动物养殖的数学试验

1、实践教学：动物养殖的数学实验实践教学：动物养殖的数学实验 养殖场养殖一类动物最多 3 年（满三年的将送往市场卖掉） ，按一岁、二岁和三岁将其 分为三个年龄组。一岁组是幼龄组，二岁组和三岁组是有繁殖后代能力的成年组。二岁组平 均一年繁殖 4 个后代， 三岁组平均一年繁殖 3 个后代。 一龄组和二龄组动物能养殖成为下一 年龄组动物的成功率分别为 0.5 和 0.25。 假设刚开始养殖时有三个年龄组的动物各 1000 头， 试计算一年后、二年后、三年后各年龄段动物数量。五年后农场三个年龄段的动物的情况会 怎样？ 如果每年平均向市场供应动物数c=s s sT，考虑每年都必须保持有每一年龄的动 物前提下

2、，c应取多少为好？是否有最佳方案？ 一、问题分析和数学模型 一、问题分析和数学模型 由题设，在初始时刻一岁、二岁、三岁的动物数量分别为： )0( 1 x =1000， )0( 2 x =1000， )0( 3 x =1000 以一年为一时间段，则某时刻三个年龄段的动物数量可用向量 X=x1 x2 x3T 表示。用向量 X(k) = x1(k) x2(k) x3(k)T 表示第k个时间段动物数分布。当k= 0，1，2，3 时，X(k) 分别表示养殖开始时、一年后、 两年后、三年后的动物数量分布。根据二龄组和三龄组动物的繁殖能力，在第k个时间段， 二龄组动物在其年龄段平均繁殖 4 个后代， 三龄组

3、动物在其年龄段平均繁殖 3 个后代。 由此 得第一个年龄组在第k+1个时间段的数量如下 )( 3 )( 2 )1( 1 34 kkk xxx+= + 同理，根据一龄组和二龄组的养殖成功率，可得等式 )( 1 )1( 2 5 . 0 kk xx= + )( 2 )1( 3 25. 0 kk xx= + 建立数学模型如下 = = += + + + )( 2 )1( 3 )( 1 )1( 2 )( 3 )( 2 )1( 1 25 . 0 5 . 0 34 kk kk kkk xx xx xxx (k = 0，1，2，3) （4.1） 或写成矩阵形式 = + + + )( 3 )( 2 )( 1 )1

4、( 3 )1( 2 )1( 1 025. 00 005 . 0 340 k k k k k k x x x x x x (k = 0，1，2，3) （4.2） 由此得向量X(k)和X(k+1)的递推关系式 X(k+1) = LX(k) (4.3) 其中，矩阵 = 025. 00 005 . 0 340 L 称为莱斯利矩阵。由式(3)可得 X(k+1) = L k+1X (0) 二、演示程序二、演示程序 1由初始数据计算一年后、两年后、三年后动物数量，MATLAB 程序如下 x0=1000;1000;1000; L=0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0; x1=L*x0； x2=L*x1；

5、 x3=L*x2； x5=L*L*x3； x1；x2；x3 x5 可得数据结果 ans = 7000 500 250 2750 3500 125 14375 1375 875 ans = 1.0e+004 * 2.9781 0.4063 0.1797 2计算五年内动物数量变化规律 x0=1000;1000;1000; L=0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0; X=x0; x(1)=X(1);y(1)=X(2);z=X(3); for k=2:6 X=L*X; x(k)=X(1);y(k)=X(2);z(k)=X(3); end t=0:5; bar(t,x), figure,bar(t

6、,y) figure,bar(t,z) 下图是三龄组动物数量在五年内发展变化规律。 图 4.1 三龄组动物五年数量变化直方图 3如果每年平均向市场出售动物c=s s sT，分析动物数分布向量变化规律可知 X(1) = AX(0) c X(2) = AX(1) c X(3) = AX(2) c X(4) = AX(3) c X(5) = AX(4) c 所以有 X(5) = A5X(0) (A4 + A3 + A2 + A + I )c 考虑每年都必须保持有每一年龄的动物，应有 X(k) 0 ( k=1，2，3，4，5) 试验程序如下 c=input(input c:=); x0=1000;10

7、00;1000; L=0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0; x1=L*x0-c; x2=L*x1-c; x3=L*x2-c; x4=L*x3-c; x5=L*x4-c; x1;x2;x3;x4;x5 程序运行时输入不同的参数 c，观察数据计算结果。取 c=100 时，能保证每一年龄动物数量 不为零。 【问题 1】昆虫繁殖问题：一种昆虫按年龄分为三个组，第一组为幼虫（不产卵） ，第 二组每个成虫在两周内平均产卵 100 个， 第三组每个成虫在两周内平均产卵 150 个。 假设每 个卵的成活率为 0.09，第一组和第二组的昆虫能顺利进入下一个成虫组的存活率分别为 0.1 和 0.2。设现有

8、三个组的昆虫各 100 只，计算第 2 周、第 4 周、第 6 周后各个周龄的昆虫数 目，并考虑下面问题： （1）以两周为一时间段，分析这种昆虫各周龄组数目演变趋势。写出莱斯利矩阵； （2）如果使用一种除虫剂可以控制昆虫的数目，使得各组昆虫的成活率减半，问这种除虫 剂是否有效？ 【问题 2】出租汽车问题：在仅有两个城市 A 和 B 的岛国上，有一家汽车出租公司， 该公司只有两个营业部。其中一个设在城市 A，另一个设在城市 B。每天，A 城营业部可出 租汽车的 10%被顾客租用驾驶到 B 城，而 B 城营业部可出租汽车的 12%被顾客驾驶到了 A 城。通常情况下，公司每周做一次整体调整，周日 A 城营业部出租汽车数量为 120 辆，而 B 城营业部汽车数为 150 辆， 一周以后两个营业部汽车数量再次调整恢复。 试建立第 k 天和第 k+1 天两个城市汽车数量变化规律的数学模型并进行计算机模拟。 如果你对周日两营业部的 汽车数量分配方案提出合理化建议，该公司将会乐意接受。 【问题 3】顾客流动问题：在城市的某商业区街口，两家有名的快餐店“肯德基”分 店和“麦当劳”分店在竞争中发展。据统计每年“肯德基”保有其上一年老顾客的 1/3，而 另外的 2/3 顾客转移到“麦当劳” ；每年“麦当劳”保有其上一年的老顾客的 1/2，而另外的 1/