六年级鹏程杯数学竞赛

1、 20192019 高年级鹏程杯高年级鹏程杯真题真题 试 题 部 分 第一届鹏程杯数学邀请赛第一届鹏程杯数学邀请赛 小学六年级试题小学六年级试题 （考试时间考试时间 100 分钟分钟，满分满分 120 分分） 一一、 填空题填空题（满分满分 60 分分，每小题每小题 6 分分） 1计算： 1 478099476.4284476471.61 99 （ ） 2不同的字母ABCD， ， ，代表不同的数码，恰使得2014AAAABBBCCD成 立则 ABCD BCDA _ 3如图，10 个圆的半径相等，已知阴影部分的面积是48平方厘米，这 10 个圆的面 积之和是多少平方厘米？（取3.14） 4桌子上

2、的盘子里放着 60 块饼干，5 个孩子用它来招待客人每个孩子从盘子里给 每个自己认识的客人拿了 1 块饼干，然后，客人也从盘子里给每个不认识的孩子拿了 1 块 饼干，此时，盘子里的饼干刚好被拿空。在场一共有_个客人 5将一个大正方体木块的六个面都染成红色，然后将这个大正方体切割成 3 n个小正 方体积木已知至少有 2 个面为红面的小积木共有 44 块，则 6 个面都没染红的小正方体积 木共有_块 6电子钟指时示时刻由00.00.00到23.59.59.每个时刻显示 1 秒钟，如图 2 显示的时刻 有两个数字 0那么，在一昼夜期间钟表上显示 3 个数字 7 的时刻共有_秒 7在下面的钉子板上，用

3、橡皮筋最多可以围出（ ）个正方形 8已知a与b是互质的自然数，且b小于50，则满足 11 76 a b 的有序对ab，的个 数是_ 9一个 6 位的自然数ABCBCA是 7 的倍数，则2BC的最大值等于_ 考查内容：整数整除和最值 10已知 3 个不同的正整数abc， ，它们两两互质，且其中任二数之和都能被第三 个数整除，则 333 222 abc abc _ 考查内容：整数整除和计算求值 二二、解答题解答题（满分满分 60 分分，其中第其中第 1-13 题各题各 10 分分，第第 14、15 题各题各 15 分分） 11一张长方形纸片，长为 200 厘米，将它按如图所示的方式折一下，剪下一个

4、边长 等于长方形纸片宽的正方形（称为第一次操作） ；再把剩下的长方形纸片继续按相同的方式 操作，剪下一个边长等于此时长方形纸片宽的正方形，如此操作下去。若在第三次操作 后，剩下的长方形纸片恰好为正方形，求原长方形纸片的宽 12小明家离外婆家有 2500 米的路程，其中平路占 1 5 ，到外婆家上山路是下山路的 2 3 ，小明从家出发，用了 50 分钟到达外婆家。已知小明上山路的速度比平路慢 20%，下 山路的速度比平路块 20%，照这样计算，小明从外婆家返回家里要走多少分钟？ 13如图四边形ABCD为任意四边形，且它的面积为 2 30cm，E、F将AB三等分， G、H将CD三等分，链接FG和E

5、H，则原四边形被分成三个小的四边形，试求中间的 小四边形EFGH的面积 14为了准备参加“鹏程杯”数学竞赛，小明用 5 天时间共做了 31 道练习题每天做题 的数量都比前一天有所增加如果他第一天做题量是第五天的三分之一，问他第四天做了 几道题？简述你的理由 第二届鹏程杯数学邀请赛第二届鹏程杯数学邀请赛 小学六年级试题小学六年级试题 一一、填空题填空题（满分满分 60 分分，每小题每小题 6 分分，将你的答案写在题后的横划线处将你的答案写在题后的横划线处） 1不同的数字ABCD， ， ， ，使得等式2015AAAABBBBCCD成立则 _ AB CD 2如图所示，三角形ABE是边长为 21 的正

6、三角形四边形BCDE的周长是三角形 ABE周长的两倍则五边形ABCDE的周长=_ 3 计算：20152016201620152015201520162016_ 考察内容：算术四则简捷计算 4将 3.95 7 化为小数，小数点后第 2015 为的数字是_，其中3.95表示不超过 3.95 的最大整数 5一件工作，甲、乙二人合作 8 天完成，乙、丙二人合作 6 天完成，甲、丙二人合作 12 天完成若甲、乙、丙三人合作_天完成 6非零自然数ab， 的最大公约数与最小公倍数之和恰等于ab，的乘积则 10 22 22 _ a b ab 7如图，四边形ABCD中， 90150_ADCDBCCDABC ，

7、， ，则 8设abcd， ， ，是 19 之间的四个不同数字，用这四个数字（不能重复）可以组成 很多不同的四位数，小明把所有可能组成的四位数加起来，但他不小心把其中一个四位数 多加了一遍，结果为128313那么，正确的结果应该是_ 9处在A点的狗追赶与A点距离 30 米的B点的狐狸狗一步跑 2 米，狐狸一步跑一 米狗跑两步的时间狐狸跑 3 步问：当狗赶上狐狸时与点A的距离等于_米 10边长为 1 的正方体的 6 个面分别标有不同的点数，下图是从不同角度观察同一个 正方体的四种情形，若将 10 个完全相同的正方体粘合成一个1 1 10 的长方体，则长方体 表面标记的点数和的最大值是_ 二、解答题

8、（满分 60 分，其中 11-13 题各 10 分，14、15 题各 15 分） 11计算： 153219 4.853.66.15 35.5 1.751 4185321 12某校学生志愿者社团成员的五分之一安排做交通协管员，有 52 名成员在医院做义 工还有若干个学雷锋小组派到各社区服务每个小组都由社团的七分之一成员组成问 该学生志愿者社团共有成员多少人？ 13如图，直角梯形ABCD，9022ADBADADABBC BC， ，连接对角 线AC、BD交于O，求图中阴影部分面积 14具有以下性质的自然数叫做“鹏程数”： （1）在它的各个数位上，除数字 0 外，数 字 19 都出现过； （2）任何相

9、邻的两个数位上的数字所组成的两位数都是 17 或 23 的倍 数例如：923468517就是一个 9 位的鹏程数，试证明 2015 位的“鹏程数”必定是合数 15 （1）试证明：直线上存在 4 个点，使得这 4 个点两两之间的 6 个距离恰为 1、2、 3、4、5、6 这六个值 （2）在直线上是否存在 5 个点，使得这 5 个点两两之间的 10 个距离恰为 1、2、3、 4、5、6、7、8、9、10 这十个值？如果存在，请举一例；如果不存在，请说明理由 考察内容：构造特例，奇偶分析 第三届鹏程杯数学邀请赛第三届鹏程杯数学邀请赛 小学六年级试卷小学六年级试卷 一一、填空题填空题（满分满分 60

10、分分，每小题每小题 6 分分，将你的答案写在题后的横将你的答案写在题后的横划线处划线处） 1在右面的加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字， 当算式成立时，和数“开赛大吉”的最小值是_ 2x台拖拉机，每天工作x小时，x开耕地x亩，则y台拖拉机，每天工作y小时，y 大耕地_亩 3 设 12349991000 1222222a ， 则a被3除的余数是_ 4 某班教室全部是双人课桌， 被学生坐满没有空位 其中 60%男学生的同桌也是男生， 而 20%女学生的同桌也是女生那么，这个班的女生占全班学生总数的_% 5如图，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为 9 平分厘米和 1

11、3 平方厘米，G在线 段AB上则三角形CDE的面积等于_平方厘米 6某班次的长途汽车上的乘客的车票编号是连续的六位数如果它们中恰有 1 12 车票的 号码末位是数字 7，那么在这个班次的汽车上载有乘客的最大数量是_人 7自然数b与 175 的最大公约数记为d若176(111)51bdd，则 b _ 8有两个小正方体，每个正方体的六个面上都分别写有 1 到 6 这六个数字，现将两个 小正方体投掷到桌面上， 要保证有两次两个小正方体朝上面上的数字之和相同， 需至少投掷 _次 9一个正方体的每个顶点都有三条棱，以其为端点沿这三条棱的三个中点，从这个正 方体切下一个角这样一共可切下八个角则余下部分的体

12、积（图中的阴影部分）和正方体 体积的比值等于_ 10 沿着圆圈列出的十个数码， 按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小 数例如1.892915929 等等那么在所有这种数中最大的一个是_ 二二、解答题解答题（满分满分 60 分分，其中第其中第 1113 题各题各 10 分分，第第 14、15 题各题各 15 分分） 11如图所示，30ABBCCAAD，且2CDBADB； （1）求证：DACA； （2）求ABD的面积 12某校运动会在 400 米环形跑道上进行 10000 米的比赛，甲、乙两名运动员同时起跑 后，乙的速度超过甲的速度，在第 15 分钟时甲加快速度，在第 18 分钟甲追上

13、乙并且开始超 过乙，在第 23 分钟时甲再次追上乙，在第 23 分 50 秒时甲到达终点，求乙跑完全程用的时 间是多少分钟？ 13象棋比赛共有奇数个选手参加，每位选手都同其他选手比赛一盘胜一盘得 1 分， 平 1 盘得 0.5 分，负一盘得 0 分；已知其中两名选手共得 8 分，其他人的平均分为整数求 参加此次比赛的选手共有多少人？ 14定义运算 () | () , , ab ab ab ba ab 在 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 这 10 个数 中，任意选 5 个，从小到大依次记为 1 a， 2 a， 3 a， 4 a， 5 a；剩下的 5 个数从大到小依次记 为 1 b， 2

14、 b， 3 b， 4 b， 5 b证明： 1122334455 |25ababababab 15平面上有 7 个点，其中任意三个点不共线，以这 7 个点为顶点作三角形，使得任何 两个三角形至多只有一个公共点，由此最多可作多少个满足条件的三角形？ 第四届鹏程杯数学邀请赛第四届鹏程杯数学邀请赛 小学高年级组试题小学高年级组试题 一一、填空题填空题（满分满分 60 分分，每小题每小题 6 分分，将你的答案写在题后的横划线处将你的答案写在题后的横划线处） 1右面的加法算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字 若 2017x程程杯杯鹏鹏，则x _ 2如图所示，四边形ABCD中，DAB的

15、平分线、ABC的平分线、BCD的平分线 及CDA平分线，交成四边形EFGH已知110AEB，则CGD_ 3若 69、90 和 125 被大于 1 的整数m除的余数都相同，则 2017 被m除的余数是 _ 4某展厅的 120 盏电灯都是亮着的，每个灯都单独设有开关，现将开关按 1120 编 号，某同学先按编号为 3 的倍数的全部开关，然后再将编号为 5 的倍数的开关全部按下，那 么此时展厅中共有_盏亮着的灯 5一根长为 1 米的绳子，第 1 次剪去它的 1 2 ，第 2 次剪去剩下的绳子的 1 3 ，第 3 次又 剪去剩下的绳子的 1 4 ，第2016次又剪去剩下的绳子的 1 2017 ，那么，

16、最后剩下的绳子 长为_米 6某停车场有 10 辆公交车，第一辆公交车出发后，每隔 4 分钟，有一辆公交车开出， 在第一辆公交车开出 2 分钟后，有一辆公交车进场，以后每隔 6 分钟有一辆公交车回场，回 场的公交车，在原有的 10 辆公交车之后又依次每隔 4 分钟开出一辆问：从第一辆公交车 开出后，经过多长时间，停车场开始出现没有公交车的现象？ 7记号 x表记不超过x的最大整数，如： 0.90223.143，等等，则 111111111 2.16.212.320.430.542.656.772.890.9 _ 8某人出生于 20 世纪 70 年代（出生当年算 0 岁） ，他发现从某年起有连续 1

17、0 年，该 年年份数字之和都等于自己当年的年龄数，那么这个人 2017 年是_岁 9将一个棱长是整数厘米的长方体的各表面都涂满红色，然后将该长方体分割成若干 个棱长为 1 厘米的小正方体，若其中任何一面都没有涂色的小正方体共有 11 个，则原来的 长方体的体积为_立方厘米 10给出六位数A和B，数A由偶数码组成，数B由奇数码组成，而数CAB的偶 数码与奇数码是交替排列的，则C的最大值是_ 二二、解答题解答题（满分满分 60 分分，其中第其中第 11-13 题各题各 10 分分，第第 14、15 题各题各 15 分分） 11计算： 18 1.41.621-2.3752.017 419 12甲乙二

18、人分别从AB、两地同时相向出发，往返于AB、之间，第一次相遇在距A 地 30 千米处，第二次相遇在距A地 60 千米处，求AB、两地的距离 13如图，ABC中，D是BC边上的一点， 1111111 11 33 AAADABABBCC C，若 ABC的面积为 1，求 111 ABC的面积 141977 除本身外有三个约数：1，3，659（注意：659 是个质数，也加素数） 1977 的 数字和为1 97724， 它除本身外所有约数的数字和也是1365924， 我们把 具有这种特点的数叫鹏程数，以下是 8000 以内的鹏程数： 63387_?_303519573681843951 10591329

19、1383， 1923 19772463273327872949305732733327354336513867， 392140834353467751635433570359196081624362976621， 689170537323737776477971， （1）用一句话概括什么是鹏程数； （2）写出上述数表中遗漏的鹏程数； （3）仔细研究上述的鹏程数，找出它们所具备的共同性质，据此提出至少三个猜想 15在一个圆周上有 6 个点，用线段将它们彼此相连，那么这些线段在圆内最多有多少 个交点？请说明理由 第五届第五届鹏程杯鹏程杯数学邀请赛数学邀请赛 小学高年级试卷小学高年级试卷 一一、填空

20、题填空题（满分满分 60 分分，每小题每小题 6 分分，将你的答案写在题后的横划线处将你的答案写在题后的横划线处） 1字谜128abcdefgh，其中不同的英文字母表示不同的非 0 数字. acegbdfh 的值是_. 2x台拖拉机，每天工作x小时，x天耕x亩地，则y台拖拉机，每天工作y小 时， y天耕地_亩. 3时钟在 6:25 这个时刻，分针与时针的夹角是_. 4不能写成 3 个不相等的合数之和的最大奇数是_. 5如图所示，在边长为 12 厘米的正方形ABCD中，分别以BCCD，为直径在正方 形内画两个半圆，这两个半圆的交点为O，则图中阴影部分的面积是_平方厘 米 . 6老师派若干学生去购

21、买单价为 3 元或 5 元的贺年卡，规定每人至少买一张贺年卡 ，且每人购买两种贺年卡的总金额不超过 15 元.如果要求至少有三名学生购买的两种贺 年卡的数量完全相同，那么最少要派_名学生去购买贺年卡. 7王明参加了 10 场数学擂台赛，他输的场数、打平的场数都大于他赢的场数，则王 明最多赢了_场比赛. 8如图所示，有 18 块大小相同的小正三角形拼成的四边形。其中某些相邻的小正三 角形可拼成较大的正三角形若干个。那么，图中包含“”的大、小正三角形一共有 _个. 9有浓度为 30%的食盐溶液若干，加了一定数量的水猴稀释成浓度为 24%的溶液. 如果再加入同样多的水，浓度将变为_. 10在长为12

22、34199200， ， ， ， ，的这 200 条线段中，选取3k 条，使得这k条 线段中任意 3 条为边都可以构成三角形，则 k 的最大值是_. 二二、解答题解答题（满分满分 60 分分，其中第其中第 11-13 题各题各 10 分分，第第 14、15 题各题各 15 分分） 11 （满分 10 分）已知 911 23.25111 =1 3143 ，求出算式中的 . 12 （满分 10 分）用橡皮泥做一个棱长为 4cm 的正方体. （1）如图（1） ，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为 1cm的正方形通孔，求打 孔后的橡皮泥块的表面积； （2）如果在第（1）题所述橡皮泥打孔后，又在正面中心

23、位置处从前到后再打一个边 长为 1cm 的正方形通孔，求两次打孔后的橡皮泥块的表面积； （3）如果在第（1）题所述橡皮泥打孔后，又在正面中心位置处从前到后再打一个长 长为xcm，宽为 1cm 的长方形通孔，能不能使所得到的橡皮泥块的表面积为 130cm？如 果能，请求出x;如果不能，请说明理由. 13 （满分 10 分）甲、乙、丙、丁四个人骑着摩托车到外面探险，每辆摩托车带的油 最多能行 360 千米，途中无加油站.为了使其中有人走的更远些，他们相处一个巧妙的方 法，且都能安全地返回出发点.那么，他们想出了什么办法使其中有人能行得更远些？最 远能行多少千米？ 14.（满分 15 分）对于正整数

24、n，如果各位上的数字和是一个多位数（含两位数） ，那 么我们再算这个多位数的各位上的数字和，直至得到一个一位数为止，我们将这个一位数 记作 S n.例如2018，因为201811 1 12 ，所以20182S. 大家注意，35 291015，根据以上算法， 358292352982167SSS SSSS， 有趣的是1015S也等于 7.这是偶然的巧合还是必然的规律？ （1）根据以上材料，你能提出一个猜想吗？从等式左边数的个数和数的位数入手考 虑，尽量使你的猜想使用范围更广. （2）请说明你提出猜想的理由. （3）请举出以上结论的一个应用. 15.（满分 15 分）鹏程幼儿园小张阿姨在“六一”儿

25、童节时给小朋友们发糖果，她将一 包糖果放在桌子上便回办公室拿东西，回来后发现有些性急的小朋友已各自抓了一把糖果 .为了公平起见，她决定通过游戏方式达到平均分配糖果的目的.老师将小朋友们围成一 圈，先让所有人数一数自己手中的糖果，凡是奇数块的，老师再发一块.然后，每个小朋友 将自己糖果的一半分给右边的小朋友，同时，他也收到左边小朋友给的糖果，这样就叫做 完成了一次“调整”. 请你说明：如果张老师手上有足够多的糖果，那么只需要经过有限次“调整”，大家手 中的糖果就一样多了！ 答 案 部 分 第一届鹏程杯数学邀请赛 小学六年级试题参考解答和评分标准 （考试时间 100 分钟，满分 120 分） 一、

26、填空题（满分 60 分，每小题 6 分） 1计算： 1 478099476.4284476471.61 99 （ ） 考查内容：速算与巧算 答：1584 解：原式=478099476428.471.60.99 478099476499 1699 160016 1584 2不同的字母ABCD， ， ，代表不同的数码，恰使得2014AAAABBBCCD成 立则 ABCD BCDA _ 考查内容：数字谜和四则运算 答： 23 1156 解：由逐次估算可知，只有1111 8882272014则 1827ABCD， 所以 18271223 4711 82718756 ABCD BCDA 3如图，10 个

27、圆的半径相等，已知阴影部分的面积是48平方厘米，这 10 个圆的面 积之和是多少平方厘米？（取3.14） 考查内容：图形的面积计算 答：94.2 解：四个圆夹在中间的一块可以看成是一个边长为2r的正方形面积减去四个 1 4 圆的面 积，也就是减去一个圆的面积，即是 2 222 24rrrr 阴影部分的面积可表示为： 222 44448rrr，即是 2 3r 那么， 2 1010 3.14 394.2r（平方厘米） 故这 10 个圆的面积之和是94.2平方厘米 4桌子上的盘子里放着 60 块饼干，5 个孩子用它来招待客人每个孩子从盘子里给 每个自己认识的客人拿了 1 块饼干，然后，客人也从盘子里

28、给每个不认识的孩子拿了 1 块 饼干，此时，盘子里的饼干刚好被拿空。在场一共有_个客人 考查内容：简单应用题 答：12 解：每个孩子认识的客人数加不认识的客人数的和相等，60512（人） 5将一个大正方体木块的六个面都染成红色，然后将这个大正方体切割成 3 n个小正 方体积木已知至少有 2 个面为红面的小积木共有 44 块，则 6 个面都没染红的小正方体积 木共有_块 考查内容：空间观念，简易方程 答：27 块 解：不妨设大正方体棱长为n，则共有 3 n个单位正方体小积木小单位正方体两个面 为红色的有122n 个，3个面为红色的有 8 个因此至少有 2 个面为红面的小积木块共 有1228n 个

29、，列得方程122844n ，解得5n 所以 6 个面都没染红色的单位 正方体积木共有 3 5227块 6电子钟指时示时刻由00.00.00到23.59.59.每个时刻显示 1 秒钟，如图 2 显示的时刻 有两个数字 0那么，在一昼夜期间钟表上显示 3 个数字 7 的时刻共有_秒 考查内容：简单组合计算 答：72 秒 解：如果在表盘上显示的数字为ab cd mn ，因为255acm，那么 777acm，所以出现的 3 个 7 只能是7bdn此时0a 或1， 012345012345cm， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 全部得到2 6 672 个出现3个7的时刻，而每个时刻显示 1 秒钟总计

30、 72 秒 7在下面的钉子板上，用橡皮筋最多可以围出（ ）个正方形 考查内容：分类讨论、计数 答：20 94 14220 个 8已知a与b是互质的自然数，且b小于50，则满足 11 76 a b 的有序对ab，的个 数是_ 考查内容：分类讨论、计数 答：18 解：由ab，是互质的自然数，和 11 76 a b ，得67aba注意到b小于50当 1a 时，没有符合条件的b；当2a 时，13b ；当3a 时，1920b ，；当4a 时， 2527b ，；当5a 时，31323334b ，；当6a 时，3741b ，；当7a 时， 434445464748b ，；当8a 时，49b 所以有18个 9

31、一个 6 位的自然数ABCBCA是 7 的倍数，则2BC的最大值等于_ 考查内容：整数整除和最值 答：27 解：10000010000100010010ABCBCAABCBCA， 100001101001010 14285 7614427614472 7142851442144662 ABC ABC ABCABC 则662ABC被 7 整除，因为B、C是阿拉伯数码，所以9BC时，2BC可取 得最大值27，此时6272BC，除以7余2，故取2A ，则662ABC可以被7整 除所以9BC是可以成立的 10已知 3 个不同的正整数abc， ，它们两两互质，且其中任二数之和都能被第三 个数整除，则 3

32、33 222 abc abc _ 考查内容：整数整除和计算求值 答： 4 2 7 解：由于abc， ，对称，可设abc，则2abc，即2 ab c ，既然abc， ，中 任二数之和都能被第三个数整除，则有1 ab c ，也就是abc 因为|b ac，所以2bab，但1ab ，所以| 2b此时，1b 或2b 但1b 时，有1ab，则0a 不合题意所以2b 此时有12ab，3cab为所求 的三个自然数所以， 333 222 364 2 147 abc abc 二、解答题（满分 60 分，其中第 1-13 题各 10 分，第 14、15 题各 15 分） 11一张长方形纸片，长为 200 厘米，将它

33、按如图所示的方式折一下，剪下一个边长 等于长方形纸片宽的正方形（称为第一次操作） ；再把剩下的长方形纸片继续按相同的方式 操作，剪下一个边长等于此时长方形纸片宽的正方形，如此操作下去。若在第三次操作 后，剩下的长方形纸片恰好为正方形，求原长方形纸片的宽 解：如下图所示，分四种情况考虑： （1）剪 4 个一样大的正方形，原长方形纸片宽：200450 （厘米） （3 分） （2）剪 2 个较大的和 2 个较小的，原长方形纸片宽：2005 280 （厘米） （6 分） （3）剪 1 个较大的和 3 个较小的，原长方形纸片宽：2004 3150 （厘米） （8 分） （4）剪一个较大的和三个较小的，原

34、长方形纸片宽：2005 3120 （厘米） （10 分） 12小明家离外婆家有 2500 米的路程，其中平路占 1 5 ，到外婆家上山路是下山路的 2 3 ，小明从家出发，用了 50 分钟到达外婆家。已知小明上山路的速度比平路慢 20%，下 山路的速度比平路块 20%，照这样计算，小明从外婆家返回家里要走多少分钟？ 解：小明到外婆家，上山路是全程的 128 1 52325 ，下山路是全程的 1312 1 52325 （1 分） 平路、上山路与下山路的路程比是 1812 :5:8:12 5 25 25 （2 分） 平路、上山路与下山路的速度比是 1: 120% : 120%5:4:6 （3 分）

35、 那么他在平路、上山路与下山路所用时间的比是 5 8 12 :1:2:2 5 46 （5 分） 在平路上所用的时间是 1 5010 122 （分） ，在平路的速度是 1 25001050 5 （米/分） ，上山路的速度是50120%40（米/分） ，下山路的速度是 50120%60（米/分） （7 分） 返回家里的用时为： 81211 1025006025004010133053 252533 （分） （7 分） 答：小明从外婆家返回家里要走 1 53 3 分钟 13如图四边形ABCD为任意四边形，且它的面积为 2 30cm，E、F将AB三等分， G、H将CD三等分，链接FG和EH，则原四边形

36、被分成三个小的四边形，试求中间的 小四边形EFGH的面积 解：链接DB、DF、BH、HF因为 11 33 DFBDABBHDBCD SSSS ， 所以， 1 3 DFBBHD SSSDABSBCD ，即 1 3 FBHDABC SS （5 分） 因为 HFB SS HEF ， FGHFHD SS ，所以， HEFFGHHFBFHD SSSS ， 即 HEFGDFBH SS，因此， 2 1 10 3 HEFGDABC SScm （10 分） 说明：只给出答案“ 2 10 HEFG Scm”的给 1 分 14为了准备参加“鹏程杯”数学竞赛，小明用 5 天时间共做了 31 道练习题每天做题 的数量都

37、比前一天有所增加如果他第一天做题量是第五天的三分之一，问他第四天做了 几道题？简述你的理由 考查内容：题目不难，主要考察说明理由的逻辑表述 答：8 道题 解：如果小明在第一天做了不多于两道题，即这意味着在第五天他做了不多于六道 题并且 5 天做题总数不多于5 630道，小于总题数 31 道不符 如果在第一天他做了不少于 4 道题，那么在第二天做了不少于 5 道题，在第三天做了 不少于 6 道题，第四天不少于 7 道题，而在第五天不少于 12 道题这样他五天做题总数不 少于45671234 道题大于总题数 31 道题不符 由此得出，在第一天小明只能做 3 道题而在第五天他做了 9 道题 我们假设

38、，在第四天他做了不多于 7 道题，则在第三天他做了不多于 6 道题，在第二 天他做了不多于 5 道题五天共不多于3567930 道题不合题意这样一来，在 第四天他只能做 8 道题 例如：从第一天到第五天分别做35689， ， ， ，道题，或分别做34789， ， ， ，道题 满足题设条件 评分说明：猜到第四天做 8 道题，可给 1 分；同时例举了从第一天到第五天分别做 35689， ， ， ，道题，或分别做了34789， ， ， ，道题的 3 分；猜到第四天做 8 道题，并说 明了理由的 5 分；进一步说明“第一天不能做两道题或少于两道题”的另得 5 分；进一步说 明“第一天不能做四道题或多于

39、四道题”的也另得 5 分 15如果存在连续的 n 个非零自然数，每个数的质因数分解式（相同的质因数都写成 乘方的形式）中，所有质数的指数都是奇数，这样的 n 个连续自然数称作一组“n 朵梅花 数” 如 11111 131314271535，就是一组“3 朵梅花数” （1）请你写出一组“4 朵梅花数” （2）试确定n的最大值并说明理由 考察内容：对新概念的理解，会举符合定义的实例，考察离散极值的求法 解： （1）如 1111131 21372221123232423，就是一组“4 朵梅花 数” （5 分） （2）我们先证明8n时不存在“8 朵梅花数” 因为8n时，其中连续的 8 个非零自然数必有

40、一个是 8 的倍数，设这个数是m，则 44mm，至少有一个属于这n个连续的自然数不妨设4m属于这n个连续的自然 数，则4m被 4 整除但不被 8 整除，即4m得质因数分解式中 2 的乘方指数为 2（偶 数） ，不符合“梅花数”定义的要求所以8n时不存在“n朵梅花数” 因此7n 我们举例7n 是可以达到的 如 111115111111 292930235313132233311342173557， 就是一组“7 朵梅花数” 第二届鹏程杯数学邀请赛 小学六年级试题解答和评分标准 一、填空题（满分 60 分，每小题 6 分，将你的答案写在题后的横划线处） 1不同的数字ABCD， ， ， ，使得等式2

41、015AAAABBBBCCD成立则 _ AB CD 考察内容：自然数四则运算 答： 3 4 解：1111 888226=20151826ABCD， 因此， 1 893 2 6124 AB CD 2如图所示，三角形ABE是边长为 21 的正三角形四边形BCDE的周长是三角形 ABE周长的两倍则五边形ABCDE的周长=_ 考察内容：图形周长计算 答：147 理由：设xBCCDDE，则四边形BCDE的周长为21x，依题意列得方程 212 3 21x ，解得105x 所以五边形ABCDE的周长为1052121 147 3 计算：20152016201620152015201520162016_ 考察内

42、容：算术四则简捷计算 答：10000 解：原式 2015201512016201520152015201620151 201520152016201520162015201520152016201520152015 2016220152015201510000 一般地：11a bb aabababab 当2016201520152015ab，时，代入即得10000ab 4将 3.95 7 化为小数，小数点后第 2015 为的数字是_，其中3.95表示不超过 3.95 的最大整数 考察内容：整数部分的概念，分数化小数，周期规律 答：7 理由：因为3.953，所以 3.953 0.42857142

43、8571 77 ，每 6 位一个循环，而 20156 3355 ，所以小数点后第 2015 位的数字是 7 5一件工作，甲、乙二人合作 8 天完成，乙、丙二人合作 6 天完成，甲、丙二人合作 12 天完成若甲、乙、丙三人合作_天完成 考察内容：工程问题，分数四则 答：16 1 5 33 （天） 解： 111316 121 8612163 （天） 6非零自然数ab， 的最大公约数与最小公倍数之和恰等于ab，的乘积则 10 22 22 _ a b ab 考察内容：最大公约数，最小公倍数 答：1024 解：我们假设，则ab，被a整除，ab被a 整除，以为着ab，被a整除但 1abba， ，矛盾类似地

44、ab的情况也不可能所以ab，由条件可得到 2 aaa，即 2 2aa，因为2aa0，由此2ab 于是 1010 2222 10 2222 22 21024 22 a b ab 7如图，四边形ABCD中， 90150_ADCDBCCDABC ， ， ，则 考察内容：考察简单图形角度的计算 答案：75ABC 解：作正方形BCDE，连接AE易证：AED为等边三角形，AEB为等腰三角形， 15EABEBA ,所以901575ABC 8设abcd， ， ，是 19 之间的四个不同数字，用这四个数字（不能重复）可以组成 很多不同的四位数，小明把所有可能组成的四位数加起来，但他不小心把其中一个四位数 多加了

45、一遍，结果为128313那么，正确的结果应该是_ 考察内容：数的表示求和，简易方程 答：119988 解：用Abcd， ， ，这四个数字可以组成 24 个不同得四位数，并且abcd， ， ，中的每 个数字在个位、十位、百位、千位各出现六次所以这 24 个不同的四位数的和为： 6 11116666abcdabcd 设被多加一次的四位数为x，则666128313abcdx 而1283136666191659，并且9999x，所以18abcd或 19 当19abcd，则1659x ，但165921 19 ，所以18abcd， 这时165966668325832518x ，所以正确的结果应该为 18

46、6666119988 9处在A点的狗追赶与A点距离 30 米的B点的狐狸狗一步跑 2 米，狐狸一步跑一 米狗跑两步的时间狐狸跑 3 步问：当狗赶上狐狸时与点A的距离等于_米 考察内容：行程问题 答：120 米 解：在单位时间狗跑22=4（米） ，而狐狸跑3 1=3（米） ，这意味着，在单位时间狗 追上狐狸 1 米，30 米的距离要追 30 个单位时间，也就是，狗跑304=120（米） 10边长为 1 的正方体的 6 个面分别标有不同的点数，下图是从不同角度观察同一个 正方体的四种情形，若将 10 个完全相同的正方体粘合成一个1 1 10 的长方体，则长方体 表面标记的点数和的最大值是_ 考察内

47、容：空间想象，最值 答：152 理由：观察图形可知，在正方体的表面，1 点和 6 点相对，2 点和 5 点相对，3 点和 4 点相对，点数和都是 7，所以讲小正方体粘合成长方体猴，中间 8 个小正方体每个小正方 体露在外面的点数都是2 7=14，共有14 8=112，而两端的两个正方体最多可以有 7312=40个点露在外面，所以点数和的最大值是11240=152 二、解答题（满分 60 分，其中 11-13 题各 10 分，14、15 题各 15 分） 11计算： 153219 4.853.66.15 35.5 1.751 4185321 考察内容：分数、小数的四则混合运算 原式 118318

48、 =4.853.66.1535.51.75 4557 （2 分） 1718 =4.8516.153.65.5 447 （4 分） 19 =365.5 42 （6 分） =95.54.5 （8 分） =10 （10 分） 12某校学生志愿者社团成员的五分之一安排做交通协管员，有 52 名成员在医院做义 工还有若干个学雷锋小组派到各社区服务每个小组都由社团的七分之一成员组成问 该学生志愿者社团共有成员多少人？ 考察内容：方程讨论的应用题 答：140 解：设该学生社团共有成员n人，有k个学雷锋小组，每个学雷锋小组 7 n 人则依题 意列得方程：52 57 nn nk （3 分） 解得 35 52 2

49、85 n k （7 分） 由于n是正整数，285k0，得12345k ， ， ， ， 对 4 5 7 13 285 n k ，易知只能3k ，此时140n 人 （9 分） 答：该学生志愿者社团共有成员 140 人 （10 分） 13如图，直角梯形ABCD，9022ADBADADABBC BC， ，连接对角 线AC、BD交于O，求图中阴影部分面积 考察内容：三角形等级问题及应用 解：如图，延长BC到E，使得BCCE，连接OE，则由同底等高的两个三角形面 积相等，可知 ABCDBC SS ， （2 分） 由于OBC为公共部分，因此，有 ABOCDO SS （3 分） 同样有 OBCOCE SS ，

50、 （4 分） ABOBEO SS ， （5 分） 所以，2 ABOBEOBCO SSS ， （7 分） 于是得到 11 3222221 22 22 ABOABOBCOABC SSSSBCAB ，即 2 3 ABO S （9 分） 故图中阴影部分面积 4 =2 3 ABOCDOABO SSS （10 分） 注：未经证明直接使用4 ADOBCO SS 解题只能得 2 分 14具有以下性质的自然数叫做“鹏程数”： （1）在它的各个数位上，除数字 0 外，数 字 19 都出现过； （2）任何相邻的两个数位上的数字所组成的两位数都是 17 或 23 的倍 数例如：923468517就是一个 9 位的鹏程

51、数，试证明 2015 位的“鹏程数”必定是合数 考察内容：合数概念、分类讨论；奇偶分析、简单推理 证明：两位数中，17 的倍数有1734516885，；23 的倍数有23466992， 容易发现，当一个数位上的数字确定后，其下一位数字出现可依下图所示： 468517 329 其中6923469可循环，但若由68，则68517 ，循环 终止，不能再往下继续按规则写数字 设这个数是 122015 .a aa，显然 12015 07aa，则 201420132012201120102009200820072006 158=643296aaaaaaaaa， ，也就是说，从 12011 aa都是要在69

52、23469循环进行的，每五个 数码为一“循环节”，由此可知 1234 6923aaaa， （12 分） 所以，这个 2015 为数的数字之和为 69234402685173 84029 （14 分） 因此，这个 2015 位数除 1 与自身外，至少还有一个真因数 3，所以这个 2015 位数是 合数 15 （1）试证明：直线上存在 4 个点，使得这 4 个点两两之间的 6 个距离恰为 1、2、 3、4、5、6 这六个值 （2）在直线上是否存在 5 个点，使得这 5 个点两两之间的 10 个距离恰为 1、2、3、 4、5、6、7、8、9、10 这十个值？如果存在，请举一例；如果不存在，请说明理由

53、 考察内容：构造特例，奇偶分析 解： （1）共线四个点XYZW、 、 、:使得132XYYZZW，即合要求 验证：123456XYZWYZXZYWXW， （5 分） （2）答：不存在 理由如下：设直线上存在适合于题设条件的 5 个点，它们依次是ABCDE、 、 、 、 记两两之间的 10 个距离之和为S其中10AE 依题意有1234567891055S （10 分） 另一方面SABACADAEBCBDBECDCEDE 42 402 ABBEACCEADDEAEBCCDBD AEAEAEAEBDBD AEBD BD 因此，有402=55BD，即 15 2 BD 为非整数 （14 分） 所以，在平面上不存在 5 个点，使得这 5 个点两两之间的距离恰为 1、2、3、4、5、 6、7、8、9、10 这十个值 注： （2）只答“不存在”，没有说明理由或理由不正确者可记 1 分 第三届鹏程杯数学邀请第三届鹏程杯数学邀请赛赛 小学六年级试卷小学六年级试卷 一一、填空题填空题（满分满分 60 分分，每小题每小题 6 分分，将你的答案写在题后的横划线处将你的答案写在题后的横划线处） 1在右面