几何与代数第1章习题答案

1、几何与代数导引课后习题 第一章第一章 向量、平面与直线向量、平面与直线 11 向量的线性运算 1证明下列向量不等式，并说明等号何时成立： （1）abab ； （2）abab ； （3）abcabc 。 【证明】 （1） （i）当a 与b 共线时， （a）a 与b 同向，abab （b）a 与b 反向， ababab （ii）当a 与b 不共线时，根据向量加法的三角形法则，以abab 、 、为长度的三条线段可以构成一个 三角形。因为三角形两边之和大于第三边，所以有abab 。 综合（i） （ii） ，a ba b ，等号当a 与b 同向时成立。 （2） （i）当a 与b 共线时， （a）a 与b

2、 同向，abab （b）a 与b 反向， ababab （ii）当当a 与b 不共线时，根据向量减法的定义，以abab 、 、为长度的三条线段可以构成一个三角 形。因为三角形两边之差小于第三边，所以有abab 。 综合（i） （ii） ，a ba b ，等号当a 与b 同向时成立。 （3）由（1）所证结论，有 abcabcabcabc ，等号当三向量同向时成立。 【推广结论】 1212 . nn aaaaaa ，等号当向量都同向时成立。 2设abc ， ，是非零向量，实数klm，非零，证明：kalb lbmcmcka ，共面。 【证明】 0kalblbmcmcka ，令1123 i ki ，

3、， 则存在不全为零的实数 123 kkk， ，使得： 123 0k kalbklbmckmcka 。 由推论 1.2 可知，kalb lbmcmcka ，共面。 3在三角形 123 p p p中求一点o，使得 123 0opopop 。 【证明】取 23 p p中点 1 q， 13 p p中点 2 q，连结 1 122 p qp q，交于 一点o，则点o为所求点，满足 123 0opopop ，下证之。 几何与代数导引课后习题 连结 3 op，延长 1 oq至 1 q ，使 11 1 oq qq 。易知 213 op q p为平行四边形，所以有 231 opop oq 。由几何性 质可知： 1

4、1 op oq ， 231 opopop 即 123 0opopop ，所以点o为所求点。 4对任意取定的点组 12.n ppp， ，证明： （1）存在唯一的点p，使得 1 .0 n pppp ，p称为这个点组的重心； （2）对任意点o， 12 . n opopopnop 。 【证明】 （1）将 1 .0 n pppp 进行变形，则 12 . n opopop op n ， 任意取定一点o，则存在向量op 满足上述式子，即点p存在。下面证明点p唯一。 假设还有一点 p 满足 1 .0 n pppp ，则有 12 . n opopop op n 。 故点p与点 p 重合，所以满足条件的点唯一。

5、（2）直接变形即可得到。 为了方便证明之后题目中的结论，我们先给出个引理及其证明。 【引理】在三角形OAB中，OAa ，OBb ，而MN、分别为三角形两边OAOB，上的点，且有 0101OMaONb ， 设AN与BM相交于P， 则 11 11 OPab 。 【证明】因为OPOMMP ，OPONNP 而OMa ， MPmMBm OBOMm ba ， ONb ， NPnNAn OA ONn ab ， 所以， 1OPam bam amb ， 1OPbn abnan b 由于a b 、不共线，故 1 1 1 11 1 m mn mn n 几何与代数导引课后习题 代入，可以得到 1111 1 1111

6、OPabab 5用向量法证明： （1） 三角形 123 p p p三条中线交于一点o， 且o就是三个顶点的重心； 【证明】如图所示， 123 qqq， ，分别为 123 ppp， ，所对边的中点。 连结 1 122 p qp q，设两线交点为 o，连结 33 opoq，。 根据已知，我们有 3231 1 2 p qp p ， 3 132 1 2 p qp p 由引理，则有 332313231 1111 11 112222 1111 33 11 2222 p op pp pp pp p 同理， 我们有 11312 11 33 p op pp p ， 故 311 31 21 31 23 23 1

7、1111 3326 o qo ppqpppppppppp 我们可以发现， 13 1 2 p op o ，这样就说明了向量共线，则有三条中线相交于点o。 由引理，我们得到 22321 11 33 p op pp p ，将 123 op op op ， ，相加，得到 123 0opopop 。 就说明了，o就是三个顶点的重心。 （2）四面体 1234 p p p p的对棱中点连线交于一点o，且o就是四个顶点的重心； 【证明】设四面体的一组对边 1234 p pp p，的中点 12 qq，的连线为 12 q q，它的中点为 1 m。其余两组对边中 点的连线分别为 23 mm，下面只需要证明 123

8、mmm，三点重合就可以了。 取不共面的三个向量 121314 p p p p p p ，先求出 11 p m 用 121314 p p p p p p ，线性表示的关系式。 联结 12 p q，我们可以得到 11121 1131412 11 11 22 22 p mp qp qp pp pp p 则 11121314 1 4 p mp pp pp p ，同理可得 1121314 1 2 3 4 i p mp pp pp pi ， 所以， 111213 p mp mp m ， 123 mmm，三点重合，记此点为o。 下证o就是四个顶点的重心，由上面证明过程我们可以得到 1121314 1 4 o

9、pp pp pp p 我们可以把其余三个顶点作为不共面向量的起点，这样可以得到以下式子： 223242133431324414243 111 444 opp pp pp popp pp pp popp pp pp p ， 相加，就可以得到 1234 0opopopop ，则o就是四个顶点的重心。 几何与代数导引课后习题 （3）正n边形 12.n p pp的中心o就是它的n个顶点 12.n ppp， ，的重心。 【证明一】 将正n边形旋转 2 n ， 则 1212 . . . . . nn opopopopopop ， 只有零向量旋转后不变， 故 12 .0 n opopop ，说明o就是它的n

10、个顶点 12.n ppp， ，的重心。 上面的证明思维很巧妙，也很简单，道理说得也很清楚，可能不太容易想到，我们再给出另一种方法。 【证明二】由正n边形的几何特性， i op为 11 23.1 ii p opin ， ，的角平分线，特别地， 1 op平分 2n p op， n op平分 11n pop 。设 12n opopop ，则 21311 . nn opopopopopop ，。 将这n个等式相加并化简，得到 12 21.0 n opopop 。 若 1 210 2 ，则 12 1 2 n opopop ，此时有 12.n ppp， ，共线，矛盾。 所以， 12 .0 n opopop

11、 ，o就是它的n个顶点 12.n ppp， ，的重心。 6用向量法证明：三角形 123 p p p的三条角平分线交于一点p，并且对任意一点o，有 112233 123 1 opk opk opk op kkk 其中， 123 kkk， ，分别对应的是点 123 ppp， ，所对的边的边长。 【证明】设三条角平分线为 1 12233 p qp qp q，其中 123 qqq， ，分别在 233112 p pp pp p，上面。 设 1 122 p qp q，的交点为p，联结 3 p p，下证 3 p p 与 33 p q 共线。 根据角平分线性质定理， 经过计算， 可以得到 122 32313

12、1321312 122312 kkk p qp p p qp p p qp p kkkkkk ，。 由引理，有 12 33132 123123 kk p pp pp p kkkkkk ， 而 221 3331123231 121212 kkk p qp pp pp pp p kkkkkk 。 可知 12 333 123 kk p pp q kkk ，即 3 p p 与 33 p q 共线，故三条角平分线相交于一点p。 类似的，有 31 22123 123123 kk p pp pp p kkkkkk ， 32 11213 123123 kk p pp pp p kkkkkk 。 几何与代数导引

13、课后习题 代入可得， 112233112233 123 1 0k p pk p pk p popk opk opk op kkk ，得证。 7设 123 ppp， ，是不在一直线的三点，o为任意取定的一点。证明： （1）点p在 123 ppp， ，确定的平面上，当且仅当存在实数 123 kkk， ，使得 112233123 1opk opk opk opkkk 【证明】必要性，点p在 123 ppp， ，确定的平面上，说明 1 p p 可用 1213 p p p p ，线性表出。 即 11213123112233 1p pap pbp popab opaopbopk opk opk op 其中

14、， 123123 11kabkakbkkk ，必要性证毕。 充分性，存在实数 123 kkk， ，使得 112233123 1opk opk opk opkkk 。 23122331212313 1opkkopk opk opp pk p pk p p ，则点p与 123 ppp， ，共面。 （2）点p在 123 p p p内（包括三边） ，当且仅当存在非负实数 123 kkk， ，使得 112233123 1opk opk opk opkkk 【证明】 必要性， 点p在 123 p p p内 （包括三边） ， 故点p在 123 ppp， ，确定的平面上， 1 p p 可用 1213 p p

15、p p ， 线性表出。即 11213123112233 1p pap pbp popab opaopbopk opk opk op 。 其中， 123123 11kabkakbkkk ，。 由于点p在 123 p p p内，所以 123 0101010ababkkk ， ， 所以，存在非负实数 123 kkk， ，使得 112233123 1opk opk opk opkkk ，必要性得证。 充分性，存在实数 123 kkk， ，使得 112233123 1opk opk opk opkkk 。 23122331212313 1opkkopk opk opp pk p pk p p ，则点p与

16、 123 ppp， ，共面。 因为 123 kkk， ，为非负实数，且 123 1kkk，故 2323 010101kkkk，。 点p在 123 p p p内（包括三边） ，充分性得证。 8四点 1234 pppp， ， ，共面，当且仅当存在不全为零的实数 1234 kkkk， ， ，使得 112233441234 00k opk opk opk opkkkk 几何与代数导引课后习题 其中，o为任意取定的一点。 【证明】必要性，四点 1234 pppp， ， ，共面，不妨假设 234 ppp， ，不共线，则 12 p p 可以用 2334 p p p p ，线 性表出，即 1223341234

17、 10p pap pbp popaopab opbop 。 其中， 12341234 110kkakabkbkkkk ，必要性得证。 充分性，存在不全为零的实数 1234 kkkk， ， ，使得 112233441234 00k opk opk opk opkkkk 不妨设 2 0k ，变形之后得到， 34 212313414211314 22 0 kk k p pk p pk p pp pp pp p kk 。 所以，我们知道四点 1234 pppp， ， ，共面，充分性得证。 9设G是一个点集，如果连结G中任意两点的线段上的每一点都在G中，则称G是凸的。证明：由同 一点出发的向量 1122

18、 . mm xk ak ak a 的终点组成的区域是凸的，其中 1.m kk，都是非负实数，并且 1 .1 m kk。 【预备知识】关于凸性的具体说明： K是一个凸图形， 12 xx，是其中的两点，则连接它们的直线段也在K中，而非凸图形 K 则不具备这 种性质。一般情形下， 01 101xxx 对应连接 01 xx，的线段中的一点。尤其是0时， x对应 0 x；1时，x对应 1 x。 K是凸集是指， 0101 011xxKxxK ，。 【证明】下面对元素个数进行归纳性说明，1m 时结论显然成立。2m 时，由预备知识可知，结论依 然成立。设结论在mn时也成立，要证明对于01.1 i kin， i

19、 aG 时， 1 m ii i xk aG 。 几何与代数导引课后习题 不失一般性，设0 i k ，则 1 1 10 n ni i kk 。由归纳假设， 1 1 11 . 11 n k nn kk yaaG kk 。 因为 1 1 1 1 n i i n k k ，由定义， 111 1 nnn xkykaG 。故结论成立。 10证明：对任意3n n 个向量 1.n vv ，存在不全为零的数 1.n kk，使得 1 1 .0 nn k vk v 。 【证明】 （1）当n个向量中至少有一个零向量的时候，不妨设 1 0v ，取 1 102. i kkin，即满 足题意。 （2） 当n个向量全不为零向

20、量时， 存在不全为零实数， 使 41231234 0vkvlvmvkvlvmvv 。 取 1234 105. i kkklkmkkin ，即可满足题意。 12 基与仿射坐标系 11在仿射标架中，已知 5 211 4 2115abc ， ， ，求32abc 。 【解】 323 5 2 1214 21151634abc ， ， ， 12设p和q分别是平行四边形 1234 p p p p的边 23 p p和 34 p p的中点，求点 234 ppp， ，在仿射标架 111 p p p p q ； ，中的坐标。 【解】首先，我们求出 2 p的坐标，即寻找实数ab，使得 1211 p pap pbp q

21、 。 121213214111211121 111 111 222 242 p pp pppp pp pp pp pp pp pp qp pp pp q 化简，得到 1211 42 33 p pp pp q ，故仿射标架下， 2 42 33 p ，。 由于p为 23 p p中点，故 1121313112 1422 2 22 10 2333 3 p pp pp pp pp pp p ， 在平行四边形中， 131214141312 2 2422 4 3 3333 3 p pp pp pp pp pp p ， 综合上述过程， 234 422 22 4 333 33 3 ppp ， ，。 13设 12

22、34 p p p p是梯形，向量 1243 3p pp p ，p和q分别为 23 p p和 34 p p的中点，求点 124 ppp， ，在仿 几何与代数导引课后习题 射标架 111 p p p p q ； ，中的坐标。 【解】显然， 1 0 0p，。 12121313111211 1 2 6 p pp pppp pp pp pp qp qp pp pp qp p 化简，得： 12112 126126 7777 p pp pp qp ， 14141124 1212 82 8 01, 6777 77 7 p pp qp qp qp pp ， 14设 121415 p pp pp p，是一平行六面

23、体的顶点 1 p处的三条棱，p是过 1 p的对角线和 245 ppp， ，所在 平面的交点，求p在仿射标架 1121415 p p p p p p p ；，中的坐标。 【解】由几何性质易知，p是三角形 245 p p p的重心，故坐标为 1 1 1 3 3 3 ，。 15设 123 ppp， ，三点共线，且简比 123 2 5 ppp， ，。已知在一个仿射标架中，点 13 pp，的坐标分别 为 37 38 2 3， ， ，求点 2 p的坐标。 【解】 1231332 22 55 pppp pp p ， ， 设 2 pxyz， ，则有 24121 55 08233 522 xyzxyz ， ，

24、16设三点 123 ppp， ，共线，且在某个仿射标架中坐标依次为 3 4 12 5 01ab， ， ， ，试求ab，和 简比 123 ppp， ，。 【解】由于三点共线，设 123 pppk， ，则有 1332 33124p pk p pabkab ， ， ，。 解之， 123 3 64 4 kpppab ， ，。 17写出仿射标架下不共线三点的重心坐标公式。 【解】设三点在仿射标架下坐标为 112321233123 pxxxpyyypzzz， ， ， ，。 由重心的定义， 123 0opopop ，故重心坐标为 333111222 333 xyzxyzxyz o ，。 18 （Ceva 定

25、理）设点 312 qqq， ，依次为三角形 123 p p p的三边 122331 p pp pp p，的内点，记 112322313312 kppqkppqkppq， ， ， ， 证明：三条线段 1 12233 p qp qp q，交于一点，当且仅当 1 23 1k k k 。 几何与代数导引课后习题 【证明】建立仿射标架 11213 p p p p p ；，由已知， 1 31322 121332321 p qk q pp qk q pp qk q p ，则我们 得到下面的坐标： 12 123321 1322 11 0 0100100 1111 kk pppqqq kkkk ， ， ， ，。

26、 必要性，不妨设三条线段 1 12233 p qp qp q，交于一点o。 根据引理（见习题 1.1） ，我们可以求出坐标， 1 3 31 331 3 1 11 k k o kk kkk k ，。 由于 11 poq， ，三点共线， 我们有： 1 322 231 3231 322 111 111111 k kkk kkk kkkk kkk 化简后得到： 1 23 1k k k ，必要性得证。 充分性，设 2233 p qp q，交于一点o，由 1 23 1k k k 。 可以推得 1 322 231 3231 322 111 111111 k kkk kkk kkkk kkk 。 这样我们可以

27、说 11 poq， ，三点共线，故三条线段 1 12233 p qp qp q，交于一点，充分性得证。 13 向量的外积与内积 19在直角坐标系中，求向量12 2b ，沿3 1 2a ， ，的正交分解 12 bb 。 【解】 392799 cos31 2 14 14 7143 14 a b pr bab a a ， ， ， 13 19 5 14 14 7 a bpr b ， ， 故 12 279913 19 5 14 14 714 14 7 bb ， ， ，。 20设三向量abc ， ，不共面，向量d 满足：0d ad bd c ，证明：0d 。 【证明】由于三个向量不共面，必存在非零向量0e

28、 ，并有不全为零的实数，使得ekalbmc 。 00e dka dlb dmc dd 。 21设0314abcabc ，求a bb cc a 。 【解】 2222 2013abcabca ba cb ca ba cb c 22用向量运算表述勾股定理和余弦定理，并证明之。 【解】设三个向量abc ， ，首尾顺次连接围成一个三角形，则有0abc 。 几何与代数导引课后习题 则 22 222 2cosabcabccaba bab ，当ab 时，即可得勾股定理。 23证明：abab ，当且仅当0a b 。 【证明】必要性， 2222 0ababababababa b 充分性，由必要性证明逆推即可。 2

29、4在直角坐标系下，已知 1 0 112 0121abc ， ， ， ， ，求 3abbc 。 【解】 34232413141012abbcabbc ， ， ， 25证明下列向量恒等式： （1） 2222 22ababab ； （2） 22 4ababa b ； 【证明】将等式左边转化成向量相乘，并展开，即可得到结果。 （3） a bca c bb c a （二重外积公式） 【证明】若三个向量中有一个为零向量，或者ab ，共线，或者c 与ab ，都垂直，则等式两边都为零向量，公 式成立。 现在设abc ， ，为三个非零向量，且ab ，不共线，为了证明这时公式也成立，我们先证明ca 时成立，即有

30、2 a baaba b a 由于 a ba 与ab ，共面，而ab ，不共线，从而可以设 a baab 。 将上面的式子分别与ab ，作数量积，得到 2 2 2 2 0aa b a b a a bba b ，代入即可。 下面证明一般情况成立，由于三个向量aba b ， ，不共面，所以，对于空间的人一向量c ，我们有 caba b 从而， a bca baba ba bab ab 利用之前得到的公式化简，通过变形，就可以得到最后结果。 （4） 0a bcb cac ab （Jacobi 恒等式） 【证明】 a bca c bb c a ， b cab a cc a b ， c abc b aa

31、b c 三个式子相加，就可以得到： 0a bcb cac ab 几何与代数导引课后习题 （5） a bc da cb db ca d （Lagrange 恒等式） 【证明】 a bc da bcda c bb c ada cb db ca d （6） a bc dabd cabc d ， ， ， 【证明】令ea b ，则 a bc dec de d ce c dabd cabc d ， ， ， （7） 0bcd acad babd cabc d ， ， ， ， ， 【证明】题目有误应为 0bcd acad babd cabc d ， ， ， ， ，？ 26证明：下面的方程组（1）有非零解，当且

32、仅当其系数行列式为零。讨论方程组（2）在什么条件下有 解，有唯一解？并将所得结论推广到三个变量的情形。 （1） 1112 2122 0 0 a xa y a xa y （2） 11121 21222 a xa yb a xa yb 【解】 （1）两个方程可以看作二维平面内两条直线，解即为直线的公共部分，由于两条直线均经过原点， 所以要求解非零，当且仅当两条直线重合，则他们的系数对应成比例，就有系数行列式为零。 （2）参见课本 1.3 节中有关 Cramer 法则的讨论。 27用行列式解方程组： （1） 231 456 xy xy （2） 234 2252 3566 xyz xyz xyz 【解

33、】 （1） 13 2 4 x y ； （2） 118 5 12 5 54 5 x y z 28设abc x ， ， ，为向量，证明： （1）axbxcx ，共面； 【证明】当0 x 时，axxb xxcxx ，故axbxcx ，共面（当0 x 时，显然成立） 。 （2）abc ， ，共面，当且仅当a bb cc a ，共线； 【证明】必要性，abc ， ，共面，则存在不全为零的实数 123 kkk， ，使得 123 0k ak bk c 。 分别让上式与abc ， ，作外积，那么就可以推得a bb cc a ，两两共线，则它们必共线。 充分性，a bb cc a ，共线。当0a b 时，显然成

34、立。 几何与代数导引课后习题 当0a b 时， 12 b ck a b c aka b ，则a babc ， ，故abc ， ，共面。 （3）设ab ，不垂直，a xk bxc ，试用abck ， ， ，表示x 。 【解】根据二重外积公式， bxab a xx a bb a xkbc a 。 由此解得， c akb x a b 。 14 空间的平面与直线 29在访射标架中，求下面平面的一般方程和参数方程： （1）过点 6101 0 13 1 1， ， ， ， ，； 【解】 0 610511301ruv ， ， ， ，参数方程为 12 1 12 653 1 xtt yt ztt ，一般方程234

35、xyz。 （2）过点 1 02132， ， ， ，平行于向量12 4v ， ，； 【解】 0 10223412 4ruv ， ， ， ，参数方程 12 12 12 1 2 32 244 xtt ytt ztt ， 一般方程201218xyz。 （3）过点3 12， ，和z轴； 【解】 0 3 120 0 13 12ruv ， ， ， ，参数方程 2 2 12 33 1 22 xt yt ztt ，一般方程30 xy。 （4）过点 6 1 01 0 1， ， ，平行于y轴； 【解】 0 6 105110 10ruv ， ， ， ，参数方程 1 12 1 65 1 xt ytt zt ，一般方程5

36、6xz。 （5）过点6 1 0， ，平行于平面325xy ； 【解】一般式可设为32xyd，将已知点带入，一般方程为3216xy。在平面上取两点 250080， ， ，则 0 6 104 6 06 9 0ruv ， ， ， ，参数方程 12 12 646 1 69 0 xtt ytt z 。 几何与代数导引课后习题 （6）过两平面2321xyzxyz，的交线以及点12 0p， ，； 【解】交线的标准方程为 11 135 xyz ，则交线的方向向量为135 ， ，过点110， ，。 0 110135010ruv ， ， ， ，参数方程 1 12 1 1 1 3 5 xt ytt zt ，一般方程

37、55xz。 （7）过直线 1 211 xyz 且平行于直线 1 212 xyz ； 【解】 1 211 xyz 的方向向量为211， ，过点10 0，。 0 10 0211212ruv ， ， ， ，参数方程 12 12 12 122 2 xtt ytt ztt ，一般方程21xy。 （8）过平面43152xyzxyz，的交线，且在yz，轴上有相同截距。 【解】交线的标准方程为 59 77 213 xz y ，则交线的方向向量为213， ，过点 59 0 77 ， ，。 由于平面在yz，轴上有相同截距，可设方程经过点 000 0aa， ， ， ，由于三点共面，所以有 2 59 0 77 5 0

38、0000 7 00 aaa a 0 59 0 0 02130 77 ruv ， ， ， ， ，参数方程为 12 1 12 5 2 7 9 3 7 xtt yt ztt ，一般方程9350 xyz。 30在直角坐标系下，求下列平面的方程： （1）过点12 0， ，一个法向量为312， ，； 【解】根据点法式，平面方程为 31220321xyzxyz。 （2）过点 314103， ， ， ，垂直于平面251xyz ； 【解】由于所求平面垂直于平面251xyz ，则平面的一个平行向量为2 51， ，。 几何与代数导引课后习题 0 10321725 1ruv ， ， ， ，平面方程为 12 12 12

39、 122 5 37 xtt ytt ztt 。 （3）与平面62315xyz平行，且这两个平面与点021， ，等距。 【解】 设平面为62315xyzd d ， 由于两平面与点021， ，等距， 故 116 17 77 d d 。 所求平面的方程为62317xyz。 （4）经过z轴，且与平面257xyz交成60角； 【解】由已知，可设平面方程为0axby，法向量为0ab， ，由于两平面交角为60。 故两个法向量的夹角为60或120，即 12 22 211 3 23 10 ab abab ab ，。 故所求平面方程为30 xy或30 xy。 （5）经过点2 03，且垂直于平面247 3521xy

40、zxyz，。 【解】所求平面必定与已知两平面的法向量平行，取 0 2 0312 4352ruv ， ， ， ，。 平面的参数方程为 11 12 12 23 25 342 xtt ytt ztt 。 31在一个仿射标架中，设直线 1 l的一般方程为 70 260 xyz xy ，直线 2 l经过点112p ， ，平行于向 量123v，。试判别它们的位置关系。 【解】直线 1 l的标准方程为 61 123 xyz ，方向向量为123u ， ，过点0 61q， ，。 由于123u ， ，123v，平行，故两条直线平行（不重合） 。 32在仿射标架中，求下列直线的方程： （1）过点2 35 ， ，方向

41、向量为13 4 ， ，； 【解】直线标准方程为 235 134 xyz 。 （2）过点 101123， ， ， ， 【解】方向向量2 24， ，直线标准方程为 11 224 xyz 。 几何与代数导引课后习题 （3）过点101， ，平行于平面320 450 xyzxyz，的交线； 【解】交线的标准方程为 111 xyz ，方向向量为111， ，。所求直线标准方程 11 111 xyz 。 （4）过点119 0， ，与直线 13521 243512 xyzxyz ，都相交； 【解】设所求直线标准方程为 119xyz abc ，由于所求直线与两已知直线都相交，那么有 101251171 24305

42、12068acbc abcabc ， 故所求直线标准方程为 119119 68681 xyzxyz ccc 。 （5）平行于向量8 7 1，与 135107 231541 xyz xyz ，都相交。 【解】设所求直线标准方程为 871 xaybzc ，由于所求直线与两已知直线都相交，那么有 135107 23105410928757 871871 abcabc acbc ， 不妨取10c ，则125ab，则所求直线标准方程为 12510 871 xyz 。 33在仿射标架中，求下列直线的标准方程： （1）平面320 450 xyzxyz，的交线； 【解】 111 xyz （2）平面322 45

43、1xyzxyz，的交线。 【解】 35 77 111 xz y 34在直角坐标系下，求下列直线的方程： （1）过点213， ，与直线 1 12 102 xyz l ：相交且垂直（正交） ； 【解】设直线方程为 213xyz abc ，由于两直线正交，故20ac 。 由于两直线相交，故 111 1020220230abbcabc abc 则 5 2 3 acbc ，故所求直线方程为 213 5 21 3 xyz 。 几何与代数导引课后习题 （2）过点4 23， ，平行于平面320 xyz，垂直于直线 25 10 xyz z ； 【解】设直线方程为 423xyz abc ，直线 25 10 xyz

44、 z 标准方程为 1510 210 xyz 。 由已知条件 320 7 202 7 c a abc abc b ，故直线标准方程为 423 127 xyz 。 （3）从点231， ，引向直线 1 11 211 xyz l ：的垂线。 【解】设直线方程为 231xyz abc ，则直线与已知直线垂直并相交，我们有 121 413 202110 55 abcacbc abc ，故直线标准方程为 231 4135 xyz 。 35在直角坐标系下，求下列点到直线、或点到平面、或两直线之间的距离： （1）原点，直线12 3231xyzt， ， ，； 【解】直线的标准方程为 123 231 xyz ， 222 233112 311223 171 1449 1 d 。 （2）点10 2， ，直线 221 42 xyz xyz ； 【解】直线的标准方程为 1 2 2103 z xy ， 22 233 1001 22 210