数学分析复旦大学第四版大一(上)考试题

1、 1 数学分析期末考试试题数学分析期末考试试题 一、叙述题：叙述题：（每小题 6 分，共 18 分） 1、 牛顿-莱不尼兹公式 2、 1n n a收敛的 cauchy 收敛原理 3、 全微分 二、计算题计算题： （每小题 8 分，共 32 分） 1、 4 0 2 0 2 sin lim x dtt x x 2、求由曲线 2 xy 和 2 yx 围成的图形的面积和该图形绕 x 轴旋转而成的几何体的体积。 3、求 1 ) 1( n n nn x 的收敛半径和收敛域，并求和 4、已知 z y xu ，求 yx u 2 三、 （每小题 10 分，共 30 分） 1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法

2、并判别级数 1 ! n n n n 2、讨论反常积分 0 1 dxex xp 的敛散性 3、讨论函数列),( 1 )( 2 2 x n xxSn的一致收敛性 四、证明题证明题（每小题 10 分，共 20 分） 1、设)2 , 1( 1 1, 0 1 n nx x x n n n ，证明 1n n x发散 2、证明函数 00 0 ),( 22 22 22 yx yx yx xy yxf 在（0，0）点连续且可偏导，但它 在该点不可微。 ， 参考答案 2 一 、 1 、 设)(xf在 连 续 ，)(xF是)(xf在,ba上 的 一 个 原 函 数 ， 则 成 立 )()()(aFbFdxxf b

3、a 2、, 0. 0N使得Nnm，成立 mnn aaa 21 3、设 2 RD 为开集，,baDyxyxfz),(),(是定义在D上的二元函数， ),( 000 yxP为D中的一定点，若存在只与点有关而与yx ,无关的常数 A 和 B，使得 )( 22 yxoyBxAz则称函数 f 在点),( 000 yxP处是可微的，并称 yBxA为在点),( 000 yxP处的全微分 二、1、分子和分母同时求导 3 1 6 sin2 lim sin lim 5 4 0 6 0 2 0 2 x xx x dtt x x x （8 分） 2、 、两曲线的交点为（0，0） ， （1，1） （2 分） 所求的面积

4、为： 3 1 )( 1 0 2 dxxx（3 分） 所求的体积为： 10 3 )( 1 0 5 dxxx（3 分） 3、 解：设 1 ) 1( )( n n nn x xf，1 ) 1( 1 )2)(1( 1 lim nn nn n ，收敛半径为 1，收敛域 -1，1（2 分） ),10(),1ln( 11 ) 1( )( 1 2 1 xx xxn x xf n n ) 10(),1ln( 1 1)()( 0 xx x x dttfxf x (3 分） x=0 级数为 0，x=1，级数为 1，x=-1，级数为 1-2ln2（3 分） 4、解： y u = z x x z y ln （3 分）

5、yx u 2 zx xxx z y z y 1 ln 1 (5 分） 三、1、解、有比较判别法，Cauchy,DAlembert,Raabe 判别法等（应写出具体的内容 4 分） 1 1 ) 1 1 1 (lim ! ) 1( )!1( lim e n n n n n n n n n n （4 分）由 DAlembert 判别法知级数收敛（1 分） 3 2、解： 1 1 1 0 1 0 1 dxexdxexdxex xpxpxp （2 分） ，对 1 0 1 dxex xp ，由于 )0( 1 11 xexx xpp 故 p0 时 1 0 1 dxex xp 收敛（4 分） ； 1 1 dxe

6、x xp ，由于 )(0 12 xexx xp （4 分）故对一切的 p 1 1 dxex xp 收敛，综上所述 p0，积分 收敛 3、解： 2 2 1 )( n xxSn收敛于x（4 分）0)(suplim ),( xxSn x n 所以函数列一致 收敛性（6 分） 四、证明题证明题（每小题 10 分，共 20 分） 1、证明： 1 1 1 2 3 2 2 1 213 4 2 3 nn n x x x x x x x x n n n )2( , 1 1 2 nx n xn（6 分） 2 1 1 n n 发散，由比较判别法知级数发散（4 分） 2、证明：|0 22 xy yx xy （4 分） 22)0, 0(),( lim yx xy yx =0 所以函数在（0，0）点 连续，（3 分） 又0 0 l