同济大学高等数学下册期末试卷及解答6

1、 1 综合练习 一.填空题 1.函数,fx y的偏导数, x fx y和, y fx y在区域D内连续,是,fx y在 D内可微的_条件;此时对于非零向量,la b ,有_ f l . 解.充分条件; 2222 , grad, xy lxy afbfa b f f eff l abab . 2.设0,0 ,1,0 ,0,1ABC,则 2 arctan_ 1 L y dxxx dy x ,其中 L为三角形ABC的正向边界. 解. 1 1 2 LDD QP PdxQdydxdydxdy xy . 3.设曲面 33 1: 3 xy z , 22 2: 2 xy z , 22 3: 2 x y z,它

2、们在xOy面上的 投影区域均为 22 1xy ,则它们的面积 123 ,S SS 的大小关系为_. 解. 2222 2244 1 11 11 xy xyxy Szz dxdyxy dxdy , 2222 2222 2 11 11 xy xyxy Szz dxdyxy dxdy , 2222 222442 3 11 11 xy xyxy Szz dxdyx yx y dxdy ,故 312 SSS. 4.幂级数 1 1 1 2 n n n x n 的收敛区间是_. 解. 1 1 1 1 21 limlim2 1 2 2 n n nn n n na R a n ,即1231xx . 2 5.设 2

3、2 :1216Lxy,则 22 24_ L xyxy ds . 解. 22 1251111 2488 LLL xydsds . 二.设 f u的导函数连续,且 111f f ,令lnzfxyxy,其中 yy x是方程0 xy exy确定的隐函数,求 0 x dz dx . 解. 1 fxydzdydy yx dxf xydxdx ,而0 x 时1y ,又 0 1 102 1 xy xy xy x dydydyyedy eyx dxdxdxxedx ,故 0 1 12102 1 x fdz dxf . 三.设 222 22 2320 xyz zxy ,求, dy dz dx dx . 解. 24

4、6023 2222 dydzdydz xyzyzx dxdxdxdx dzdydydz xyyx dxdxdxdx ,解得 2316 22321 3 xxzxzdy dxyyzyz , 2 3131 xxdzx dxzz . 四.求 22 Iz xydV ,其中 222 :1xyz . 解. 2 222 1121 222 0000 1 22 6 z xyz Idzz xydxdydzdzd ; 222 22 11 21 222 0000 1 22 6 xy xy Idxdyz xydzddzd ; 3 或者, sincos sinsin cos xr yr zr , 21 2 222 000

5、2sincossin 6 Iddrrr dr . 五.设 2222 :33zxyxy,面密度为,求对z轴的转动惯量. 解. 22 222222 3 1 zxy xy IxydSxyzz dxdy 22 23 222 00 3 1 329 xy xydxdydd . 六.求 22 221 2Ixxy dydzyyz dzdxxy dxdy ,其中为 22 4zxy,取上侧. 解.取 1 22 0 : 4 z xy 下侧,则 11 22Ixz dv 2222222 2 0 444 1 22124 xyxyxyz xy dxdyzdvdxdydzzdxdy 2 2 0 244844zzdz . 七.

6、设0,讨论级数 1 1 1 11 cos n n n 的收敛性. 解. 2 2 1111 1 cos 22nnn ,故 1 2 时,级数绝对收敛; 注意到 1 1 cos n 单调减少趋向于零,故 1 0 2 时,级数条件收敛. 八 A.设向下凸的曲线L经过0,1,且在该点有水平的切线,L上任意, x y 处的曲率半径等于该点到x轴距离的平方,求L的方程. 4 解.设 :L yy x,则 32 2 2 1 1 y y y ,注意到曲线下凸,故0y ,于是 3 2 2 2 1 1yy y ,令 dy p dx ,则 dpdxy y dydyp ,代入方程,得 3 2 2 322 2 2 1 1

7、1 dppdpdy pp dyyy p ,解得 1 2 2 1 1pC y ,代入0 x , 1,0yp y ,得0C ,故 222 2 11 1 dydy pyydx dx y , 解得 2 ln1yyCx ,代入0,1xy,得0C ,因此 2 22 1 2 xx x ee yyey ,由于0,1xy,故 2 xx ee y . 八 B.求 21 : 221 xyz L 绕x轴旋转而成的旋转面的方程,并求该旋转面 在0, 2,1M处的切平面方程. 解.设旋转面为,则, ,x y z,必有一点 000 ,N xyzL,使,M N 位于同一个旋转圆上,于是 0 xx, 2222 00 yzyz,利用 0 000 0 2 21 1