偏振器件的琼斯矩阵

1、 期光 毕 仪 器 汤0 . 偏振 器 件的琼 斯矩 阵 梁 仕廷 (浙江大学) 在现代光学中 , 偏振器件用一个2 x Z拒阵一一琼斯拒阵表示 。 本文提出两种求取拒阵 形式的方 法 , 并举例说明 。 引言 在光学仪器中 , 使用偏振器件的情况越来越多 。 为了很迅速的看出一束已知偏振态的偏 振光通过一个偏振器件或一系列偏振器件后其偏振态 的变化如何 , 在现代光学中 , 用一个二 元的列矩阵来表示偏振光 , 用一个2 X Z矩阵一一琼斯(J one 。) 来表示偏振器件 。 在 一 些 新编著的光学教科书中t l ) 、 2 , 都可查 阅到常用偏振器件的琼斯矩阵形式 。 但是 , 对于

2、许多 搞仪器设计和初接触偏振间题的同志 , 并不谙熟这些矩阵是怎样求出来的 。 本文提出两种求 取矩阵形式的方法 , 并举例加以说明 。 二 、 琼斯矩阵 我们知道 , 偏振光通过偏振器件后 , 一般地它 的偏振态会发生变化 。 如图1所示 , 设入 射光的偏振态用k = = (会) 表示 , 通过偏振器件的透射光用斌 = l叙) 表示 . 偏振器件G起 E . _ _ 一 1 - 光 学 仪 器 , 。容 着式和斌之间 的变换作用 。 假定这种变换是线性的(在线性光学范围内均如此) , 也就是说 透射光矢量在光束截面内沿x方向和Y方向的两个分量A : 和B : 是入射光矢量相应的两个分量 人

3、 : 和B : 的线性 组合 : A : = g :, A , + g ,: B ; B : = g :z A I + g : B a ( 1 ) 式中g J, 、 g ; : 、 9 2 , 、 9 22 是常数 。 把上式写成矩阵形式 , 就是 ( 2) 或者写成 ( A : 、 五 1 万: ! I A ! (B , (g , 9 2 , , ( B , E , 一 GE ;(3) 式中 tl ll J _ _ 11 “ G 一 (4) 9 2 x g : 因此一个偏振器件对偏振光的变换作用 可以用矩阵官来描述 。 矩阵言称为该器件 的琼斯 矩 阵 。 当偏 振光相 继通过N个价振器件时

4、 , 如果这些器件 的琼斯 矩阵依次为官 ; , 首 2, 斌 , 则透射光的偏振态就是 : E , = G N ” “G : G : E :(5 ) 这就是说 , 琼斯矩阵依次为首 :, 言 2 , 一 瓦鼠 N个偏 振器件 的合矩阵为 : G “ G N ” 一J 日 -卜 G : G : E ( 6 ) 由于矩阵运算不满足交 换律 , 所以 (5) 、 ( 6 )式中矩 阵相垂 的秩序不能颠倒 。 此外 , 由 (6)式可见 , 只要求出 一单个偏 振器件 的琼斯矩阵 , N个偏 振器件 的琼斯 矩阵就可以通 过N 个矩阵相 乘而求 犯 。 下面我们 来讨论求取单个谕派器件琼斯 矩阵的两

5、种方法 。 三 、 两种 求法 1 . 投影法 : 一 2 一 4 期 学 仪 洛 一 比卷 所谓投影法就是通过求入射光失量在光束截面内X方向和Y方向的两个分量 透 过偏 振器 件后在X方向和Y方向的投影 , 最后 得到器件的琼斯矩 阵 。 这样做的依握是(2)式 , 因 为 由(2)式可见 , 联系入射光粕凌射光的x分量和Y分量的正 是凉斯矩阵 。 下面我们 举两个 例子说明投影法 。 例1 : 求一个透光轴与X轴成o角的线偏振器的琼斯矩阵 。 A , 、 A 。 、 解 : 设入射偏振光矢量为! , 透射偏 振光 矢量为! , 所求线偏振器的琼斯 气B : 少 气B : 夕 (g , g

6、: , 、 矩阵为 . _ 卜 9 21 9 2: / 一 A : 仁 B : 或者 : 那么根据(2)式有 : = “ ,1 叶f A 二 )气 g : _ g : )气 B ; ) A := 9 1 IA一+ 9 1 : B x B : = g : _ :A:+ 暇 : B : 入射光通过线偏振器后 , 它的两不夯量人 : 和B , 透出的部分就是A : 和B , 在线偏振器透 光轴上 的投影 , 它们分别为(参见图2) : A :e “8 和 B ,s ino 图 2 而它 们在X轴和Y拍上 的投影就是A : 和B :, 它们分别为(参见图2) A : = A ,e o soe ose+

7、 B :sin oe o so 二 A ,eos: 0 + 专B ,sin 2 0 一 3 一 4 期 10 . B := = A :eo s esine+B , sinosin.= = 不难看出 g 一r= = cos. 0 。 g : := 于sin ZG 因此 . 所求线偏振器的琼斯矩阵为 + A :。三n 28+B :. in . 6 g := + sin20 g : : =sin , O co .20 + 5in28 / ! =一 G 例2 : 求一个快轴与X轴成 e角 . 快轴与慢轴方向的光矢童有位相差 。的波片的琼斯矩 阵 。 解 . 波片是一种晶体薄片 。 它与线偏振器不同 .

8、 它不是只有一个透光轴 , 而是有两个互 相正交的透光轴一一快轴和慢轴 。 常用的波片有十波片 , 于波片 , 全波 片等 , 它们产生 的快 轴方向和慢轴方向的光矢量的位相差分别为于 瓜 , 。 本例给出的波片的位相差为“ , 它 代表一般波片的情形 。 _ . _ _ . _. _ _ 、 _ _ 二 _ 、_ 二_ . _ _ ._ _ 一 、.、 . 、 、二 、 , A , 、 用投豁法答易不出一股波片琢斯矩阵元g :卜: 名: , , g , 。 ”振很议入册尤大重 为(B沙 图, 一 4 一 4 期 光学仪 器 10 . 、, 一 、, A , 、 、 、., 、, 二 . ,

9、_ 。 一 . _ 一一 , . , 一一 , , 、, , . 透盯尤大里利 B; ) 。 入别尤遇饭斤后 , 八 , 和巧仕伏拙力问利役拙力 l 叫四分重 为 、多见 图3) : C 二 D = A eos o + B :sin e (B :e o s o 一A ,sin o) e6 式 中6代表快轴 与慢轴方向光矢量的位相差 。 由于这 一位相差 , 偏 振光通过波片后一般地成为椭圆偏振光 。 它在X方向和Y方 向的分量 , 即C和D在X轴和Y轴上的投影为(参见图3) A := C c o sO 一 D sin o (A :eo s o + B ,s ino) eoso一 (B :e o

10、s o一A ;s ino) s inoe L6 A ; ( eos2 0 + s in 之Ge6 ) + B ; (sinoe o ,0 一 e o sooin oe 6) B : = C s ino + D eoso (A : e o se+ B ;5 ino) 5 in。+(B :e o se一A ,s ine) eosoe6 A , ( sin se o so 一 sin seo soe6 ) + B , (sin 2 0 + e o s2 6e 6) 对照( 1) 式 , 可知琼斯矩阵元为, g :, “ c os20+ sin 2 8e 6 g ,: 二 5 inoe o so一 s

11、in oeo soei6 9 2, 二5in oeo sO一 sin oeo sge王各 9 22 二sin 0 + e os2 0e i6 因此 , 所求波 片的琼旗矩阵为 : eos2 0 + sin 2 0e i6 sin Geo sG一sin seo sse i6 。in oe ooG一sin oeo 一oei6 一in: 0 +eos 2 8e 6 一一一G 或者简化为 : 卜 ,g 令 c o “2。 . _ 6 一 1g一万-.In艺e 舀 =c os , 6 1 一 2 一 it g 6 飞厂 Bi. 2。 1+itg 6 厄 co . 20 6 一 2 弃去公共位相因子后得到

12、 : 一 5 一 4 期 ,0 . 言 二 c o a 令 卜 “g 各 e ooZ。 一 ,t: 令 。,nZ。 对于快轴与X轴成4 5 “角 的于波片 , e = 45 。, 6 = 2生 一 ,: 令 。nZ。 1+ ,tg令 。0 02。 . 其琼斯矩阵为 : 一 _ 迄 G 一 记 2 2 . 矩 阵法 : 这是一种矩阵算法 , 它通过入射光的两个分量A :、 B : 和透射光的两个分量 A ,、 B , 与 偏振器件的透光分量之间的变换关系(它们由一个旋转矩阵联系) , 用矩阵算法非常简洁地 求出器件的琼斯矩阵 。 我们用实际例子来说明这种方法 。 如上例的一般波片 , 入射光分量

13、A l、 B : 与它们在波 片快轴和慢轴方向上分量的模值C! 、 1DI之间的关系是一个坐标变换关系 , 它们 由 二 维旋转矩阵联系( s ) : - . AB 产 ! 、 、 l. . l . e s e s e s e s/ IC 1DI COSO 一Blno . ino C 0. 0 考虑到波片在C和D之间引入的位相差 C = 1CI D = 1 D l e6 或者写成 . AB /l e s ! 、1 1 . | , J产 O甘 月 . I no s .C 了 f ! l 、 、 , J .1了 产 e乃 C0 . 0 一 . In 0 CD /. . . 1 、 、 . ! 户

14、0洛 e 月 工 O CD Z I t、 类似地 . 波片的C 、 D分量和透射光分量A :、 B : 的关系也是一个坐标变换关系 , 它可以 写 成 : C D 了 ! .、 r w e s e e s l s e l 子 Cos6 sin s 一sin o C O日0 AB 叮 了, 月. .l e s e s,、 一 6 一 4 期 、 o 巷 ,: 入列矩阵 吕的表达 式 。 得到 、 , . . . . . ,/ 、 . / 1 - I ,A B AB / . ! 、l. l J r ,I 矛 、 l j e s z CO. G 一i n s C0. 0 一in o C0 . 0 一

15、一in g 一in o C 0 . 0 /且万、 、 .1 1 且 r e e 篮./ 6 :压 n . ,几八甘 了 1 1护 、 ! ! .了 产/了 l ! . 、 一一 、 .; J . 了 AB 尹 ! l e s. .l、 = c 畔 少 呼 . :。 仁 .卫n ”c o s”一In”co ,”e o 一in oe o 一0 一i n oe o 一oei6 一in 里0+ eo一, oe 屯6 可见波片的琼斯矩阵为 : eos, e + 一inl oe i6 一in oc o 一0一inoe o一oei6 5 i n ge o so 一s inoe o. oe 6 一int o

16、+eo一sei6 =一 G 或者简化为 : 首 = 。o 。二 2 卜 ,: 令 。0.2” 一 ;。: 令 , nZ” 一 *t: 粤 。inZo 6 1+ ltg 万犷c o,2 . z l e el . l 、 矩阵法和投影法求得的一般波片的凉斯矩阵完全相 同 。 表1列出了一些主要偏振器件的琼斯矩阵 。 它们都可以很方便地以上述两种方法求出 。 四 、 结束语 在分析带有偏 振器件的光学系统的特性时 , 偏振器件的琼斯矩阵有着重要意义 。 知道 了 矩阵的具体形式 , 就很容易知道偏振光通过器件后的偏振性质 。 求取偏振器件琼斯矩阵的形 式可采用本文提出的两种方法一一投影法和矩阵法 。

17、投 影法的物理概念比较清楚 , 容易理解 , 但运算较繁琐 。 矩阵法应用了坐标变换关系(X 、 Y轴变换到器件的透光轴 . 再从器件 透光 轴变换到X 、 Y轴) , 如果我们熟练坐标变换矩阵和矩阵运算 , 这是一种比较简便的方法 。 一 7 一 4 期光学仪 器 1众 卷 表1一些主要偏振.件的琼斯矩阵 器器件一琼斯矩阵阵阵 线线偏振器 透光轴在X方 向向 !: :) ) ) 透透透光轴在Y方向 向 , !洲 透透透光轴与X轴成土4 5 。角 角 (飞 1: 透透透光轴 与X轴成 e角 角 !了 :;: Ze 立;沈 2” 十十 波 片片 快轴在X方向 向 !: : 快快快轴在Y方向 向

18、!; 一 : 快快快轴与X轴成士4 5 。 角角 六草 i ) i ) 快”“X“” “ :; 少 1 ) ) ) 半半 波片片 ( 快轴与X轴一 :;) ) ) 一一般波 片片 快轴在X方向向 ; ei: ( ( (产生相位差句句 快轴在Y方 向向 ; 。一i: 快快快轴与X轴成土4 5 。 角角 _ ., 乃、 、 一 8 一 4 期 尤 宇仪命1 0 移 参考 文 献 ) E . 赫克特 、 人 . 赞斯 , 光学 , 人民教学出版社 , 1 98 0 . ) G . R . 福尔斯 , 现代光学导论 , 上海科技出版社 , 195 0 . F . W . 拜仑 、 R . W . 富勒

19、 , 物理学中的数学方法) ) ( 第一卷) , 科学出版社 , 19“ . Jo n es Mat rixo fthePola rizi n gD ev ie e Liang Q uan 一t ing (zh e jin gUni, ersity ) Ab straet In e ontem po r a ry oPties, the p o la rizingde viee m ay b eex Pre s,e dinte rm so f 扭2xZ m atrix whieh15 e alle d J ones m atrix . In th is p ape r, two m e th o d so f finding the J ones m atr ix ofa pola r i Z ing de vieear e Pr e se nte d , :n d eo rr e 一Pon d - ing