哈密顿算符的运算规则

1、哈密顿算符的运算规则 厦门大学物理系李明哲 【摘要 本文从哈密顿算符的定义出发，根据哈密顿算符的性质给| _ 哈离顿算符完整、统的运算规划，以克服现有物理教 剩书中该算符运算规则升；致的缺点，进而帮助学习者更好地掌握该算符。 【关键词】晗密顿算符运算规则场论 物理学中处理“场”的问题时，熟练 掌握哈鬻顿算符非常关键。例如。本科 电动力学整门谋程在菜种程度上可以 说就是利用哈密顿算符的性质处理壹克 斯市方程组的。该课程被物理系的本科 生视为最难的谋私之。，实质原幽在于 对晗密顿算符的运算掌握a i 好。所以， 在正式学习该课程之前，总是需要先温 习这部分知识。 然而，些常用教科书( 例如电动 力

2、学) 在舟绍哈密顿算符的运算规则 时并没有给出宠籀、统一、清晰的规则， 导致读肴不耪理解和掌握；而另外一然 教科书( 例如经典电动力学“) 则直接 将其列为公式，并未给山证明，读者遇到 列出的公式之外的运算就无法进行，当 然也就无法真正掌握。 本文希望能克服这一不足之处，从 哈密顿算符豹定义出发，分析暗密顿算 符的两个报本性质，并由此给出一套哈 密顿算符的完整、统的运算规则。 一、哈密顿算符的定义 哈密顿算符定义为： 甲= 磋+ 瑶+ 礓W 由上图可以看出算符同时具有失罱 性和微分性两个根本性质，所以在其运 算过程中要同时j 主意这两方面的性质。 由该定义，场的梯度、教度和旋度可以分 别理解为

3、算符V 直接作用、点乘和义乘 该场。 二、哈密顿算符的运算规则 根姑前商晗密顿算符的定义和性质 的分析，哈密顿算符的运算规则为： 步骤1 根据口的微分性写成几项， 在V 的下标标明算符V 作用于哪个函 数上。 步骤2 将甲看成个矢量，利用失 9 0 量和标量的性质重新排列，使得 甲叫纠。【即舻+ l 纠 ( 4 1 ) 墨繁慕嚣翌霈善v ：嗽7 + 四回 面。排列时注意汛注意各符号 7 够2 V 掣；歹+ 掣V j q 纠 荽嚣差耋篁嚣兰嚣置。和 ，。书曲。刊v 。刁 X 的位置；b 注意正负号。 惮，一t ，“，1 “o ， 叫 ：凳耋耋耋0 等萝二墓 v 西司：i 婶x 7 卜7p 函 )

4、 三个运算步骤充分体现了哈密 叫。、叫。 篓苎篓竺翌0 警烹性质以下举F 西裔：善形( V 疆+ p 裔再旷v 蓐( 45 ) 例示范这三个步骤： “”、。 步骤1 类似于做微分运算。例如： V 啦曲= 口，缸+ 已 ( 2 1 ) v 却，+ v ( 2 2 ) v x = F ，x + L o 3 ) V 晒= V ，嘲+ v ，黼儡4 ) 9 x B 西= Dx | 7 硝+ V 。西让5 ) 步骤2 常用的矢量性质有： 于将看成个矢量，然后还需注意正在 处理的是矢量和标量的点乘( 标秘) 和叉 乘( 矢积) 等逛算。它是有别于数乘的。掌 握了匕述哈密顿算符的运葬规则，对物 理学中场的问

5、题的处理就能够得心应手 了。 于喜= g ，x g = 一g x ， 7E x 茅) = ；F 动= F 动，A 管习：矿疆一萨蕊例如： V ，扣囝十V ，( f 计= 妒+ “0 o1 ) 甲，翰+ o = 帆丸妒，回 ( 3 2 ) ox + 巧x = 盹办丸毋，另0 x 够j + 巧x = R 咖，十心，力 ( 3 筇 LV x 鲫+ 可lp g ) = gP ，x ，J 一，甲l x 酣 ( 3 4 ) _ ，* ， h _ V ，x 扩。g ) + V j x 矿。g j = 培，V ，弦一p ，j ，) g + 审，g 驴一VV ，量 ( 35 ) 步骤3 壤简单，抹玉的下标即可-

6、 所 参考文献 以，由( 2 1 ) ( 2 5 ) 和( 3 1 ) 一( 3 5 ) 得【1 郭硕鸿电动力学【M 】北京：高 总结；由以L 哈密顿V 算符的运算等教育出版社1 9 9 7 规则的三个步骤可以看出，第二二步垠容【2 蘩圣善，束耘经典电动力学【M 】， 崭出错。在做这一步运算时茸先要习惯t 海：复旦夫学出版社，1 9 8 5 万方数据 哈密顿算符的运算规则哈密顿算符的运算规则 作者：李明哲 作者单位：厦门大学物理系 刊名： 成功（教育版） 英文刊名：SUCCESS 年，卷(期)：2007，(4) 被引用次数：0次 参考文献(2条)参考文献(2条) 1.郭硕鸿 电动力学 1997 2.蔡圣善.朱耘