华南理工大学数学实验实验六

1、1 实验六 线性相关性 地地 点：点： 计算中心 202 房； 实验台号：实验台号： 03 实验日期与时间：实验日期与时间： 2018 年 5 月 23 日 评评 分：分： 预习检查纪录：预习检查纪录： 实验教师：实验教师： 刘小兰 电子文档存放位置：电子文档存放位置： 电子文档文件名：电子文档文件名： 信息工程 4 班-03-陈邦栋实验六.doc 批改意见：批改意见： 1 实验目的实验目的 - 理解向量、向量组的线性组合与线性表示、向量组的线性相关与无关、最 大线性无关组的概念。 - 掌握向量组线性相关和无关的有关性质及判别法。 - 掌握向量组的最大线性无关组和秩的性质和求法。 - 通过调味

2、品配制问题理解上述知识在实际中的应用。 2 问题问题描述描述 某中药厂用 9 种中草药 A-I，根据不同的比例配制成了 7 种特效药，各用量 成分见表 1（单位：克）。 试解答： （1）某医院要购买这 7 种特效药，但药厂的第 3 号药和第 6 号药已经卖完， 请问能否用其他特效药配制出这两种脱销的药品。 （2）现在该医院想用这 7 种草药配制三种新的特效药，表 2 给出了 3 种新 的特效药的成分，请问能否配制？如何配制？ 2 表 1 7 种特效药的成分 中药中药 1 号成号成 药药 2 号成号成 药药 3 号成号成 药药 4 号成号成 药药 5 号成号成 药药 6 号成号成 药药 7 号成

3、号成 药药 A 10 2 14 12 20 38 100 B 12 0 12 25 35 60 55 C 5 3 11 0 5 14 0 D 7 9 25 5 15 47 35 E 0 1 2 25 5 33 6 F 25 5 35 5 35 55 50 G 9 4 17 25 2 39 25 H 6 5 16 10 10 35 10 I 8 2 12 0 2 6 20 表 2 3 种新特效药的成分 中药中药 1 号新药号新药 2 号新药号新药 3 号新药号新药 A 40 162 88 B 62 141 67 C 14 27 8 D 44 102 51 E 53 60 7 F 50 155 8

4、0 G 71 118 38 H 41 68 21 I 14 52 30 3 2.1. 实验原理实验原理 1、线性相关和线性无关、线性相关和线性无关 线性组合:如果有数域 F 中的数 12 ,., s k kk ,使得 1122 =+.+ ss kkk ,称向量 为向量组 12 ,., s 的一个线性组合， 或说可以由向量组 12 ,., s 线性表 示。 线性相关性:对s个n维向量 12 ,., s ， 若存在一组不全为零的数 12 ,., s k kk , 使得 1122 +.+=0 ss kkk ，则称向量组 12 ,., s 线性相关;否则称向量组线性 无关，即不存在不全为零的数 12

5、,., s k kk ，使得 1122 +.+=0 ss kkk 成立。 2、最大线性无关组、最大线性无关组 给定一组向量 12 ,., s ,称具有如下两条性质的部分向量组 12 ,., r iii 为 12 ,., s 的最大线性无关组: (1) 12 ,., r iii 线性无关; (2) 12 ,., s 中的每 个向量都可由 12 ,., r iii 线性表示。最大线性无关组所含向量的个数 r 等于给 定向量组的秩。可以利用行初等变换，将以向量组的每个向量为列形成的矩阵化 为行最简形，最后所得矩阵之非零列的序号就是最大线性无关组内向量的序号。 3、rref 命令命令 MATLAB 将

6、矩阵化成行最简形的命令是 rref。函数 rref 格式： R = rref(A) R,jb = rref(A) %jb 是一个向量，其含义为：r = length(jb)为 A 的秩；A(:, jb)为 A 的列向量 基；jb 中元素表示基向量所在的列。 R,jb = rref(A,tol) %tol 为指定的精度 4、线性方程组的求解命令线性方程组的求解命令 在 MATLAB 中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符 “/”和“”。如： X=AB 表示求矩阵方程 AXB 的解； XB/A 表示矩阵方程 XA=B 的解。 2.2. 算法算法、编程编程与结果分析与结果分析 4 第

7、（第（1）小题）小题 【算法算法】 把每一种特效药含有的成分看成一个 9 维的列向量： 1234567 ,a a a a a a a ， 分析这 7 个列向量构成的向量组的线性相关性。在本题中，实质上是要找出 1234567 ,a a a a a a a 一个最大线性无关组。令 17 = ,.,Aaa ，对 A 作初等行变换， 将其化为最简式。 【代码代码】 ： close all; %关闭已经打开的所有图片 clear,clc; %清空工作区和命令行窗口 a1 = 10 12 5 7 0 25 9 6 8; %逆矩阵 a2 = 2 0 3 9 1 5 4 5 2; a3 = 14 12 11

8、 25 2 35 17 16 12; a4 = 12 25 0 5 25 5 25 10 0; a5 = 20 35 5 15 5 35 2 10 2; a6 = 38 60 14 47 33 55 39 35 6; a7 = 100 55 0 35 6 50 25 10 20;%7 种特效药各自形成 7 个 9 维列向量 A = a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7; %向量组 A0, jb = rref(A) %A 的行最简形和一组最大线性无关组 r = length(jb) %A 的秩 A1=a1 a2 a4 a5 a6 a7; %第一组最大线性无关组 A2=a1 a3 a4 a5

9、a6 a7; %第二组最大线性无关组 x11=A1a3 %第一组最大线性无关组对应 3 号成药 x12=A2a3 %第二组最大线性无关组对应 3 号成药 x21=A1a6 %第一组最大线性无关组对应 6 号成药 x22=A2a6 %第二组最大线性无关组对应 6 号成药 【结果结果】 ： 图 1 第一小题矩阵 A 的初等行变换 5 图 2 第一小题的四种系数 即矩阵 A 的初等行变换如下所示： 10 2 14 12 20 38 100 12 0 12 25 35 60 55 5 3 11 0 5 14 0 7 9 25 5 15 47 35 0 1 2 25 5 33 6A= 1 0 25 5

10、35 5 35 55 50 9 4 17 25 2 39 25 6 5 16 10 10 35 10 8 2 12 0 2 6 20 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 【结果分析】【结果分析】 ： 从运行结果可以看出， 向量组的秩为 6， 有 2 个线性无关组：1 24567 ,a a a a a a 和 134567 ,a a a a a a 。我们分别使用这两组最大线性无关组来表示

11、3 号成药和 6 号成药，其线性表示的系数分别如图 2 所示，从结果可以看出，当我们使用的最 大线性无关组是 124567 ,a a a a a a 的时候，3 号成药可以被其他成药线性表示，其 线性表示的结果为： 3124567 20000aaaaaaa=+ 从表达式可以看出，3 号成药可以被 1 号和 2 号成药线性表示，不需要用到脱销 的两种成药。 当我们使用另外一组最大线性无关组时， 则无法线性表示 3 号成药。 而从运行结果可以看出，无论我们使用哪种最大线性无关组，都不能将 6 号成药 用其他已经有的成药来线性表示。 因此，该小题的结论为：可以使用其他特效药配制出 3 号成药，但是不

12、能使 用其他特效药配制出 6 号成药。 6 第（第（2）小题）小题 【算法】【算法】 ： 将这三种新特效药看成三个 9 维的列向量 123 ,b b b ，与原来有的其中特效药 组成向量组并进行初等行变换， 将三种新特效药用其他其中已经有的特效药对应 的向量组线性表示出来，并使得线性表示的系数是正的。即可以将问题转化为： 123 ,b b b 能否由 1234567 ,a a a a a a a 线性表示。将 112345671 = ,|Ba a a a a a ab ， 212345672 = ,|Ba a a a a a ab ， 312345673 = ,|Ba a a a a a ab

13、 化为行最简式。 【代码代码】 ： b1 = 40 62 14 44 53 50 71 41 14; b2 = 162 141 27 102 60 155 118 68 52; b3 = 88 67 8 51 7 80 38 21 30; B1 = a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 b1 B2 = a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 b2 B3 = a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 b3 B01, jb1 = rref(B1) %B1 的行最简形和一组最大线性无关组 r1 = length(jb1) %B1 的秩 B02, jb2 = rref(B2) %B2 的行最简形

14、和一组最大线性无关组 r2 = length(jb2) %B2 的秩 B03, jb3 = rref(B3) %B3 的行最简形和一组最大线性无关组 r2 = length(jb2) %B3 的秩 【结果结果】 ：】 ： 7 图 3 矩阵 1 B， 2 B， 3 B的初等行变换 即矩阵 1 B， 2 B， 3 B的初等行变换如下所示： 1 10 2 14 12 20 38 100 40 12 0 12 25 35 60 55 62 5 3 11 0 5 14 0 14 7 9 25 5 15 47 35 44 0 1 2B = 25 5 33 6 53 25 5 35 5 35 55 50 5

15、0 9 4 17 25 2 39 25 71 6 5 16 10 10 35 10 41 8 2 12 0 2 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 2 0 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 6 20 14 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 10 2 14 12 20 38 100 162 12 0 12 25 35 60 55 141 5 3 11 0 5 14 0 27 7 9 25 5 15 47 35 102

16、0 1 2B = 25 5 33 6 60 25 5 35 5 35 55 50 155 9 4 17 25 2 39 25 118 6 5 16 10 10 35 10 68 8 2 12 0 2 1 0 1 0 0 0 0 3 0 1 2 0 0 0 0 4 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 6 20 52 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 3 10 2 14 12 20 38 100 88 12 0 12 25 35 60 55

17、67 5 3 11 0 5 14 0 8 7 9 25 5 15 47 35 51 0 1 2 B = 25 5 33 6 7 25 5 35 5 35 55 50 80 9 4 17 25 2 39 25 38 6 5 16 10 10 35 10 21 8 2 12 0 2 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 6 20 30 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 【结果结果分析】

18、 ：分析】 ： 1 号新药号新药 由于 123456712345671 ( ,)6( ,|)rank a a a a a a arank a a a a a a ab=，对于 矩阵 A， 有两个最大线性无关组， 从而得到线性方程组 1245671 ,a a a a a a xb=和 线性方程组 1345671 ,a a a a a a xb=。 下面由 MATLAB 来求出他们对应的系数 x。 代码代码： A1 = a1 a2 a4 a5 a6 a7; A2 = a1 a3 a4 a5 a6 a7; x11 = A1b1 %第一种最大线性无关组的系数 x12 = A2b1 %第二种最大线性无关组的系数 结果结果： 图 4 线性表示 1 号新药的系数 对于第一种最大线性无关组，其线性表达的系数都是正数，故 1 号新药可以 表示为： 1124567 32000baaaaaa=+，而对于第二种最大线性无关组，其线 性表达的系数中含有负数， 因此不能使用第二种最大线性无关组来表示1 号新药。 2 号新药号新药 9 由于 123456712345672 ( ,)6( ,|)rank a a a a a a arank a a a a a a ab=，对于 矩阵 A， 有两个最大线性无关组， 从而得到线性方程组 1245672 ,a a a a a a xb=和