lecture 13)数值积分.ppt

1、,数 值 积 分,第 七 章,数值求积的必要性,对于积分,但是在工程技术和科学研究中，常会见到以下现象：,以上这些现象， Newton-Leibniz 公式很难发挥作用，只能建立积分的近似计算方法。,在微积分中，定积分是 Riemann 和的极限，即,数值积分就是取定积分极限中的有限项的和，即,其中，xi 称为积分节点,i 称为积分系数。,我们的任务就是确定积分系数i ,使 I f In f .,最常用的方法就是用插值多项式近似代替被积函数 f (x) 来确定i.,利用插值多项式来构造数值求积公式具体步骤如下：,不同的 插值多项式有不同的基函数,插值型数值积分,得数值积分公式：,截断误差为：,

2、求积公式的代数精度,例1,试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.,解,因此,所以该积分公式具有3次代数精确度。,一、Newton-Cotes 求积公式,Newton-Cotes 求积公式是指等距节点下使用 Lagrange 插值多项式建立的数值求积公式。,各节点为：,n 阶Newton-Cotes 求积公式,表 6.2.1 Cotes系数 (n =1,2,8),下面列出两个低阶Newton-Cotes公式及其余项,Cotes系数为：,求积公式为：,称为梯形求积公式（或两点公式）,梯形求积公式及其余项,积分中值定理： 连续、 可积不变号,故,梯形公式的余项为：,几何意义：,直边梯形代替

3、曲边梯形,如果被积函数分别用 f (a), f (b)和 f (a+b)/2)来代替，可分别得到左矩形、右矩形和中心矩形积分公式：,Cotes系数为：,求积公式为：,抛物线（Simpson）求积公式及其余项,上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式,即,几何意义：,Simpson公式的余项为：,考察Cotes系数,因此用Newton-Cotes公式计算积分的舍入误差主要由,Newton-Cotes公式的稳定性,记,而理论值为,即,Newton-Cotes公式的舍入误差只是函数值误差的,此时,公式的稳定性将无法保证,因此，在实际应用中一般不使用高阶Newton-Cotes公式，而

4、是采用低阶复合求积法。,二、复化梯形和复化 Simpson 求积公式,低阶的Newton-Cotes求积公式一般不能满足精度要求。为了提高计算精度，通常把积分区间等分成若干个子区间，在每个子区间上用低阶的求积公式（如梯形求积公式、Simpson求积公式），再对所有的子区间求和即得整个区间 a, b 上的积分公式，这种方法称为复化求积法。,复化求积法,复化梯形求积公式,将 a, b 分成 n 个小区间，在每个区间 上用梯形求积公式，再将 n 个小区间上的数值积分累加起来，就得到区间a, b上的数值积分。这种方法称为复化梯形积分。,根据梯形求积公式，有,复化梯形公式分解,将 n 个小区间上的积分累

5、加起来，得,复化梯形求积公式,截断误差为：,收敛性：,复化Simpson求积公式,将 a, b 分成 2n 个小区间，在每两个相邻小区间 上用Simpson求积公式，再将这些小区间上的数值积分累加起来，就得到区间a, b上的数值积分。这种方法称为复化Simpson积分。,根据Simpson求积公式，有,复合Simpson公式分解,系数首尾为1，奇数点为4，偶数点为2,将 2n 个小区间上的积分累加起来，得,复化Simpson求积公式,截断误差为：,收敛性：,例 计算,解,= 3.138988494,其中,= 3.141592502,其中,例 计算 使计算结果有5位有效数字。 分别用复化梯形和复

6、化Simpson求积公式，求分点数。,解,由复化梯形求积公式得：,由复化Simpson求积公式得：,三、变步长求积公式,先由误差公式确定满足精度要求的步长，再用求积公式求解，这种求积方法称为定步长求积法。,然而，在实际问题中，函数的导数往往难以估计。因此，定步长求积法往往不实用。这时，可采用逐步缩小步长的办法，直至两次相邻的计算结果满足一定的精度为止，这种积分方法称为变步长积分法。,为使缩小步长之前数值积分公式的节点仍为缩小步长之后数值积分公式的节点，一般采用逐步减半的方式。,变步长梯形求积公式,即,近似有：,变步长Simpson求积公式,同理：,对于同样多的节点，复化 Simpson 求积公式的精度比复化梯形求积公式的要高得多!,四、自适应求积方法,函数变化有急有缓，为了照顾变化剧烈部分的误差，我们需要加密节点。对于变化缓慢的部分，加密节点会造成计算的浪费。,因此，在