梁保松《线性代数》习题五解答(本人亲自求解)

1、第五章二次型 170 习习 题题 五五 1.判断下列命题是否正确并说明理由. （1）向量的内积仍是向量； 错误，向量的内积是数量； （2）正交向量组一定是线性无关的向量组； 正确，见本章定理 1； （3）若与 12 , 正交，则与 12 , 的任一线性组合也正交； 正确，因与 12 , 正交，即 12 ,0，则 1 1221 1221122 ,0 kkkkkk （4）n维向量空间中的正交向量组所包含向量的个数至多等于n； 正确， 因为正交向量组是线性无关的向量组， 其逆否命题是： 线性相关的向量组一定不是正交向量组， 而对于n维向量组来说，1n个n维向量必定线性相关，因此n维向量空间中的正交向

2、量组至多含有n个 向量. （5） TT 12 (cos , sin ) ,(sin ,cos )是 2 R中的标准正交基； 正确， 12 ,0 ， 12 1 ，故 12 , 正交且长度为 1，故是 2 R中的标准正交基； （6）正交矩阵行列式的值只能是1； 正确，正交矩阵正交矩阵A满足满足 T A A= E， 2 TT 1A A = AAAE，则则1A或或1； （7）若A是正交矩阵，则 T1 , AA及A的伴随矩阵 * A也是正交矩阵； 正确， TTTT TTT1111T1 ,AAAAAAAAAA EE 2 *1111 1AAA AA AAAA TTT EE. （8）正交矩阵的行向量组和列向量

3、组都是标准正交向量组. 正确, 见正交矩阵的性质 5. 3.设, n R ，证明： （1） 2222 2 ； （2） ，则,0 . 22 22 1, , , 2,2 证（） 22 2, , ,0 （ ） 5.设A是实反对称矩阵，证明 1 EAEA是正交矩阵. 证 T= AA,则 第五章二次型 171 1111 11 1 11 11 + += EAEAEAEAEAEAEAEA EAEAEAEAEAEA EAE EAEA EAEAEAEA EAEAE AEE AE AEA A TT T TTTT TT 6.证明（1）设A是正交矩阵，若1 A,则A一定有特征值1； （2）设A是奇数阶正交矩阵，若1A

4、,则A一定有特征值1. 证（1）因 TT ( 1),EAAAAAAEAAEEA 故0EA. （2） TTn ( 1),EAAAAA AEA AEAEEA 故20.E A 10.求齐次线性方程组 1234 1234 1234 0, 30, 230. xxxx xxxx xxxx 解空间的一组标准正交基. 解解 （1）因系数矩阵 11111101 11130012 11230000 ，则原方程等价于 124 34 0, 20. xxx xx 分别令 24 ,1,0 , 0,1xx得基础解系 12 1,1,0,0,1,0,2,1 TT ; (2)将基础解系正交标准化： 11 1,1,0,0, T 2

5、1 221 11 ,111 1,0,2,11,1,0,0,2,1 ,222 T TT ， 1 1 1 122 1,1,0,0,0,0 |222 T T ， 2 2 2 2111142 ,2,1,. |221122222222 TT 12 , 为其解空间的一组标准正交基. 11.判断下列命题是否正确并说明理由. （1） 22 12121212 ( ,)2345f x xxxx xxx是二次型； 错误，二次型是二次齐次多项式； （2）A是3阶实对称矩阵， T 123 ( ,)x x xX，则 T X AX是二次型； 正确，二次型与实对称方阵是一一对应的； （3）等价的矩阵有相同的秩，但相似的矩阵以

6、及合同的矩阵未必有相同的秩； 错误，相似、合同变换都是初等变换，初等变换不改变矩阵的秩； （4）相似或合同的矩阵必等价； 正确，相似、合同变换都是初等变换，经初等变换的矩阵是等价的； （5）合同的矩阵未必相似，相似的矩阵也未必合同； 第五章二次型 172 正确， T1 ,P APP AP BB不能相互推得； （6）合同变换把实对称矩阵仍变为实对称矩阵； 正确，这是合同不变性； （7）n阶方阵经相似变换未必能化为对角矩阵，而n阶实对称矩阵必能通过相似变换化为对角矩阵； 正确 （8）任一实对称矩阵必合同于对角矩阵，即任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形； 正确 （9）可逆线性变换不改变二次型

7、的秩； 正确，可逆矩阵不改变二次型矩阵的秩，即可逆线性变换不改变二次型的秩； （10）二次型通过不同的可逆线性变换化成的标准形是唯一的. 错误，二次型通过不同的可逆线性变换化成的规范形是唯一的 15.判断下列命题是否正确并说明理由. （1）正交变换不改变向量的长度但会改变向量间的夹角； 错误错误，正交变换不改变向量的内积，也就不会改变向量的长度、夹角； （2）对于任一实对称矩阵A，必存在正交矩阵P，使 T1 P APP AP，即实对称矩阵A既合 同又相似于对角矩阵； 正确正确，正交矩阵P满足 1 P T P满足； （3）任一n阶方阵的不同的特征值所对应的特征向量线性无关，而n阶实对称矩阵的不同

8、的特征值 所对应的特征向量线性无关且正交； 正确正确，见有关定理； （4）若二次型 T f X AX对于某一非零的n维向量X，有 T 0f X AX，则该二次型既不是正 定也不是负定的. 正确正确，正定（负定）要求对于任一非零的n维向量X， T ( )0X AX f； （5）一个二次型，若不正定则必负定； 错误错误，除正定、负定外，还有半正定（ T 0X AX ） 、半负定（ T 0X AX ） 、不定等情形； （6）n元实二次型正定的充要条件是其负惯性指标等于 0； 错误，n元实二次型正定的充要条件是其正惯性指标等于n，这与负惯性指标等于 0 的意义不同； （7）n元实二次型正定的充要条件是

9、其正惯性指标等于二次型的秩. 错误，n元实二次型正定的充要条件是其正惯性指标等于n，而二次型的矩阵不一定满秩； （8）n阶实对称矩阵A正定的充要条件是其n个特征值非负； 错误，n阶实对称矩阵A正定的充要条件是其n个特征值大于零，而不是非负； （9）若0A，则A必不正定； 正确，因为A正定，则0A ，其逆否命题为：0A，则A必不正定； （10）若A主对角线上的元素不全为正，则A必不正定. 正确，因A正定，其主对角线上的元素大于零；其逆否命题为：A主对角线上的元素不全为正，则A 必不正定. 18.把曲线 22 1212 61xxx x用正交变换化为标准曲线，并指出该曲线的类型. 解解 1 22 1

10、21212 2 13 6, 31 T x fxxx xx xX AX x ， 第五章二次型 173 （1） 13 42 31 EA ,特征值 12 4,2 ； （2） 对于特征值 1 4， 因 3311 4 3300 EA ， 解 12 0.xx得基础解系 T 1 (1, 1)； 对于特征值 2 2 ，因 3 311 2 330 0 E A ，解 12 0.xx得其基础解系 T 2 (1,1)； （3） 12 , 正交，将其单位化. 1 1 1 122 (1,1), |222 T T ， 2 2 2 122 1,1, |222 得正交矩阵 22 22 22 22 Q . (4)即经过正交变换X

11、QY，将二次型化为标准形 22 12 42yy，即把曲线 22 1212 61xxx x化为 22 12 421yy，此为双曲线. 19.三阶实对称矩阵A的特征值是1,1,1， 特征值1对应的特征向量为 T (0,1,1),求矩阵A及特征值1 对应的特征向量. 解设矩阵A的属于1的特征向量为 T 123 ( ,) ,x x x 由于实对称矩阵的不同特征值所对应的特 征向量正交，故有 T 123 0.xx 解此方程组得到的解向量 TT 23 (1,0,0) ,(0,1, 1) 是矩阵A 的属于1的线性无关的特征向量. 由 112233 1 ,1,1AAA ，得 123123 ( ,)(,) A，

12、因 123 , 线性无关，知 123 ( ,) 可逆，得 1 123123 (,)( ,) A 01001 21 2100 101100001 . 10101 21 2010 22.t取何值时，矩阵 112 10 20 t t 是正定的？ 解解 讨论矩阵的各阶顺序主子式： 123 112 1 1 110,10,1050 1 20 ttt t t t ，得5t . 23.求t的取值范围，使二次型 222 123123121323 ( ,)44224f x x xxxxtx xx xx x为正定二次型. 第五章二次型 174 解解 1 1231232 3 11 ( ,)( ,)42 124 T t

13、x f x x xx x xtxX AX x ，讨论A的各阶顺序主子式： 2 123 11 1 110,40,424 210 4 124 t t tttt t ， 得21t . 24.设A是n阶正定矩阵，证明： （1） 1 A是正定矩阵； （2）若M是是n阶可逆方阵，则 T M AM也是正定矩阵. 证（1）A正定，故A为实对称矩阵且| 0A ，因而 1 TT11 ()(),AAA 即 1 A为实对称矩阵. 设A的特征值为，则 1 A的特征值为1/. 由A正定，A的特征值0,则 1 A的特征值 1/0,故 1 A正定. （2）因A正定，故 T AA，从而 T TT M AMM AM, T M AM为实对称矩阵； 因M可逆， 作可逆线性变换,YMX则由XO时，有.YO于是由A正定，得到 TTTT ()()0.XM AM XMXA MXY AY 故实二次型 TT XM AM X正定，从而 T M AM为正定矩