正方形专题培优训练

1、四边形-正方形专题培优训练一选择题（共6小题）1（2012苏州）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上若正方形A1B1C1D1的边长为1，B1C1O=60，B1C1B2C2B3C3，则点A3到x轴的距离是（）ABCD2（2012泸州）如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30得到正方形ABCD，图中阴影部分的面积为（）Aa2Ba2C（1）a2D（1）a23（2011牡丹江）如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点0作射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F，且EOF=90，BO、E

2、F交于点P则下列结论中：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；（3）BE+BF=0A；（4）AE2+CF2=20POB正确的结论有（）个A1B2C3D44（2010南宁）正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则DEK的面积为（）A10B12C14D165（2007烟台）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（）Acm2Bcm2Ccm2Dcm26

3、在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=（）A4B5C6D7二填空题（共6小题）7（2002河南）如图，P是正方形ABCD内一点，将ABC绕点B顺时针方向旋转能与CBP重合，若PB=3，则PP=_8如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b=10，ab=20，那么阴影部分的面积是_9已知，如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OEOF，分别交AB、BC于点E、F，若AE=4，CF=3，则四边形OEBF的面积为_10如图，A在线段BG上，ABCD和D

4、EFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米，则CDE的面积等于_平方厘米11（2010宜宾）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PEBC于点E，PFCD于点F，连接EF给出下列五个结论：AP=EF；APEF；APD一定是等腰三角形；PFE=BAP；PD=EC其中正确结论的序号是_12（2010黑河）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3；，依此类推，这样作的

5、第n个正方形对角线交点Mn的坐标为_三解答题（共18小题）13（2011来宾）已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是OB、OC上的动点，（1）如果动点E、F满足BE=CF（如图1）：写出所有以点E或F为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）；证明：AEBF；（2）如果动点E、F满足BE=OF（如图2），问当AEBF时，点E在什么位置，并证明你的结论14如图，分别以ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即ABD，BCE，ACF请回答下列问题：（1）说明四边形ADEF是什么四边形？（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当ABC满足什么条件时，四边形AD

6、EF是菱形？（4）当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？（5）当ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？（第（2）（3）（4）（5）题不必说明理由）15（2007北京）在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为（1，1）将一个最短边长大于的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为_；（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O，F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积

7、的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形16（2012东营）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE求证：CE=CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果GCE=45，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B=90，AB=BC，E是AB上一点，且DCE=45，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积17（2010宁德）如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边

8、三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM（1）求证：AMBENB；（2）当M点在何处时，AM+CM的值最小；当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长18（2008宁夏）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有ADQABQ；（2）当点P在AB上运动到什么位置时，ADQ的面积是正方形ABCD面积的；（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什

9、么位置时，ADQ恰为等腰三角形19（2005无锡）已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），正PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1将PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、连续地翻转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是PAE在直线上作连续的翻转运动图2是k=1时，PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图请你探索：若k=1，则PAE沿正方形的边连续翻转的次数n=_时，顶点P第一次回到原来的起始位置；（2）若k=2，则n=_时，顶点P第一次回到原来的起始位

10、置；若k=3，则n=_时，顶点P第一次回到原来的起始位置；（3）请你猜测：使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含k的代数式表示n）20（2011嘉兴）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设ADC=（090），试用含的代数式表示HAE；求证：HE=HG；四边形EFGH是什么

11、四边形？并说明理由21（2009吉林）两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图），CE=2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度（1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AG（如图），求点D到AG的距离；（2）当=45时（如图），求证：四边形MHND为正方形22（2012盐城）如图所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1l于点D1，过点E作EE1l于点E1（1）如图，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=A

12、B；（2）在图中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；（3）如图，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系（不需要证明）23（2011咸宁）（1）如图，在正方形ABCD中，AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求EAF的度数（2）如图，在RtABD中，BAD=90，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且MAN=45，将ABM绕点A逆时针旋转90至ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由（3）在图中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若E

13、G=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的长24（2012青海）如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，AEF=90，且EF交正方形外角平分线CF于点F请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但ABE和ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证AEMEFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图1，取AB的中点M，连接EMAEF=90FEC+AEB=90又EAM+AEB=90E

14、AM=FEC点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点AM=EC又可知BME是等腰直角三角形AME=135又CF是正方形外角的平分线ECF=135AEMEFC（ASA）AE=EF（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由25在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，MPN

15、为直角三角形，MPN=90正方形ABCD保持不动，MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为_；（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为_；位置关系为_26（2010大田县）正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PFCD于点F如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF（1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A

16、、O重合），PEPB且PE交CD于点E求证：DF=EF；写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PEPB且PE交直线CD于点E请完成图3并判断（1）中的结论、是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）27（2006临沂）已知正方形ABCD（1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：BE=GH；（2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD，BC于点E，F，交AB，CD于点G，H，EF与GH相等吗？请写出你的结论；（3）当点O在正方形ABC

17、D的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m，n，m与AD，BC的延长线分别交于点E，F，n与AB，DC的延长线分别交于点G，H，试就该图形对你的结论加以证明28操作示例：对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED从拼接的过程容易得到结论：四边形BNED是正方形；S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED实践与探究：（1）对于边长分别为a，b（ab）的两

18、个正方形ABCD和EFGH，按图2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DMDE，交AB于点M，过点M作MNDM，过点E作ENDE，MN与EN相交于点N；证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；在图2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）；（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由29如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CGBC），取线段AE的中点M探究：线段M

19、D、MF的关系，并加以证明说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明注意：选取完成证明得10分；选取完成证明得7分；选取完成证明得5分DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；将正方形CGEF6绕点C逆时针旋转45（如图），其他条件不变；在的条件下，且CF=2AD附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变探究：线段MD、MF的关系，并加以证明30操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线

20、AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q探究：设A、P两点间的距离为x（1）点Q在CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论（如图1）；（2）点Q边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域（如图2）；（3）点P在线段AC上滑动时，PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由（如图3）（图4、图5、图6的形状、大小相同，图4供操作、实验用，图5和图6备用）初二下正方形专题培优训练参考答案与试题解析一选择题（共6小题）1（

21、2012苏州）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上若正方形A1B1C1D1的边长为1，B1C1O=60，B1C1B2C2B3C3，则点A3到x轴的距离是（）ABCD考点：正方形的性质；解直角三角形专题：规律型分析：利用正方形的性质以及平行线的性质分别得出D1E1=B2E2=，B2C2=，进而得出B3C3=，求出WQ=，FW=WA3cos30=，即可得出答案解答：解：过小正方形的一个顶点W作FQx轴于点Q，过点A3FFQ于点F，正方形A1B1C1D1的边长为1，B1C1O=60，B1C1B2C2B3C3

22、，B3C3 E4=60，D1C1E1=30，E2B2C2=30，D1E1=D1C1=，D1E1=B2E2=，cos30=，解得：B2C2=，B3E4=，cos30=，解得：B3C3=，则WC3=，根据题意得出：WC3 Q=30，C3 WQ=60，A3 WF=30，WQ=，FW=WA3cos30=，则点A3到x轴的距离是：FW+WQ=+=，故选：D点评：此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数的应用等知识，根据已知得出B3C3的长是解题关键2（2012泸州）如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30得到正方形ABCD，图中阴影部分的面积为（）Aa2Ba2C（1）a2D（1）a2考点：正

23、方形的性质；旋转的性质；解直角三角形分析：设BC与CD交于点E由于阴影部分的面积=S正方形ABCDS四边形ABED，又S正方形ABCD=a 2，所以关键是求S四边形ABED为此，连接AE根据HL易证ABEADE，得出BAE=DAE=30在直角ADE中，由正切的定义得出DE=ADtanDAE=a再利用三角形的面积公式求出S四边形ABED=2SADE解答：解：设BC与CD交于点E，连接AE在ABE与ADE中，ABE=ADE=90，ABEADE（HL），BAE=DAEBAB=30，BAD=90，BAE=DAE=30，DE=ADtanDAE=aS四边形ABED=2SADE=2aa=a2阴影部分的面积=

24、S正方形ABCDS四边形ABED=（1）a 2故选：D点评：本题主要考查了正方形、旋转的性质，直角三角形的判定及性质，图形的面积以及三角函数等知识，综合性较强，有一定难度3（2011牡丹江）如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点0作射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F，且EOF=90，BO、EF交于点P则下列结论中：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；（3）BE+BF=0A；（4）AE2+CF2=20POB正确的结论有（）个A1B2C3D4考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质分析：

25、本题考查正方形的性质，四边相等，四个角都是直角，对角线相等，垂直且互相平分，且平分每一组对角解答：解：（1）错误ABCADC，AOBCOD，AOEBOF，BOECOF；（2）正确AOEBOF，四边形BEOF的面积=ABO的面积=正方形ABCD的面积；（3）正确BE+BF=AB=OA；（4）正确AE2+CF2=BE2+BF2=EF2=（OF）2=2OF2，在OPF与OFB中，OBF=OFP=45，POF=FOB，OPFOFB，OP：OF=OF：OB，OF2=OPOB，AE2+CF2=20POB另法：AE2+CF2=BF2+BE2=EF2=（PF+PE）2=PE2+PF2+2PEPF作OMEF，M

26、为垂足OE=OF，OM=ME=MFPE2+PF2=（MEMP）2+（MF+MP）2=2（MO2+MP2）=2OP2O、E、B、F四点共圆，PEPF=OPPB，AE2+CF2=2OP2+2OPPB=2OP（OP+PB）=2OPOB故选C点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理和相似三角形的判定和性质等4（2010南宁）正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则DEK的面积为（）A10B12C14D16考点：正方形的性质专题：数形结合分析：连DB，GE，FK，则DBGEF

27、K，再根据G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4可求出SDGE=SGEB，SGKE=SGFE，再由S阴影=S正方形GBEF即可求出答案解答：解：连DB，GE，FK，则DBGEFK，在梯形GDBE中，SGDB=SEDB（同底等高），SGDB公共三角形=SEDB公共三角形，即SDGE=SGEB，SGKE=SGFE，同理SGKE=SGFES阴影=SDGE+SGKE，=SGEB+SGEF，=S正方形GBEF，=42=16故选D点评：本题考查的是正方形的性质及三角形的面积，根据题意作出辅助线是解答此题的关键5（2007烟台）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A

28、2，An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（）Acm2Bcm2Ccm2Dcm2考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质专题：规律型分析：连接正方形的中心和其余两个顶点可证得含45的两个三角形全等，进而求得阴影部分面积，再根据规律即可求得n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和解答：解：连接正方形的中心和其余两个顶点可证得含45的两个三角形全等，进而求得阴影部分面积等于正方形面积的，即是5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（n1）=cm2故选C点评：解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴

29、影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积6在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=（）A4B5C6D7考点：正方形的性质；勾股定理专题：几何综合题分析：观察图形根据勾股定理的几何意义，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积解答：解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2=1，S2+S3=2，S3+S4=3，S1+S2+S3+S4=4，故选A点评：勾股定理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和这里，边的平方的几何意义

30、就是以该边为边的正方形的面积二填空题（共6小题）7（2002河南）如图，P是正方形ABCD内一点，将ABC绕点B顺时针方向旋转能与CBP重合，若PB=3，则PP=考点：正方形的性质；旋转的性质分析：根据旋转不变性，可得BP=BP，PBP=90，进而根据勾股定理可得PP的值解答：解：根据题意将ABP绕点B顺时针方向旋转能与CBP重合，结合旋转的性质可得BP=BP，PBP=90，根据勾股定理，可得PP=3；故答案为3点评：此题考查了同学们的阅读分析能力和应用数学知识解决实际问题的能力，根据旋转不变性，得到PBP=90，是解答此题的关键8如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b=10，ab

31、=20，那么阴影部分的面积是20考点：正方形的性质；代数式求值专题：计算题分析：分析图形可得阴影部分面积为两个正方形面积和减去空白面积，据此计算可得关系式；代入a+b=10，ab=20，计算可得答案解答：解：根据题意可得，阴影部分面积为两个正方形面积和减去空白面积，即（a2+b2）=（a2+b2ab）=（a2+b2+2ab3ab）=（a+b）23ab；代入a+b=10，ab=20可得阴影面积为（1010203）2=20；故答案为20点评：本题的关键是利用面积的和差关系求出阴影部分的面积，但在计算时要把未知的代数式转化成已知，代入求值9已知，如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，

32、过O作OEOF，分别交AB、BC于点E、F，若AE=4，CF=3，则四边形OEBF的面积为考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理专题：计算题分析：可以先求证AEOBFO，得出AE=BF，则BE=CF，那么求四边形OEBF的面积，就相当于求ABO的面积解答：解：四边形ABCD是正方形OA=OB，EAO=FBO=45又AOE+EOB=90，BOF+EOB=90AOE=BOF，AEOBFOAE=BFBE=CFAB=3+4=7OAOB=S四边形OEBF=SAOB=OAOB=故答案为点评：此题考查正方形的性质，全等三角形的判定及勾股定理等知识点的综合运用10如图，A在线段BG上，ABCD和

33、DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米，则CDE的面积等于平方厘米考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质专题：计算题分析：过E作EHCD于H，根据角之间的等量关系可得到1=3，从而可利用AAS判定EDHDGA，由全等三角形的性质可得EH=AG，根据正方形的面积求角其边长，从而利用勾股定理求得AG的长，再根据三角形的面积公式求解即可解答：解：过E作EHCD于H，如图，1+2=90，2+3=90，1=3，又EHD=DAG=90，ED=DG，EDHDGA，EH=AG，SABCD=7cm2，SDGFE=11cm2，CD=AD=cm，DG=，在RtADG中，AG=，SCDE=CDEH=C

34、DAG=2=cm2，故答案为：点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质和勾股定理的综合运用能力11（2010宜宾）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PEBC于点E，PFCD于点F，连接EF给出下列五个结论：AP=EF；APEF；APD一定是等腰三角形；PFE=BAP；PD=EC其中正确结论的序号是考点：正方形的性质分析：过P作PGAB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明AGPFPE后即可证明AP=EF；PFE=BAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在RtDPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得DP=解答：证明：过P作PG

35、AB于点G，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，GP=EP，在GPB中，GBP=45，GPB=45，GB=GP，同理，得PE=BE，AB=BC=GF，AG=ABGB，FP=GFGP=ABGB，AG=PF，AGPFPE，AP=EF，故正确；延长AP到EF上于一点H，PAG=PFH，APG=FPH，PHF=PGA=90，即APEF，故正确；点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，ADP=45度，当PAD=45度或67.5度或90度时，APD是等腰三角形，除此之外，APD不是等腰三角形，故错误PFE=BAP，故正确；GFBC，DPF=DBC，又DPF=DBC=45，PDF=DPF=45，PF

36、=DF=EC，在RtDPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，DP=，故正确其中正确结论的序号是点评：本题考查了正方形的性质，即在正方形中，对角线平分对角12（2010黑河）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3；，依此类推，这样作的第n个正方形对角线交点Mn的坐标为（，）考点：正方形的性质；坐标与图形性质专题：规律型分析：先观察图形，了解正方形的性质，例如正

37、方形对角线的性质，然后列出几个M点的坐标，推出公式解答：解：设正方形的边长为1，则正方形四个顶点坐标为O（0，0），C（0，1），B1（1，1），A1（1，0）；根据正方形对角线定理得M1的坐标为（）；同理得M2的坐标为（，）；M3的坐标为（，），依此类推：Mn坐标为（，）=（，）点评：准确掌握正方形的性质，正确认识坐标图三解答题（共18小题）13（2011来宾）已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是OB、OC上的动点，（1）如果动点E、F满足BE=CF（如图1）：写出所有以点E或F为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）；证明：AEBF；（2）如果动点E、F满足BE=OF（

38、如图2），问当AEBF时，点E在什么位置，并证明你的结论考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质专题：几何综合题分析：（1）根据正方形性质及BE=CF即可得出全等的三角形，根据全等三角形及正方形的性质即可得出结论，（2）根据正方形性质及已知条件得出BEMAEO，BEMBOF，再根据三角形相似的性质即可得出答案解答：解：（1）延长AE交BF于点MABEBCF，AOEBOF，ADEBAF；证明：根据正方形的性质，在BAE和CBF中，BAECBF（SAS），BAE=CBF，根据外角性质，AFB=BCF+CBF=45+CBF，又FAM=45BAE，AMF=180（FAM+AFM）=180（45+CB

39、F+45BAE）=90，AEBF；（2）当AEBF时，点E在BO中点证明如下：延长AE交BF于点M，如图所示：BME=AOE，BEM=AEO，BEMAEO，=，即AO=，MBE=OBF，BME=BOF，BEMBFO，=，即BO=，AO=BO，BE=OF，BE=EO，故当AEBF时，点E在BO中点点评：本题主要考查了全等三角形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定及性质，比较综合，难度较大14如图，分别以ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即ABD，BCE，ACF请回答下列问题：（1）说明四边形ADEF是什么四边形？（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当ABC满足

40、什么条件时，四边形ADEF是菱形？（4）当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？（5）当ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？（第（2）（3）（4）（5）题不必说明理由）考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定专题：探究型分析：根据等边三角形的性质及平行四边形的判定（两组对边分别相等的四边形是平行边形）来证明四边形ADEF是平行四边形，同理可根据各多边形的判定方法来证明解答：解：（1）四边形ADEF是平行四边形（1分）等边三角形BCE和等边三角形ABD，BE=BC，BD=BA又DBE=60ABE，ABC

41、=60ABE，DBE=ABC在BDE和BCA中，BDEBCA（2分）DE=AC在等边三角形ACF中，AC=AF，DE=AF同理DA=EF四边形ADEF是平行四边形（4分）（2）当BAC=150时，四边形ADEF是矩形（5分）（3）当AB=AC，或ABC=ACB=15时，四边形ADEF是菱形（6分）（4）当BAC=150且AB=AC，或ABC=ACB=15时，四边形ADEF是正方形（7分）（5）当BAC=60时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在（8分）点评：此题考查了学生对全等三角形，平行四边形，矩形，正方形，菱形的判定方法的理解及运用15（2007北京）在平面直角坐标系xOy中，OEFG为

42、正方形，点F的坐标为（1，1）将一个最短边长大于的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为；（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O，F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形考点：正方形的判定与性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质专题：作图题；综合题分析：（1）S=OEEF=；（2）如图，正方形GFEO的面积

43、为1，当重合的面积为正方形GFEO的面积的一半时，有两种情况：四边形OSCB的面积为时，易证得四边形ACDO为正方形，ABCDSC，有四边形OSCB的面积与正方形ACDO的面积相等，故有OD=OA=即点C的坐标为（，）四边形FSCB的面积为时，易证得四边形ACDF为正方形，ABCDSC，有四边形FSCB的面积与正方形ACDO的面积相等，故有AD=FA=即点C的坐标为（1，1）解答：解：（1）S=OEEF=；（2）如图，正方形GFEO的面积为1，当重合的面积为正方形GFEO的面积的一半时，有两种情况：四边形OSCB的面积为时，易证得四边形ACOD为正方形，ABCDSC，有四边形OSCB的面积与正

44、方形ACOD的面积相等，故有OD=OA=即点C的坐标为（，）四边形FSCB的面积为时，易证得四边形ACDF为正方形，ABCDSC，有四边形FSCB的面积与正方形ACDO的面积相等，故有FD=FA=即点C的坐标为（1，1）点评：本题利用了正方形的判定和性质，三角形的面积公式求解16（2012东营）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE求证：CE=CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果GCE=45，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形

45、ABCD中，ADBC（BCAD），B=90，AB=BC，E是AB上一点，且DCE=45，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；直角梯形专题：几何综合题分析：（1）由四边形是ABCD正方形，易证得CBECDF（SAS），即可得CE=CF；（2）首先延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知CBECDF，易证得ECF=BCD=90，又由GCE=45，可得GCF=GCE=45，即可证得ECGFCG，继而可得GE=BE+GD；（3）首先过C作CGAD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG

46、，即可求得DG的长，设AB=x，在RtAED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的长，继而求得直角梯形ABCD的面积解答：（1）证明：四边形是ABCD正方形，BC=CD，B=CDF=90，BE=DF，CBECDF（SAS）CE=CF （2分）（2）证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF由（1）知CBECDF，BCE=DCFBCE+ECD=DCF+ECD，即ECF=BCD=90，又GCE=45，GCF=GCE=45CE=CF，GC=GC，ECGFCG（5分）GE=GF，GE=GF=DF+GD=BE+GD （6分）（3）解：如图3，过C作CGAD，交AD延

47、长线于G在直角梯形ABCD中，ADBC，A=B=90，又CGA=90，AB=BC，四边形ABCG为正方形AG=BC（7分）DCE=45，根据（1）（2）可知，ED=BE+DG（8分）10=4+DG，即DG=6设AB=x，则AE=x4，AD=x6，在RtAED中，DE2=AD2+AE2，即102=（x6）2+（x4）2解这个方程，得：x=12或x=2（舍去）（9分）AB=12S梯形ABCD=（AD+BC）AB=（6+12）12=108即梯形ABCD的面积为108（10分）点评：此题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握

48、辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用17（2010宁德）如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM（1）求证：AMBENB；（2）当M点在何处时，AM+CM的值最小；当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长考点：正方形的性质；全等三角形的判定；勾股定理专题：几何综合题分析：（1）由题意得MB=NB，ABN=15，所以EBN=45，容易证出AMBENB；（2）根据“两点之间线段最短”，可得，当M点落在BD的

49、中点时，AM+CM的值最小；根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长（如图）；（3）作辅助线，过E点作EFBC交CB的延长线于F，由题意求出EBF=30，设正方形的边长为x，在RtEFC中，根据勾股定理求得正方形的边长为解答：（1）证明：ABE是等边三角形，BA=BE，ABE=60MBN=60，MBNABN=ABEABN即MBA=NBE又MB=NB，AMBENB（SAS）（5分）（2）解：当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小（7分）如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小（9分）理由如下：连接MN，由（1）知，AMBENB，AM=EN，MBN=60，MB=NB，BMN是等边三角形BM=MNAM+BM+CM=EN+MN+CM（10分）根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长（11分）（3）解：过E点作EFBC交CB的延长线于F，EBF=ABFABE=9060=30设正方形的边长为x，则BF=x，EF=在RtEFC中，EF2+FC2=EC2，（）2+（x+x）2=（12分）解得，x1=，x2=（舍去负值）正方形的边长为（13分）点评：本题考查轴对称的性质和