数学实验――插值与数值积分

1、实验3插值和数值积分1黄浩第一，实验目的1)用matlab掌握四种插值方法：拉格朗日插值、分段线性插值、分段三次插值和三次样条插值，并通过改变节点数来分析插值结果2)掌握matlab数值积分的计算，梯形公式和辛普森公式3)通过实例学习，利用插值和数值积分解决实际问题二、实验内容1.(1)问题：问题描述：考虑到FX=11 x2 x-5，5，采用不同的节点数，采用拉格朗日插值、分段线性插值、三次插值和三次样条插值来逼近f(x)，并分析插值效果方案实施：由于matlab中没有预设的拉格朗日插值函数，所以我首先编写了拉格朗日(程序见4.1)和分段线性插值函数(程序见4.2)，并对y=x2函数进行了插值

2、测试(程序见4.3)，测试编写的函数是否准确，如下图所示：在上图中，红线和绿线是自行设计的拉格朗日和分段线性函数的插值图，蓝色交叉点是matlab自带的分段线性函数的插值图。蓝色和绿色完全一致，红色和绿色基本一致，证明了自行设计的功能是正确的。然后进行本课题所需的插值运算：(x0，y0)作为节点，节点均匀分布在区间内，节点数分别调整为6、11和21；x为插值点，绘图时使用101个插值点(总是大于节点数)，制表时使用的插值点数量根据节点数进行调整；y为真值，y1、y2、y3和y4分别为拉格朗日、分段线性、分段三次和三次样条插值方法得到的插值结果。1)当节点数为6时：(即节点为-5，-3，3，5)

3、xyy1y2y3y401.00000.56730.50000.50000.56850.50000.80000.55010.50000.50000.55131.00000.50000.50000.50000.50000.50001.50000.30770.42130.40000.44250.41672.00000.20000.32120.30000.31330.31312.50000.13790.20970.20000.17750.20293.00000.10000.10000.10000.10000.10003.5万0.07550.00780.08460.07540.01834.00000.0

4、588-0.04810.06920.0559-0.02854.5万0.0471-0.04600.05380.0431-0.02635.00000.03850.03850.03850.03850.0385图像有：从上图可以看出，当节点数为6时，插值效果不理想，节点间插值误差较大，在x=0附近误差最大2)当节点数为11时：(即节点为-5，-4，4，5)xyy1y2y3y401.00001.00001.00001.00001.00000.50000.80000.84340.75000.79690.82051.00000.50000.50000.50000.50000.50001.50000.3077

5、0.23530.35000.32190.29732.00000.20000.20000.20000.20000.20002.50000.13790.25380.15000.13850.14013.00000.10000.10000.10000.10000.10003.5万0.0755-0.22620.07940.07550.07454.00000.05880.05880.05880.05880.05884.5万0.04711.57870.04860.04650.04845.00000.03850.03850.03850.03850.0385图像有：由上图可以看出，当节点数为11时，分段三次和三

6、次样条插值较好，其次是分段线性插值，而拉格朗日插值在-2，2区间有较高的精度，但当|x|3时会发生龙格振荡。3)当节点数为21时(程序见4.4):(即节点为-5，-4.5，4.5，5)xyy1y2y3y401.00001.00001.00001.00001.00000.10000.99010.99040.96000.98690.98910.20000.96150.96260.92000.95260.95940.30000.91740.91890.88000.90500.91520.40000.86210.86320.84000.85150.86060.50000.80000.80000.800

7、00.80000.80000.60000.73530.73370.74000.74560.73720.70000.67110.66820.68000.68230.67420.80000.60980.60650.62000.61630.61270.90000.55250.55030.56000.55350.55411.00000.50000.50000.50000.50000.50001.10000.45250.45500.46150.45440.45171.20000.40980.41430.42310.41180.40891.3万0.37170.37650.38460.37280.37111

8、40000.33780.34110.34620.33790.33751.50000.30770.30770.30770.30770.30771.6万0.28090.27700.28620.28130.28101.70000.25710.25010.26460.25750.25721.8万0.23580.22810.24310.23600.23591.90000.21690.21150.22150.21690.21702.00000.20000.20000.20000.20000.20002.10000.18480.19180.18760.18500.18482.20000.17120.1843

9、0.17520.17130.1712230000.15900.17420.16280.15900.15892.40000.14790.15900.15030.14790.14792.50000.13790.13790.13790.13790.13792.60000.12890.11300.13030.12890.12892.7万0.12060.08960.12280.12070.1206280000.11310.07500.11520.11310.11312.90000.10630.07700.10760.10630.10633.00000.10000.10000.10000.10000.10

10、003.10000.09430.14080.09510.09430.09423.20000.08900.18580.09020.08900.0890330000.08410.21010.08530.08410.08413.40000.07960.18230.08040.07960.07963.5万0.07550.07550.07550.07550.07553.60000.0716-0.11430.07210.07160.0716370000.0681-0.34590.06880.06810.0681380000.0648-0.51360.06550.06480.06483.90000.0617

11、-0.44590.06220.06170.06174.00000.05880.05880.05880.05880.05884.10000.05611.13530.05650.05620.05614.20000.05362.67440.05410.05370.0536430000.05134.06910.05180.05130.05134.40000.04913.94510.04940.04910.04914.5万0.04710.04710.04710.04710.0471460000.0451-10.33450.04530.04510.0451470000.0433-28.66260.0436

12、0.04330.0433480000.0416-50.86440.04190.04150.04164.90000.0400-58.23810.04020.03990.04005.00000.03850.03850.03850.03850.0385图像有：从上图可以看出，当节点数为21时，分段三次和三次样条插值的精度很高，分段线性度稍差。然而，拉格朗日插值在x=0附近的区间中具有良好的精度，但是当|x|3.5时会发生更严重的龙格振荡(参见上表中蓝色粗体字，当x=4.9时，插值实际上达到-58.2381)为了定量比较各种算法的误差，当节点数为21时，上表的数据在1.1，2.0区间内进行处理，没有龙

13、格振荡，结果如下：(其中y1、y2、y3、y4分别是通过拉格朗日、分段线性、分段三次和三次样条插值方法获得的相对误差的绝对值)xy1y2y3y41.10000.00550.01430.01540.00591.20000.01100.02120.02670.00701.3万0.01290.02150.03070.0046140000.00980.01500.02400.00121.50000.00000.00000.00000.00001.6万0.01390.03320.01710.00111.70000.02720.05800.02680.00121.8万0.03270.06580.02920

14、.00041.90000.02490.04730.02080.00052.00000.00000.00000.00000.0000总额0.13790.27620.19070.0218由上表可以看出，在无龙格振荡的条件下，采用不同的插值方法，误差由大到小是：分段线性分段三次拉格朗日三次样条插值。得出结论：从以上比较中，我们可以得出以下结论：一般来说，当节点数增加时，插值精度一般会提高b)当龙格振荡不发生时，分段三次、三次样条插值和拉格朗日插值精度相近，插值效果较好，而分段线性插值不如上述三种，具体误差为分段线性分段三次拉格朗日样条插值c)当节点数增加时，拉格朗日插值方法的龙格振荡会更加剧烈，在区间的末端会出现更大的误差，但区间内的插值效果更好基于以上三点，我们还可以对四种插值方法进行综合评价：a)拉格朗日插值方法：当节点数较少时，插值精度较差，当节点数增加时，可能会发生龙格振荡，导致误差较大，这是其作为高阶插值多项式的固有缺陷。因此，当我们不能评价节点数是否适合所选区间，不能判断插值的突变是否为龙格振荡时，其精度就不能保证，可信度就低。b)分段线性插值：其精度随节点数的增加而单调增加，但在相同情况下，其精度低于分段三次和三次样条插值。因此，在计算机计算中，后两者更有利于保证精