常微分方程第三版答案(王高雄)

1、?两 两 两 两 微小常两 常小 xy dx dy 2= 妨?x次已妨y次常 ?小两 两两两两两两两?两 ? ? e ex x yc yx x cycyxdxdy y 2 2 , 1 1, 0,ln,2 12 = =+= , 0) 1(. 2 2 =+dyxdx y ?x次已妨y次常 ?小两 ?两 ? ? ? x y cyxy xc yc y xydydx x y + = = + =+=+= + 1ln1 1 , 11, 00 1ln 1 , 1 1ln0, 1 1 1 2 恰两两两 yxy dx dy x y 3 2 1 + + = 两 两两?两 xxy xx y x y xy y x y

2、c cccx dx x dy y y x ydx dy 22 2 22 2 2 2 32 2 3 2 )1 (1 )1)(1 (),0(ln1ln 2 1 ln1ln 2 1 1 1 , 0 1 1 1 =+ =+=+ + = + + + = + ? ? ? . 0; 0;ln ,ln,lnln 0 11 000 0)1 ()1 (4 = =+=+ = = + = =+ xycyxxy cyxxycyyxx dy y y dx x x xyxy xdyyydxx ? ? ? ? 10 ln1 ln ln1 ln1 , 0ln 0)ln(ln:9 3 1 :8 .coslnsinln 07 ln

3、sgnarcsin lnsgnarcsin 1 sgn 1 1 , )1( , 6 ln)1ln( 2 1 1 1 1 , 1 1 , 0)()(:5 3 3 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 c dxdy dx dy x y cy ud u u dx xx y u dx x y dy x y ydxdyyxx cdy y y y y dx dy cxy tgxdxctgydy ctgxdytgydx cxx x y cxxu dx x xdu xdx du dx du xu dx dy uxyu x y y dx dy x cxarctgu dx x du u u u dx du x

4、u dx du xu dx dy uxyu x y xy xy dx dy dxxydyxy ee ee e e e e xy u ux y x u u xy xy yx x x += = = += + = = = += = += = = = += += = = += += +=+ = + + + + =+ += + = =+ + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 两两 cxyxarctg cxarctgtdxdt dx dt dx dt dx dy tyx dx dy c dxdy dx dy t t yx ee ee e xy xy yx +=+

5、+= + += +=+ = += = = + )( , 1 1 1 1 1, .11 2 2 2 )( ? ? ? ? ? ? 两 常微? 2 )( 1 yxdx dy + = 两 ? cxyxarctgyx cxarctgttdxdt t t tdx dt dx dt dx dy tyx +=+ += + +=+ )( 1 1 1 1 2 2 2 ? ? ? ? ? ? U U dX dU XU X Y YX YX dX dY YyXx yxyxyx yx yx dx dy U 21 222 2 2 , 3 1 , 3 1 3 1 , 3 1 ; 012, 012 12 12 .13 2 +

6、 = =+= =+= + = 两 .7)5(7 2 1 77 2 1 7)7(, 7 1 ,1,5 2 5 ,14 ) 5( 2 2 cxyx cxt dxdtt t t dx dt dx dt dx dy tyx yx yx dx dy yx t +=+ += = = + = + ? ? ? ? 两 常把? 18) 14() 1( 22 +=xyyx dx dy 两 ? ? ? ? cxyxarctgdxdu u u dx du dx du dx dy xuyx yxxyyyxx dx dy +=+= + +=+=+ +=+= 6) 3 8 3 2 3 2 ( 94 1 4 9 4 1 41

7、41 2) 14(18181612 2 2 222 常提? 225 26 2 2 yxxy xy dx dy + = 两 ? ?uy xxy xy dx dy xxyy xy dx dy = + = + = 3 23 2233 232 223 2 2)(3 2( 2)( 两 12 6 3 2 63 2 2 2 22 + = + = x u x u xxu xu dx du 两? cxxyxy cxyxycxxyxy cxzzdx x dz dzz z zz xyxyzzzz z zz dx dz x dx dz xz z z dx dz xz dx du z x u 153373 335337

8、3 537 2 2 332 22 )2()3( 023)2()3 ,) 2() 3 112 06 2312306 ) 1.(. 12 6 12 63 =+ =+ =+= + = + =+= + += ? ? ? ? ? 两 常摩小两 yyyx xxyx dx dy + + = 32 3 23 32 两 ? 123 132 ; ; ; ; ; ) 123( ) 132( 22 22 2 2 22 22 + + = + + = yx yx dx dy yxy yxx dx dy 两 两? ) 1.( 123 132 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; , 22 + + = uv uv dv

9、 du vxuy? 两 ? ?1111 0123 0132 += =+ =+ uYvZ uv uv 两 ? + + = =+ =+ z y z y dz dy yz yz 23 32 1 023 032 ? 两 ? )2.(. 23 22 23 32 2 ? t t dz dt z t t dz dt zt dz dt zt dz dy z y t + = + + =+= 两 ? ? 22222 2)2(1022xyxytt= ? cxyxydz z dt t t t 52222 2 2 )2( 1 22 23 022+=+= + ? 两 ?两 cxyxyxyxy 522222222 )2(2

10、+=+=? 两两 ? ? ? ? c yx x y dx x du u u u u x u u u u x yx yx dx dy y x xdydxyxy uxyxyf dx dy y x += =+ + = = + = + = + = + += += +=+= += = =+= + = =+ = 4 ln 1 4 2 2 41 ) 2 2 ( 1 dx du uxy(2) 0.x,c 2 ? ?0y,c 2 ?,c 2 ? dx x 1 2u du ?),(2u x 1 dx du ?u,xy? 1 dx dy y x ?0sxy?0y?0 x?:(1)? ? u)(uf(u) x 1 1

11、)(f(u) x u 1)y(f(u)dx du f(u),1 dx du y 1 ? y dx du dx dy x?, dx dy dx dy xy?x?u,xy? 2 2 ).2( )1 (.1 )(18. 222 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 3 3 2 2 22 22 22 x y x y x y x y x u u u u y x 两 两 常最小两? ?(x固 = x xfxdtxf 0 )(, 0, 1)(? 小两 ? ?(x固次y妨两? = x y dtxf 0 1 )( 两? 1 2 y y y= 两 cx y y cx dyy dx dx dy y

12、+ =+= 2 1 ; ; ; ; ; 1 2 1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 23 3 ? ? cx y + = 2 1 = x y dtxf 0 1 )( 两 x yccxccxcxdt ct x 2 1 , 02)2(; ; ; ; ; ; ; ; ; ;2 2 1 0 =+=+= + ? 两 两 微已小?两两x(t增s固次 )()(1 )()( sxtx sxtx + ? x(t固妨? x(已固?两 ? t次s次已两两两x(已固次 )0(1 )0()0( x xx + 次 )0()0(1 )0(2 xx x 两? x(已固

13、已两? x 2 次?常 ?两 ? x(已固次已小两x(t固次 )(1)(0( )()(1 )(1)( lim )()( lim 2 2 txx txtxt txtx t txttx += + = + 固两 )(1)(0( )( 2 txx dt tdx += 两两两两 dtx tx tdx )0( )(1 )( 2 = + 两两? ar那t钟两 x(t固次x(已固t增那两两? x(t固次t钟表x(已固t增那?两? t次已 ?两两x(已固次已两两? 那次已两?两 x(t固次t钟表x(已固t?两 ? 微小微两 ?两 常?dx dy 次 xysin+ 两 ?两两y次?两 dx ( xsin ? dx

14、 cdx + 固两 次? x 表?2 1 ? x ( xxcossin+ 固增那?两 次那两? x ?2 1 两( xxcossin+ 固?两 微?dt dx 增恰x次? t2 两 ?dt dx 次?恰x增? t2 两 ?x次? dt 3 两(? t2 两? dt 3 cdt + 固两两两两两两 两两两两两两两次? t3 两(5 1 ? t5 增那固两 两两两两两两两次那两? t3 增5 1 ? t2 两两?两 恰?dt ds 次?s tcos 增2 1 t 2sin 两 ?s次? tdtcos ( t 2sin 2 1 ? dt dt 3 c+ 两固两 次? tsin ( +cdttet t

15、sin cossin 固两 次两? tsin ( cete tt + sinsin sin 固两 次 1sin sin + tce t 两两两?两 或?dx dy nxx ey n x = 两两?两两两? ?小两 ?dx dy nxx ey n x += 两 两两两两两两两两两两两两两两两两两两 )(cdxexeey dx x n nx dx x n + = 两 两两两两两两两两两两两两两两两两两两两 )(cex xn += 两两?小两 两 把?dx dy 增 1 21 2 y x x 次0两 ?dx dy 次? 1 21 2 + y x x 两 两两两两两两两两两两两两两两两两两两 = dx

16、 x x ey 2 12 ( cdxe dx x x + 2 21 固两 ) 2 1 (ln 2+ = x e )( 1 ln 2 + cdxe x x 两 次 )1 ( 1 2 x cex+ 两两?小两 提?两dx dy 2 34 xy xx + = 两 ?dx dy 2 34 xy xx + = 两 两两两两两两两次 2 3 y x 增x y 两 ?x y u= 两两两?两 uxy = 两两两dx dy 次u dx du x+ 两 ? dx du xu + 次 2 u x 两 两两两两两两两两两两 2 1 udx du = 两 两两两两两两两两两两 dxduu= 2 两 两两两两两两两两两

17、两 cxu+= 3 3 1 两 两两两两两两两两两两 cxxu+=3 3 两两两?域?两 两两?x y u= ?两两?域?两两两? 343 3cxxy= ?小两 3 3 3 2 ( ) 2 1 ( ) 2 2 7.(1) 1 2 (1) 1 2 ( ),( )(1) 1 (1) ( ) 1 (1) dx P x dx x P x dx dyy x dxx dyy x dxx P xQ xx x eex eQ x dxc x + =+ + =+ + =+ + =+ + + P(x固里x 微恰 微 ? ? 两两两两两两两两两两两两两y次? 两两两两两两两两两两两两两两次(x增常固(域(x增常固里x

18、增那固 两两两两两两两两两两两两两两次(x增常固( (x增 2 3 2 2 1 (1) () 2 1 1 ,( ) ( ) dy y x c dyy dxxy dx xy dyyy Q yy y ey Q y dyc + + + =+ = = + 微 微或 恰 P(y固里y P(y固里yP(y固里y 常固里x增那固两两两两两两 两两两两两两两两两两两两两两次(x增常固 两两?微y次那(x增常固 增(x增常固? 两族小两次 x增y ? ?P(y固次 两两两两两? ? 两两两两两两两两两两两两两x次? 两两两两两 2 3 3 1 *) 2 2 y dyc y y cy y + + 两两两两两两两两

19、两次y( 两两两两两两两两两两两两两两次 ?两x次两增那y?两?y次已? 两 ( ) ( )( ) 1 9., 1 ),( ) ( ) 0 1 adx P x dx a x P x dxP x dx a a dyayx a dxxx ax P xQ x xx eex eeQ x dxc a a + =+ + = = + = = ? ? ?两y次 常 x增常 两两两两两两两两两两两两两两两两次x (里x增那固两两 xx 两两两两两两两?两? 两两两两两两两两两两两两两两两两两两y次x增首?局x局增那两两两两两两 两两两两两两两?两? 01a aa a ? 两两两两两两两两两两两两两两两两两两y次

20、那x增x首?局x局?常 两两两两两两两?两? ? x常 两两两两两两两两两两两两两两两两两两y次那x 增?两 常? 两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两 两两两两两 两 3 3 3 1 ( ) ( )( ) 3 10. 1 1 ( ),( ) 1 ( ) (*) dx P x dx x P x dxP x dx dy xyx dx dy yx dxx P xQ xx x ee x eeQ x dxc x x dxc c x c x += = + = = = + + + + 恰 恰 ? ?两 两两两两两两两两两两两两y次 常 两两两两两两两两两两两两两次 x x 两两两两两两两两两两两两两次

21、 或 x ?y次 或 两 ( ) ( )( ) 2 2 33 33 23 3 23 2 3 3 2 3 11. 2() 2() ( )2 ,( )2 ( ) ( 2) p xxdx x p xp x x dy xyx y dx xyx y dx xyx y dx xyx dx yz dz xzx dx P xx Q xx edxee edxedxQ x dxc ex += = + = + = + = = + = = + 微 恰 ?微 x 里y ? ?y 里y 里y ? ? 两两两两两两两两两两两两z次两 两两两两两两两两两两两两两次? 2 2 2 ) 1 1)1,0 x x dxc ce yc

22、ey + + += 微 微 两两两两两两两两两两两两两次x ? (x? 两 2 2 2 1 2 11 1 ( )( ) 22 2 ln1 12.( ln2) 424 ln2 ln2 ln2 2ln 2ln ( ),( ) ( ) ln1 ()( P x dxP x dx dxdx xx cx yxydxxdyx dyxy y dxxx y dyxy y dxxx dyxy dxxx yz dzx z dxxx x P xQ x xx zeeQ x dxc x zeedxcx x =+ = = = = = = =+ =+= ? 两两两? 两两? ? 2 2 2 ln () ln1 424 ln1

23、 : ()1, 424 x dxc xx cx x cx yx + =+ += ?y次已? 两 常恰两 2 2 2(2) 21 22 xydyyx dx dyyxy dxxyxy = = 两 ? ?次?常 ?两 ? 1 y ?两 2 1 2 dyy y dxx = 两 ? 2 yz= 两两两两 2 dzdy y dxdx = 两 2 22 11 dzyz dxxx = = 两 P(x固次 2 x两两两两维(x固次?常两 ?两 22 () dxdx xx zeedxc =+ 两 两两次 2 xx c+ 两 22 yxx c=+ 两 常或两两 2 3 y dyex dxx + = 两 ? y e

24、两两两 2 2 ()3 yy ydy exe e dxx + = 两 ? y ez= 两两两两 y dzdy e dxdx = 两 22 22 33dzzxzzz dxxxx + =+ 两两两? ?次微 ?两 ? 2 z 两两两两 22 131dz z dxxzx =+ 两两两? 1 T z = 两 2 1dTdz dxz dx = 两两两两 2 31dTT dxxx =+ 两 P?x?次 3 x 两两两两维(x固次 2 1 x 两 ?两 33 2 1 () dxdx xx Teedxc x =+ 两 两两次 32 1 () 2 xxc + 两 两两次 13 1 2 xcx + 两 13 1

25、()1 2 zxcx += 两 13 1 ()1 2 y excx += 两 23 1 2 yy x ecex+= 两 23 1 2 y xx ec += 两 两 常把两 33 1dy dxxyx y = + 两 两两两 33 dx yxy x dy =+ 两 ? ?次恰 ?两 ? 3 x 两两两两两 3 32 1 dxy y x dyx =+ 两 两两? 2 xz = 两两两两 3 2 dzdx x dydy = 两 两两 3 2 2 2 dzy y dyx = 次 3 22yzy 两两两P(y固次?微y两两两两维(y固次 3 2y 两 两两?两 两两 22 3 (2) ydyydy zey

26、 edyc =+ 两 次 22 3 (2) yy ey e dyc + 两 次 2 2 1 y yce+ + 两 2 22 (1)1 y xyce+ += 两 222 22 (1) yyy x eycee + += 两 2 2222 (1) y exx ycx+= 两 两 两 常提两两y次 x e 增 0 ( ) x y t dt 两 ( ) x dy ey x dx =+ 两 x dy ye dx =+ 两 P(x固次常两两两两维(x固次 x e 两两两?两 11 () dxdx x yee edxc =+ 两 两两次 () xxx ee e dxc + 两 两两次 () x exc+ 两

27、0 ()() x xxx exceexc dx+=+ 两 那次常两 y次 () x exc+ 两 ?(t固?横t横+? (已固?(t增s固次(t固(s固两 ?两 ? t次s次已两两?(已增已固次(已固(已固两两?(已固次 2 (0) 两两? (0)0= ? (0)1= 两 ?常?两? (0)0= ?两两两 ( )(0)( ) (0)ttt=+= 两两? ( )0t= 两两两 (t ?妨+ ?固两 两(微固两两两? (0)1= ?两两两 0 ()( ) ( ) lim t ttt t t + = 次 0 ( ) ()( ) lim t ttt t 两 两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两

28、两两两两次 0 ( )( () 1) lim t tt t 次 0 (0)(0) ( ) lim t t t t + 两 两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两次 (0) ( ) t 两 ? (0) ( ) d t dt = 两两? (0) d dt = 两两?两两 (0)t ce= 两 ? (0)1= ? t次已 ? 1= 两两两两常次 0 ce那次常两 ? (0) ( ) t te= 两 两两微已小?两 两两两?常?微两小微族?微小恰?两 两两两?微? ( )yy x= ?微小恰? ? ? ( )yy x= ? ?微小微族? ? ? ?微小微族? ( )( )ycy xy x

29、=+ ? ? ?c?小两 ?恰?微小恰?微小恰?小两 ? ( )( ) dy P x yQ x dx =+ 两两两两两两两两两?微小微族?两 ( ) dy P x y dx = 两两两两两两两两两两两两?微小恰?两 ? 1 y ? 2 y ?微小微族?两 ?两两两 1 1 ( )( ) dy P x yQ x dx =+ 两两两两两?常?两 2 2 ( )( ) dy P x yQ x dx =+ 两两两两两?微?两 ?常?微?两 两两两两两 () 12 12 ( )() d yy P xyy dx = 两 ? 12 yyy= ?微小恰?两 ?两 ?两 ( ) ( ) dy x P x y d

30、x = 两两两两两两两两两两两两两两两?恰?两 ( ) ( ) ( )( ) d y x P x y xQ x dx =+ ? ? 两两两两两两两两?或?两 常? ycyy=+ ? ?微小微族?两 ?两两 ( ) ( )34c+ 两?两 ( )( )( ) cdyd y cP x yP x y Q x dxdx +=+ ? ? 两 () ( )()( ) d cyy P x cyyQ x dx + =+ ? ? 两 ? ycyy=+ ? ?微小微族?两 微?或?cy y+ ? ?两 ? 1 y ?(微小微族固?两 ?两两两两两 1 1 ( )( ) dy P x yQ x dx =+ 两两两两

31、两两两两两?或?两 ?两?或?或?两 1 1 () ( )() d yy P xyy dx = ? ? 两 ?两两 ( ) 1 P x dx yycecy = ? 两 ?两两两两两 1 yy cy=+ ? 两 ?两 ? 3 y ? 4 y ?微小恰?两 ?两两两两 3 3 ( ) dy P x y dx = 两两两两两两两两两两两两?把?两 4 4 ( ) dy P x y dx = 两两两两两两两两两两两两?提?两 ?把? c ?两两两两两 3 3 ( ) cdy cP x y dx = 两 ?两两两两两 3 3 () ( )() d cy P x cy dx = 两两两两两?c?两 ? 3

32、 ycy= ?微小恰?两 ?把?提?两 两两 34 34 ( )( ) dydy P x yP x y dxdx = 两 ?两 34 34 () ( )() d yy P xyy dx = 两 ? 34 yyy= ?微小恰?两 ?两 微常小?两 ?两 ?两 ? ( , )p x y ? p ?两 ()Yyy Xx= 两 ? (,0),(0,) y xyxy y 两 ?两?两 y x y ?两 两两两?两 yxy ?两 ?两 ?把?两两 2 yxyx= 两 ?两 两两两两两两两 2 dy xyx dx = 两 两两两两两两两 1dy yx dxx = 两 ?两两两 11 () ( () dxdx

33、 xx yex edxc =+ 两 两两两两两两两两 lnln ( () xx ex edxc =+ 两 两两两两两两两两 1 ( ()xx xdxc =+ 两 两两两两两两两两 1 ( ()xxdxc x =+ ? 两 两两两两两两两两 ()xxc= + 两 两两两两两两两两 2 xcx= + 两 ? 2 yxcx= + ?两 ?提? 2 xy yxy + = 两 ?两两两 两两两两两两两两 22 dyyx x dx = 两 两两两两两两两两 11 22 dy y dxx = 两 ?两两两两 11 () 22 1 ( () 2 dxdx xx yeedxc =+ 两 两两两两两两两两两 11

34、 lnln 22 1 ( () 2 xx eedxc =+ 两 两两两两两两两两两 1 1 2 2 1 ( () 2 xxdxc =+ 两 两两两两两两两两两 11 22 1 ( () 2 xxdxc =+ ? 两 两两两两两两两两两 11 22 ()xxc=+ 两 两两两两两两两两两 1 2 xcx= + 两 ? 1 2 yxcx= + ?两 微微?两 ?常? 0) 1( 2 =+xyyx 两 ? 1 1 1 1 22 = x y x xy y 两 两两两两 ) 1 1 ( 1 2 1 22 + = ce x ey dx x x dx x x 两 两两两两两两次 /1/ 1 1 1 /1/

35、2 1 2 2 2 1 2 cdx x x x+ 两两两两 两两两两两两次 /1/ /1/ 2 3 2 2 1 2 c x dx x+ 两 两两两两两两次c xx+/1/ 2 两 两两两 两两?微?两 3 sincossin0yxxyx= 两 2 sin sincoscos dyyx dxxxx =+ 两 P(x固次 1 sincosxx两两两两维(x固次 2 sin cos x x 两 ?两 112 sin cossin cos sin () cos dxdx xxxx x yeedxc x =+ 两 两两次 sin ( sin) cos x xdxc x + 两 两两次 sin ( cos

36、) cos x xc x + 两 两两次 sintgxcx 两 ? 微小恰两 常?两 常小两两 0)2()( 2 =+dyyxdxyx 两 ?两两两 1= y M ? x N 次常两小两 ? x N y M = 两 ?两 ? 0)(2 2 =+xdyydxydydxx 两 ?两? Cyxyx=+ 23 3 1 两 微?两两 0)4()3( 2 =dyxydxxy 两 ?两两两两 1= y M ? 1= x N 两小两 ? x N y M = 两小两 ?两 ? 043 2 =+ydydxxxdyydx 两 ?两两 Cyxyx=+ 23 2 两 恰?两两两 0 )( 1 1 )( 2 2 2 2

37、= + dy yx x y dx xyx y 两 ?两两两两两 34 22 )( 2 )( ) 1)(2)(2 yx xy yx yxyyxy y M = = 两 34 22 )( 2 )( )(2)(2 yx xy yx yxxyxx x N = = 两 ? y N x M = 两小两 ?两 xyx y x u1 )( 2 2 = 两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两?常?两 2 2 )( 1 yx x yy u = 两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两?微?两 ?常?x? )( 1 )( 2 2 ydx x dx yx y u

38、+ = 两 次 yx y 2 )(lnyx+ 两两两两两两两两?恰?两 ?恰? y ? dy yd yx yyxy y u)( )( 2)() 1( 2 2 + + = 两 次 dy yd yx yxy)( )( 2 2 2 + + 两 次 2 2 )( 1 yx x y 两 ? 1 1 )( 21 )( 2 )( 1)( 2 22 2 2 2 2 = + = = yyx yxyx yyx xyy yx x ydy yd 两 yydy y y=ln) 1 1 ()( 两 yx xy x y yx yxyy x y yyx yx y u = + =+ =lnlnlnln 222 两 ? C yx

39、 xy x y = +ln 两 或?两两 0)2(3)23(2 2232 =+dyyyxdxxxy 两 ?两两两 xy y M 12= ? xy x N 12= 两小两 x N y M = 两小两 ?两 ? 03646 2232 =+dyyydyxdxxdxxy 两 0)()()(3 3422 =+xdxdyxd 两 ?两? Cyyxx=+ 3224 3 两 把小( y 1 s需? y x ? 2 x y 那?sx y 增常固里x增(x 1 两那?sx y ? 2 y x 两s需? y x 增 2 1 y 固里y次已两 ?两两端次 y 1 s需? y x ? 2 x y 那?sx y 增常两两

40、两两第次x 1 两那?sx y ? 2 y x 两s需? y x 增 2 1 y 两 y M 次? 2 1 y 两s需? y x ? 3 y x 那?s y x ? 2 1 x 两那?sx y 增 3 x y s需?x y 两 x N 次? 2 1 y 两s需? y x ? 3 y x 那?s y x ? 2 1 x 两那?sx y 增 3 x y s需?x y 两 ? y M 次 x N ?两 ? y 1 s需? y x 里x? 2 x y 那?sx y 里x增里x增x 1 两那?sx y 里y? 2 y x 两s需? y x 里y增 2 1 y 里y次已两 里(?那?s y x 固增里两(

41、s需?x y 固增里x增里(? y 1 固次已两 ?里(s需?x y ?那?s y x 增x两? y 1 固次已两 ? s需?x y ?那?s y x 增x两? y 1 次C两 ?两 提?微x(y 2 x e ?常固里x增 2 x e 里y次已两 ? y M 次两两微x 2 x e 两两妨两两两两两 x N 次微x 2 x e 两 ? y M 次 x N ?两 ? 微xy 2 x e 里x?微x里x增 2 x e 里y次已两 ?里(y 2 x e ?x 2 固次已两 ? y 2 x e ?x 2 次C两 摩小(? x 增恰y 2 固里x增微xy里y次已两 ? x 里x增恰y 2 里x增微xy里

42、y次已两 ? x x 2 里x增恰x 2 y 2 里x增微x 3 y里y次已两 ?里两? x (两x 2 ?微x增微固增里(两x 3 y 2 固次已两 ? 里两表? x (两x 2 ?微x增微固增两x 3 y 2 ?次已两 ? ? x (两x 2 ?微x增微固增两x 3 y 2 次C两 族小两微xy里x增(两x 2 增常固里y次已两 ?微xy里x增两x 2 里y增里y次已两 里(两x 2 y固增里y次已两 ? 里(x 2 y增y固次已两 ? x 2 y增y次C两 最? ()dxyxxdyydx 22 += 两 ?两 22 yx + 两? dx yx xdyydx = + 22 两 ? dx y

43、 x arctgd= 两 ? cx y x tg+= arg 两 常已? ()0 3 =+dyyxydx 两 ? ydy y xdyydx = 2 两 ?两 ydy y x d= 两 ? cy y x += 2 2 1 两? ()cyyx+= 2 2 两 ?y次已 ?两 常常?( )01=+xdydxxyy 两 ? ()dxxyxdyydx+=+1 两 ()()dxxyxyd+= 1 两两? () dx xy xyd = +1 两 ? cxxy+=+1ln 两 常微?( )0 2 =xdydxxy 两 ? dx x xdyydx = 2 两 dx x y d= 两 ?两? xc x y = 两

44、? ()xcxy= 两 常恰?( )02=+xdydxyx 两 ? xNyxM=+=,2 两? x N y M 两 xN x N y M 1 = 两两两两两? xe dx x = = 1 两 ? ()02 2 =+dyxdxyxx ?两 ? ()()cdydxxyx y xdxxyx= + + 22 222 两 cyx x =+ 3 3 3 两 ? cyxx=+ 23 3 两 常或? ()()()0cossincos=+dyyxxdxyxyxx 两 ? ()()()yxxNyxyxxM+=+=cos,sincos 两 ? ()()yxxyx x N y M += = sincos 两 ?两 (

45、)()()()()cdydxyxyxx y yxxdxyxyxx= + + sincoscossincos 两两 两 两 两 两 两 两 ? ? ()cyxx=+sin 两 常把?( )()odyxxxydxxxxy=+cossinsincos 两 ? xxxyNxxxyMcossin,sincos+= 两 x N y M 两 1= M x N y M 两? y dy ee= = 两两两?两 ? ()()0cossinsincos=+dyxxxyedxxxxye yy ?两 ?两? ()()cdydxxxxye y Ndxxxxye yy = + sincossincos 两 ? ()cxey

46、xe yy =+cos1sin 两 常提? ()()05324 3 =+xdyydxyxdyydxx 两 ? yx2 ?两 () ()05324 352423 =+ydyxdxyxydyxdxyx 两 ()()0 5324 =+yxdyxd 两 ? cyxyx=+ 5324 两 常摩? 0),(),(=+dyYXNdxYXM ? )(xy ? )(yx + ?两 ? )(yx + ?两 x N y M = )()( 两两两两两? )(yx + ?两 x N x N y M y M + = + 两 )( x N y M x N y M + = 两 ) 1 ( 两?两 yxz+= 两 dz d x

47、 z dz d x = = ? dz d y = 两小两 )( y M x N dz d N dz d M = ?两 )()( y M x N dz d NM = 两?两 NM y M x N d = 两?两两两 dzyxdz)(+= 两 ? )(yx + ? NM y M x N ? yx + ?两 ? =+ dzz eyx )( )( 两小两 )2( 两? yxz= 两 dz d y x z dz d x = = 两? dz d x y z dz d y = = 两 )( y M x N dz d Ny dz d Mx = 两 )()( y M x N dz d NyMx = 两 NyMx

48、 y M x N d = 两 ? = dz NyMx y M x N exy)( 两 常族小两? ),(yxf ? y f ?妨? 0),(=dxyxfdy ?x?小两 ?果?两两?妨? )()(xQyxP dx dy += 两妨两 ? = dxxP ex )( )( 妨 )(x ?x?两小两 ?两两?x? )(x 两小两 ? 0),()()(=dxyxfxdyx ?两妨两 ? dx xd y yxfx)(),()( = 两妨 )( )( x x y f = 两妨两 )()()( )( )( )( )( )( xQyxPxQy x x xQdy x x f+=+ =+ = 两小两 ? )( )

49、( )( x x xP = 两小? 0)()(=+dxxQyxPdy 两 ?小两 微已小? ?(u固?钟(u固? ?(u固钟(u固妨规? y?(xy固里x增x钟(xy固里y次已两 ? u次(xy表?(xy固?钟(xy固?固 1 两 ? y?(xy固里x增x钟(xy固里y次已 ? u ?两 uy?(xy固里x增ux钟(xy固里y次已两 ? y uyf 次u?增uy y f 增y? y u 次 )(gfxy f 增 )(gfxy y f y ?y? 222 )( )( gfyx y g xy y f xygfx + + 两 次 2 )(gfxy y f gy y g yf 次 2 )(gfx y

50、xy xy f g y xy xy g f 两 次 2 )(gf xy f g xy g f 两 ? x uxg 次u钟增ux x g 增x钟 x u 次 )(gfxy g 增 )(gfxy x g x ?两x钟 222 )( )( gfyx x g xy x f xygfy + 两 次 2 )(gfxy x xy xy f xg x xy xy g xf 次 2 )(gf xy f g xy g f 两 ? y uyf 次 x uxg ? u ?两 微常?微小或恰? 端?x妨y?第(x妨y固? x N y M 次两 第?(x固?端钟(y固妨? ?(x固妨钟(y固? x ? y ?微小或恰?两 ? u次?x?( dxx