人 和腿脚有残疾人的 外出出行 。（责任 编辑： 朱明星） （上接第 页）这表明 ，经过半波整流后的平均电动 势等于电 一 （ ） ）动势峰值的 一 倍 。 结 束 语 即 办由上面 的例 子可以看出， 高等数学 作为 一 种工 具 ，在工程问题中的应用非常 广泛 。教 师 在高职工 靜曲 科类专业的数学课堂教学中 应注重与专业课的联 曲线（如图加，求 一 期川电动力 系，讲授 一 些相关的工程数学模型， 让学生体会到 学习数学是有用 的， 上他们明白在课堂上学到的数 学知识是可以 用来解决实际问题的 。 可知周期 普 ，经过 ，： 半波整流后 ， 交流电动 参考文献 ：