全国名校高中数学题库椭圆

1、椭圆题库椭圆题库 1 1 E、 、F是椭圆是椭圆x 2y 4的左、右焦点， 的左、右焦点，l是椭圆的右准线，点是椭圆的右准线，点Pl，过点，过点E的直线的直线 22 交椭圆于交椭圆于A、B两点两点. . （1 1） 当当AE AF时，求时，求AEF的面积；的面积； y （2 2） 当当AB 3时，求时，求AF BF的大小；的大小； （3 3） 求求EPF的最大值的最大值. . B EO A P M Fx 解：解： （1 1） mn 4 1 Smn 2 AEF 22 2 m n 8 （2 2）因）因 AE AF 4 AB AF BF 8， BE BF 4 则则 AF BF 5. （1 1） 设设

2、P(2 2,t)(t 0) tanEPF tan(EPM FPM) (3 2 23 222 2t2 23 )(1) ， ttt2t26t 6t13 3 EPF 30o 3 当当t 6时， 时，tanEPF x2y2 2 2 已知椭圆已知椭圆 2 2 1(a b 0)的左、右焦点分别是 的左、右焦点分别是 F F1 1（c c，0 0） 、F F2 2（c c，0 0） ，QQ 是是 ab 椭圆外的动点，满足椭圆外的动点，满足|F 1Q |2a.点 点 P P 是线段是线段 F F1 1Q Q 与该椭圆的交点，点与该椭圆的交点，点 T T 在线段在线段 F F2 2QQ 上，上， 并且满足并且满

3、足PT TF 2 0,|TF 2 |0. （1 1）求点）求点 T T 的轨迹的轨迹 C C 的方程；的方程； （2 2）试问：在点）试问：在点 T T 的轨迹的轨迹 C C 上，是否存在点上，是否存在点 MM， 2使使F F1 1MFMF2 2的面积的面积 S=S=b .若存在，求 若存在，求F F1 1MF MF2 2 的正切值；若不存在，请说明理由的正切值；若不存在，请说明理由. . （1 1）解）解 ：设点：设点 T T 的坐标为的坐标为(x, y). 当当| PT | 0时，点（时，点（a，0 0）和点（）和点（a，0 0）在轨迹上）在轨迹上. . 当当| |PT|0且|TF 2 |

4、0 时，由时，由| PT |TF 2 | 0，得 ，得PT TF 2 . . 又又|PQ|PF 2 | ，所以，所以 T T 为线段为线段 F F2 2Q Q 的中点的中点. . 在在QFQF1 1F F2 2中，中，|OT| 1 | F 1Q | a ，所以有，所以有x2 y2 a2. 2 222综上所述，点综上所述，点 T T 的轨迹的轨迹 C C 的方程是的方程是x y a . （2 2）解：）解：C C 上存在点上存在点 MM（x 0 , y 0 ）使）使 S=S=b2的充要条件是的充要条件是 22 x 0 y 0 a2, 1 2 2c | y 0 | b . 2 2 b2 . 所以，

5、当所以，当a b 时，存在点时，存在点 MM，使，使 S=S=b2； ； 由得由得| y 0 | a，由得 ，由得|y 0 | c c 2 当当 a b 时，不存在满足条件的点时，不存在满足条件的点M.M. c 2b 当当a 时，时，MF 1 (c x 0 ,y 0 ),MF 2 (c x 0 ,y 0 ) ， c 222222由由MF ，MF x c y a c b 1200 MF 1 MF 2 | MF 1 | MF 2 |cosF 1MF2 ， S 1 | MF 1 | MF 2 |sinF 1MF2 b2，得，得tanF 1MF2 2. 2 x2 y21，双曲线，双曲线 C C2 2的

6、左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 C C1 1的左、右顶点，的左、右顶点，3 3 已知椭圆已知椭圆 C C1 1的方程为的方程为 4 而而 C C2 2的左、右顶点分别是的左、右顶点分别是 C C1 1的左、右焦点的左、右焦点. . （）求双曲线（）求双曲线 C C2 2的方程；的方程； （）若直线（）若直线l : y kx 2与椭圆 与椭圆 C C1 1及双曲线及双曲线 C C2 2都恒有两个不同的交点，且都恒有两个不同的交点，且l l 与与 C C2 2 的两个交点的两个交点 A A 和和 B B 满足满足OAOB 6（其中（其中 OO 为原点）为原点） ，求，求 k k 的取值范围的取

7、值范围. . 22xy 解：解： （）（） 设双曲线设双曲线 C C2 2的方程为的方程为 2 2 1， ， 则则a2 413,再由a2 b2 c2得b21. ab x2 y21.故故 C C2 2的方程为的方程为 3 x2 y21得(14k2)x28 2kx 4 0. （II II）将）将y kx 2代入 4 由直线由直线 l l 与椭圆与椭圆 C C1 1恒有两个不同的交点得恒有两个不同的交点得 1 (8 2)2k216(1 4k2) 16(4k21) 0, 即即k2 1 . 4 x2 将y kx 2代入 y21得(13k2)x26 2kx 9 0. . 3 由直线由直线 l l 与双曲线

8、与双曲线 C C2 2恒有两个不同的交点恒有两个不同的交点 A A，B B 得得 2 13k 0, 222 2 (6 2k) 36(13k ) 36(1k ) 0. 1 即k2且k21. 3 设A(x A , y A ),B(x B , y B ),则x A x B 6 2k9 ,x x AB 13k213k2 由OAOB 6得x A x B y A y B 6,而 x A x B y A y B x A x B (kx A 2)(kx B 2) (k21)x A x B 2k(x A x B ) 2 (k 1) 2 96 2k 2k 2 2213k13k 3k2 7 . 23k 1 3k2

9、715k213 于是 2 6,即 0.解此不等式得 解此不等式得 23k 13k 1 k2 131 或k2. 153 由、得由、得 1113 k2或 k21. 4315 故故 k k 的取值范围为的取值范围为(1, 13311313 )(,)( ,)( ,1) 15322315 4 4已知某椭圆的焦点是已知某椭圆的焦点是F F1 1（4 4，0 0） 、F F2 2（4 4，0 0） ，过点，过点F F2 2，并垂直于，并垂直于x x轴的直线与椭圆轴的直线与椭圆 的一个交点为的一个交点为B B，且，且F F1 1B BF F2 2B B1010椭圆上不同的两点椭圆上不同的两点A A（x x1

10、1，y y1 1） 、C C（x x2 2，y y2 2） 满足条件：满足条件：F F2 2A A、F F2 2B B、F F2 2C C成等差数列成等差数列. . （1 1）求该椭圆的方程；）求该椭圆的方程； （2 2）求弦）求弦ACAC中点的横坐标；中点的横坐标； （3 3）设弦）设弦ACAC的垂直平分线的方程为的垂直平分线的方程为y ykxkxmm，求，求mm的取值范围的取值范围. . y A B F 1 （1 1）解：由椭圆定义及条件知）解：由椭圆定义及条件知 C xO F2 B 2 2a aF F1 1B BF F2 2B B1010，得，得a a5.5.又又c c4 4，所以所以b

11、 b a2 c23 3 y2x2 故椭圆方程为故椭圆方程为1 1 259 （2 2）解：由点）解：由点B B（4 4，y yB B）在椭圆上，得）在椭圆上，得F F2 2B By yB B 方法一：因为椭圆右准线方程为方法一：因为椭圆右准线方程为x x 9 5 425 ，离心率为，离心率为 54 425425 根据椭圆定义，有根据椭圆定义，有F F2 2A A（x x1 1） ，F F2 2C C（x x2 2） 5544 由由F F2 2A A、F F2 2B B、F F2 2C C成等差数列，得成等差数列，得 4254259 （x x1 1）（x x2 2）2 2 由此得出由此得出x x1

12、 1x x2 28 8 55544 x x28 设弦设弦ACAC的中点为的中点为P P（x x0 0，y y0 0） ，则则x x0 014 4 22 （3 3）解法一：由）解法一：由A A（x x1 1，y y1 1） ，C C（x x2 2，y y2 2）在椭圆上，得）在椭圆上，得 9 9x x1 12 22525y y1 12 29 9 2525， 9 9x x2 22 22525y y2 22 29 9 2525 由得由得 9 9（x x1 12 2x x2 22 2）2525（y y1 12 2y y2 22 2）0 0， y y 2 x x2y y2 即即 9 9（1）2525（1

13、） （1）0 0（x x1 1 x x2 2）. . x1 x222 y y 2 x1 x2y y 2 1 x x0 0=4=4，1y y0 0，1（k k 0 0）代入上式，得）代入上式，得 x1 x222k 1 9 9 4 42525y y0 0（）0 0（k k 0 0） k 25 由上式得由上式得k ky y0 0（当（当k k0 0 时也成立）时也成立）. . 36 将将 由点由点P P（4 4，y y0 0）在弦）在弦ACAC的垂直平分线上，得的垂直平分线上，得y y0 04 4k kmm， 所以所以mmy y0 04 4k ky y0 0 2516 y y0 0y y0 0 99

14、 99 y y0 0. . 55 由由P P（4 4，y y0 0）在线段）在线段BBBB（B B与与B B关于关于x x轴对称）的内部，得轴对称）的内部，得 所以所以 1616 mm 55 5 5 设设x x、y yR R，i i、j j为直角坐标平面内为直角坐标平面内x x、y y轴正方向上的单位向量，轴正方向上的单位向量， 若向量若向量a a= =xixi+ +（y y+2+2） j j，b b= =xixi+ +（y y2 2）j j，且，且| |a a|+|+|b b|=8.|=8. （1 1）求点）求点MM（x x，y y）的轨迹）的轨迹C C的方程的方程. . （2 2）过点（）

15、过点（0 0，3 3）作直线）作直线l l与曲线与曲线C C交于交于A A、B B两点，设两点，设OP= =OA+ +OB，是否存在，是否存在 这样的直线这样的直线l l，使得四边形，使得四边形OAPBOAPB是矩形？若存在，求出直线是矩形？若存在，求出直线l l的方程；若不存在，试说明的方程；若不存在，试说明 理由理由. . （1 1）解：）解：a a= =xixi+ +（y y+2+2）j j，b b= =xixi+ +（y y2 2）j j，且，且| |a a|+|+|b b|=8|=8， 点点MM（x x，y y）到两个定点）到两个定点F F1 1（0 0，2 2） ，F F2 2（0

16、 0，2 2）的距离之和为）的距离之和为 8.8. y2x2 轨迹轨迹C C为以为以F F1 1、F F2 2为焦点的椭圆，方程为为焦点的椭圆，方程为+ +=1.=1. 1216 （2 2）l l过过y y轴上的点（轴上的点（0 0，3 3） ， 若直线若直线l l是是y y轴，则轴，则A A、B B两点是椭圆的顶点两点是椭圆的顶点. . OP= =OA+ +OB=0=0， P P与与OO重合，与四边形重合，与四边形OAPBOAPB是矩形矛盾是矩形矛盾. . 直线直线l l的斜率存在的斜率存在. .设设l l方程为方程为y y= =kxkx+3+3，A A（x x1 1，y y1 1） ，B

17、B（x x2 2，y y2 2） ， y y= =kxkx+3+3， 由 消 y 得（4+3k2）x2+18kx21=0.此时，=（18k2）4（4+3k2） y2x2 + +=1=1， 1216 （2121）0 0 恒成立，且恒成立，且x x1 1+ +x x2 2= = 18k21 ，x x. . 1 1x x2 2= = 4 3k24 3k2 OP= =OA+ +OB，四边形，四边形OAPBOAPB是平行四边形是平行四边形. .若存在直线若存在直线l l，使得四边形，使得四边形OAPBOAPB是是 矩形，则矩形，则OAOAOBOB，即，即OA OB=0.=0. OA= =（x x1 1，

18、y y1 1） ，OB= =（x x2 2，y y2 2） ， OA OB= =x x1 1x x2 2+ +y y1 1y y2 2=0=0， 即（即（1+1+k k2 2）x x1 1x x2 2+3+3k k（x x1 1+ +x x2 2）+9=0+9=0， 即（即（1+1+k k2 2） （ 52118k5 2 2= =）+3+3k k（ ）+9=0+9=0，即，即k k，得，得k k= = . . 4164 3k24 3k2 5 x x+3+3，使得四边形，使得四边形OAPBOAPB是矩形是矩形. . 4 存在直线存在直线l l：y y= = x2 y21的左、右焦点的左、右焦点.

19、 .6 6 设设F 1、 、F 2 分别是椭圆分别是椭圆 4 （）若（）若P是该椭圆上的一个动点，求是该椭圆上的一个动点，求PF 1 PF 2 的最大值和最小值的最大值和最小值; ; （）（）设过定点设过定点M(0,2)的直线的直线l与椭圆交于不同的两点与椭圆交于不同的两点A、B，且且AOB为锐角为锐角（其中（其中O 为坐标原点）为坐标原点） ，求直线，求直线l的斜率的斜率k的取值范围的取值范围. . 解：解： （）（） ：易知：易知a 2,b 1,c 所以所以F 1 3,0 ,F 2 3 3,0 ，设，设Px,y，则，则 uuu r uuu u r PF 1 PF 2 3 x,y , x21

20、 3 x,y x y 3 x 13 3x28 44 222 uuu r uuu u r 因为因为x2,2，故当，故当x 0，即点，即点P为椭圆短轴端点时，为椭圆短轴端点时，PF 1 PF 2 有最小值有最小值2 uuu r uuu u r 当当x 2，即点，即点P为椭圆长轴端点时，为椭圆长轴端点时，PF 1 PF 2 有最大值有最大值1 （）显然直线（）显然直线x 0不满足题设条件，可设直线不满足题设条件，可设直线l: y kx2,Ax 1,y2 ,Bx 2,y2 ， ， y kx2 2 1 2联立联立 x 2 ，消去，消去y，整理得：，整理得：k x 4kx3 0 24 y 1 4 x 1

21、x 2 4k 1 k2 4 ,x 1 x 2 3 1 k2 4 由由 4k 4k 2 33 1 2k k 3 4k 3 0得：得： 或或 224 uuu r uuu r 又又0 A0B 90 cosA0B 0 OAOB 000 uuu r uuu r OAOB x 1x2 y 1 y 2 0 8k2k21 4 又又y 1 y 2 kx 1 2kx 2 2 k x 1x2 2k x 1 x 2 4 111 k2k2k2 444 2 3k2 k21 0，即，即k2 4 2 k 2 11 k2k2 44 3 故由、得故由、得2 k 33 k 2 或或 22 x2 y21交于 交于 A A、B B 两

22、点，记两点，记AOBAOB 的面积为的面积为 S S 7 7 如图，直线如图，直线 y ykxkxb b与椭圆与椭圆 4 (I)(I)求在求在k k0 0，0 0b b1 1 的条件下，的条件下，S S 的最大值；的最大值； （) )当当ABAB2 2，S S1 1 时，求直线时，求直线 ABAB 的方程的方程 B O y A x (I)(I)解：设点解：设点 A A 的坐标为的坐标为( (x 1,b) ，点，点 B B 的坐标为的坐标为(x2,b)， x2 y21，解得 ，解得x 1,2 2 1b2由由 4 所以所以S 1 b| x 1 x 2 | 2b 1b2 b21b21 2 2 时，时

23、， S S 取到最大值取到最大值 1 1 2 当且仅当当且仅当b y kxb （）解：由（）解：由 x 2 得得 2 y 1 4 (4k21)x28kbx4b24 0 16(4k2b21) ABAB1k | x 1 x 2 | 1k 22 16(4k2b21) 2 24k 1 又因为又因为 OO 到到 ABAB 的距离的距离d |b| 1 k2 2S 1所以所以b2 k21 | AB | 代入并整理，得代入并整理，得4k44k21 0 解得，解得，k2 1 2 3 ,b ，代入式检验，代入式检验，0 0 22 故直线故直线 ABAB 的方程是的方程是 y 26262626 xxxx 或或y 或

24、或y 或或y 22222222 x2y2 8 8 已知椭圆已知椭圆C C： 2 2 1 1（a ab b0 0）的左右焦点为）的左右焦点为F F1 1、F F2 2，离心率为，离心率为e e 直线直线, ,l l： ab y yexexa a与与x x轴轴y y轴分别交于点轴分别交于点A A、B B，MM是直线是直线l l与椭圆与椭圆C C的一个公共点，的一个公共点，P P是点是点F F1 1 关于直线关于直线l l的对称点，设的对称点，设AMAB （）证明：（）证明：1 1e e2 2； （）若（）若 3 ，MFMF1 1F F2 2的周长为 的周长为 6 6；写出椭圆；写出椭圆C C的方程

25、；的方程； （理科无此问）（理科无此问） 4 （）确定的值，使得（）确定的值，使得PFPF1 1F F2 2是等腰三角形是等腰三角形 （）证法一：因为（）证法一：因为A A、B B分别是直线分别是直线l l：y ex a与与x x轴、轴、y y轴的交点，所以轴的交点，所以A A、B B y ex a, x c, a 22由 x 2y2 得的坐标分别是的坐标分别是(,0),(0,a). b2 这里c a b e 2 2 1, y . aba b2a b2a 所以点所以点MM的坐标是（的坐标是（c, ） 由由AM AB得(c ,) (,a). aeae a a c ee 即即 2 b a a （）

26、（）当当 解得1e2 31 时，时，c ，所以所以a 2c.由由MFMF1 1F F2 2的周长为 的周长为 6 6，得得2a 2c 6. 42 222 x2y2 1.所以所以a 2,c 1,b a c 3. 椭圆方程为椭圆方程为 43 （）因为（）因为PFPF1 1l l，所以，所以PFPF1 1F F2 2=90=90 + + BAFBAF 1 1 为钝角，要使为钝角，要使PFPF1 1F F2 2为等腰三角形，为等腰三角形， 必有必有| |PFPF1 1|=|=|F F1 1F F2 2| |，即，即 1 | PF 1 | c. 2 1| e(c) 0 a | a ec | | PF 1

27、 | d c, 22 2 1 e1 e 设点设点F F1 1到到l l的距离为的距离为d d，由，由 得得 1e212 e.所以所以e2,于是1e2 . 33 1e2 即当即当 2 时, PFPF1 1F F2 2为等腰三角形为等腰三角形 3 x2y2 9 9 如图如图, ,椭圆椭圆Q: 2 2 1(a b0)的右焦点为 的右焦点为F(c,0), ,过点过点F的一动直线的一动直线m绕点绕点F ab 转动转动, ,并且交椭圆于并且交椭圆于A、B两点两点, , P为线段 为线段AB的中点的中点 (1)(1)求点求点P的轨迹的轨迹H的方程的方程; ; 22(2)(2) 若在若在Q的方程中的方程中,

28、,令令a 1cossin,b sin(0 2 ).确定 确定的值的值, ,使原使原 点距椭圆点距椭圆Q的右准线的右准线l最远最远此时设此时设l与与x轴交点为轴交点为D, ,当直线当直线m绕点绕点F转动到什么位置时转动到什么位置时, , 三角形三角形ABD的面积最大的面积最大? ? 解：如图解：如图 x2y2 (1)(1)设椭圆设椭圆Q: 2 2 1上的点 上的点A(x 1, y 1) 、B(x2,y2), ,又设又设P点坐标为点坐标为P(x, y)，则，则 ab 222222 b x1 a y 1 a b 222222 b x2 a y 2 a b 1 当当AB不垂直不垂直x轴时，轴时，x 1

29、 x 2 , 由得由得 b2(x 1 x 2 )2xa2(y 1 y 2 )2y 0, y 1 y 2 b2xy 2 , x 1 x 2 a yxc b2x2a2y2b2cx 0,L L L L (*) 2当 当 AB 垂直于垂直于x轴时，点轴时，点P即为点即为点F，满足方程（，满足方程（* *） 故所求点故所求点P的轨迹的轨迹H的方程为：的方程为：b x a y b cx 0 22222 a2a2 (2)(2)因为因为, ,椭圆椭圆Q右准线右准线l方程是方程是x , ,原点距椭圆原点距椭圆Q的右准线的右准线l的距离为的距离为 , , cc 由于c2 a2b2,a21cossin,b2 sin

30、(0 b b00） ，设设 2 2 2 2 c c00，c c2 2a a2 2b b2 2，由条件知由条件知 2 2c c2 2 a-ca-c， ， 2 2a a2 2 a a1 1，b bc c， 故故C C的方程为：的方程为：y y2 21 1 1 1 2 2 （2 2） 由由APAP PBPB得得OPOPOAOA （OBOBOPOP） ，（1 1 ）OPOPOAOA OBOB， 1 14 4， 3 3 设设l l与椭圆与椭圆C C交点为交点为A A（x x1 1，y y1 1） ，B B（x x2 2，y y2 2） x x2 2 y y kxkxmm 得（得（k k2 22 2）x

31、x2 22 2kmxkmx（mm2 21 1）0 0 2 22 2 2 2x xy y1 1 （2 2kmkm）2 24 4（k k2 22 2） （mm2 21 1）4 4（k k2 22 2mm2 22 2）00 （* *） 2 2kmkmmm2 21 1 x x1 1x x2 2 2 2 ，x x1 1x x2 2 2 2 k k2 2k k2 2 x x1 1 x x2 22 2x x2 2 APAP3 3PBPBx x1 13 3x x2 2 2 2 x x1 1x x2 2 3 3x x2 2 2 2kmkmmm2 21 1 消去消去x x2 2，得，得 3 3（x x1 1x x

32、2 2）2 24 4x x1 1x x2 20 0，3 3（ 2 2 ）2 24 4 2 2 0 0 k k2 2k k2 2 整理得整理得 4 4k k2 2mm2 22 2mm2 2k k2 22 20 0 1 11 12 22 2mm2 2 mm2 2 时，上式不成立；时，上式不成立；mm2 2 时，时，k k2 2， 4 44 44 4mm2 21 1 2 22 2mm2 21 11 1 2 2因因 3 3 k k 0 0 k k00，11m m 或或 mm122mm2 22 2 成立，所以（成立，所以（* *）成立）成立 1 11 1 即所求即所求mm的取值范围为（的取值范围为（1

33、1， ）（）（ ，1 1） 2 22 2 rrrr 2626 设向量设向量a (0,2),b (1,0)，过定点，过定点A(0,2)，以，以ab方向向量的直线与经过点方向向量的直线与经过点 rr B(0,2)，以向量，以向量b2a为方向向量的直线相交于点 为方向向量的直线相交于点P P，其中，其中R （1 1）求点）求点 P P 的轨迹的轨迹 C C 的方程；的方程； uuuu r uuu r （2 2）设过）设过E(1,0)的直线的直线l与与 C C 交于两个不同点交于两个不同点 MM、NN，求，求EM EN的取值范围的取值范围 rr 解：解： （1 1）设）设P(x, y) a (0,2)

34、,b (1,0)， rrrr a b (0,2)(1,0) (,2)，b2a (1,0)2(0,2) (1,4) rr 过定点过定点A(0,2)，以，以ab方向向量的直线方程为：方向向量的直线方程为：2x(y 2) 0 rr 过定点过定点P(0,2)，以，以b2a方向向量的直线方程为：方向向量的直线方程为：4x y 2 0 联立消去联立消去得：得：8x y 4求点 求点 P P 的轨迹的轨迹 C C 的方程为的方程为8x y 4 2222 （2 2）当过）当过E(1,0)的直线的直线l与与x轴垂直时，轴垂直时，l与曲线与曲线C无交点，不合题意，无交点，不合题意， 设直线设直线l的方程为：的方程

35、为：y k(x1)，l与曲线与曲线C交于交于M(x 1, y1)、N(x2 , y 2 ) y k(x1) 2222(8k )x 2k xk 4 0由由 22 8x y 4 V 4k44(8k2)(k24) 0 2 2 k 2 2 uuuu ruuu r 2k2 EM (x 1 1, y 1),EN (x2 1, y 2 ) x 1 x 2 2k 8 k24 x1x2 2k 8 uuuu r uuu r EM EN (x 1 1, y 1)(x2 1, y 2 ) x 1x2 x 1 x 2 1 y 1y2 k242k2 x 1x2 x 1 x 2 1k (x 1x2 x 1 x 2 1) (

36、1k )( 2 1) k 8k28 22 uuuu r uuu r 4(1k2)281 9 2 2 4 2 0 k 8， ，EM EN的取值范围是 的取值范围是 , ) k 8k 82 4 2727 已知曲线已知曲线C的方程为：的方程为：kx (4 k)y k 1(k R)22 （1 1）若曲线）若曲线C是椭圆，求是椭圆，求K的取值范围；的取值范围； （2 2）若曲线）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角为是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角为 ，求此双曲线的方程，求此双曲线的方程. . 3 x2y2 1解：解： （1 1）当）当k 0且k 1且k 4时,方程为: k 1k 1 k4k k 1

37、 k 0 k 1 0 0 k 2或2 k 4它表示椭圆的充要条件是它表示椭圆的充要条件是 4k k 1k 1 k 4k （2 2）方程表示双曲线的充要条件是：方程表示双曲线的充要条件是：k 1 k 10 k 1或1 k 0或k 4 k4 k k 1 2 k 1 当当k 1或k 4时两焦点在x轴上:a2,b kk 4 b 其一条渐近线斜率为：其一条渐近线斜率为： 3,解得:k=6(4,+) a x2y2 1此时双曲线的方程为：此时双曲线的方程为： 77 62 当当1 k 0时，双曲线焦点在，双曲线焦点在 y y 轴上：轴上：a2 k 1 2 k 1 ,b 4kk 其一条渐近线斜率为：其一条渐近线

38、斜率为： b 3,解得:k=6(-1,0) a x2y2 1综上可得双曲线方程为：综上可得双曲线方程为： 77 62 2828 如图所示，已知圆如图所示，已知圆x3 y2100，定点 ，定点 A A（3,03,0） ，MM 为圆为圆 C C 上一动点，点上一动点，点 P P 在在 2 uuuu ruuu r uuu r uuuu r AMAM 上，点上，点 NN 在在 CMCM 上，且满足上，且满足AM 2AP,NPgAM 0，点 ，点 NN 的轨迹为曲线的轨迹为曲线 E E。 （1 1）求曲线）求曲线 E E 的方程；的方程； （2 2）求过点）求过点 QQ（2,12,1）的弦的中点的轨迹方

39、程。）的弦的中点的轨迹方程。 uuuu ruuu r uuu r uuuu r 解：解： （1 1）AM 2AP,NPgAM 0 NP为为AM的中垂线，的中垂线，NA NM2 2 分分 又因为又因为CN NM 10，所以，所以CN NA 10 6 所以动点所以动点N的轨迹是以点的轨迹是以点C(3,0)和和A(3,0)为焦点的椭圆，为焦点的椭圆， 且且2a 10 x2y2 1； ； 所以曲线所以曲线E的方程为：的方程为： 2516 （2 2）设直线与椭圆交与）设直线与椭圆交与G(x 1 , y 1 ),H(x 2 , y 2 )两点，中点为 两点，中点为S(x0, y0) 由点差法可得：弦的斜率

40、由点差法可得：弦的斜率k 16x 0 y 1 y 2 16(x 1 x 2 ) x 1 x 2 25(y 1 y 2 )25y 0 y 0 1 ， x 0 2 由由S(x 0 , y 0 )， ，QQ（2,12,1）两点可得弦的斜率为）两点可得弦的斜率为k 所以所以k y 0 116x 0 ， x 0 225y 0 22化简可得中点的轨迹方程为：化简可得中点的轨迹方程为：16x 25y 32x 25y 0 x2y23 2929 已知椭圆已知椭圆C 1 : 2 2 1(a b 0)的离心率为 的离心率为 ，直线，直线l: :y x2与以原点为圆与以原点为圆 3ab 心，以椭圆心，以椭圆C C1

41、1的短半轴长为半径的圆相切的短半轴长为半径的圆相切. . （1 1）求椭圆）求椭圆C C1 1的方程；的方程； （2 2）设椭圆）设椭圆C C1 1的左焦点为的左焦点为F F1 1，右焦点，右焦点F F2 2，直线，直线l 1 过点过点F F1 1且垂直于椭圆的长轴，动直线 且垂直于椭圆的长轴，动直线l 2 垂直垂直l 1 于点于点P P，线段，线段PFPF2 2垂直平分线交 垂直平分线交l 2 于点于点MM，求点，求点MM的轨迹的轨迹C C2 2的方程； 的方程； （3 3）设）设C C2 2与与x x轴交于点轴交于点QQ，不同的两点，不同的两点R R，S S在在C C2 2上，且满足上，且

42、满足QRRS 0，求，求|QS |的的 取值范围取值范围. . c2a2b213 222, 2a 3b .解：解： （1 1）e ，e 2 233aa 2 2 22 22 2直线直线l l：x xy y+2=0+2=0 与圆与圆x x+ +y y= =b b相切，相切， 2 = =b b， b b= = 2 ，b b2 2=2=2， a a3 3=3.=3. x2y2 1.椭圆椭圆C C1 1的方程是的方程是 32 （2 2）MPMPMFMF， 动点动点MM到定直线到定直线l l1 1：x x1 1 的距离等于它的定点的距离等于它的定点F F2 2（1 1，0 0）的距离，）的距离， 动点动点

43、MM的轨迹是以的轨迹是以l l1 1为准线，为准线，F F2 2为焦点的抛物线，为焦点的抛物线， 点点MM的轨迹的轨迹C C2 2的方程为的方程为y 4x。 。 2 2y 1 2y 2（3 3）QQ（0 0，0 0） ，设，设R(, y 1 ),S(, y 2 )， ， 44 2y 1 2y 2 y 1 2 QR (, y 1 ),RS (, y 2 y 1 )， ， 44 2y 1 2(y 2 y 1 2) y 1 (y 2 y 1 ) 0， ， 由由QRRS 0得得 16 16 Q y 1 y 2 ，化简得化简得y 2 y 1 ， y 1 2y 2 y 1 2 256 2 256 32 2

44、 y32 64 1 y 1 2y 1 2 256 22当且仅当当且仅当y 1 2 ,y 1 16,y 1 14时等号成立， 时等号成立， y 1 2 uuu r y 2 1 22Q |QS |()2 y 2 (y 2 8)264，又，又y y2 22 2 64 64， 44 2当当y 2 64,y 2 8时,|QS | min 8 5 . . 故故|QS |的取值范围是的取值范围是8 5,). . x2y231 3030、 已知椭圆已知椭圆 2 2 1(ab 0)过点(1, ),且离心率为,A,B是椭圆上纵坐标不为 是椭圆上纵坐标不为 22ab 零的两点，若零的两点，若AF FB(R),且|

45、AF | FB|,其中其中 F F 为椭圆的左焦点为椭圆的左焦点 （）求椭圆的方程；（）求椭圆的方程； （）求线段（）求线段 ABAB 的垂直平分线在的垂直平分线在 y y 轴上的截距的取值范围轴上的截距的取值范围 解：解： （）由已知，得（）由已知，得 9 1 a 24b2 1, x2y2 c 1 22解得a 4,b 3,故椭圆方程为1. , a243 a2 b2 c2, （）（）A A、B B是椭圆上纵坐标不为零的点，是椭圆上纵坐标不为零的点，AF FB,且| AF | FB|, A A、F F、B B三点共线，且直线三点共线，且直线 ABAB 的斜率存在且不为的斜率存在且不为 0.0.

46、x2y2 1,并整理得 并整理得 又又 F F（1 1，0 0） ，则可记，则可记 ABAB 方程为方程为y k(x 1),代入 43 (3 4k2)x28k2x 4k212 0. 显然显然00，设，设A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),AB中点为M(x 0 ,y 0 ). x 1 x 2 -4k23k x 0 , y k(x 1) . 00 2223 4k3 4k 直线直线 ABAB 的垂直平分线方程为的垂直平分线方程为y y 0 令令x=x=0 0，得，得y 1 (x x 0 ). k k 3 4k2 1 3 4k k , | 4k 4k 33 | 4 3,当且仅当| k

47、| 时取 “= =”号，”号， k2 33 4 3,或4k 4 3 ， kk 33 ,0(0, . 1212 所以所求的取值范围是所以所求的取值范围是 3131 在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为 2 2 的圆，从这个圆上任意一点的圆，从这个圆上任意一点P P 向向y y轴作垂线段轴作垂线段PPPP，P P为垂足为垂足. . （1 1）求线段）求线段PPPP中点中点MM的轨迹的轨迹C C的方程；的方程； （2 2） 过点过点QQ( (2,0)2,0)作直线作直线l l与曲线与曲线C C交于交于A A、B B两点，两点， 设设NN是过点是

48、过点 ( 4 ,0) ， 且以且以a (0,1) 17 为方向向量的直线上一动点，满足为方向向量的直线上一动点，满足ON OAOB（OO为坐标原点）为坐标原点） ，问是否存在这样的，问是否存在这样的 直线直线l l，使得四边形，使得四边形OANBOANB为矩形？若存在，求出直线为矩形？若存在，求出直线l l的方程；若不存在，说明理由的方程；若不存在，说明理由. . 解：解： （1 1）设）设MM( (x x，y y) )是所求曲线上的任意一点，是所求曲线上的任意一点，P P（x x1 1，y y1 1）是方程）是方程x x2 2+ +y y2 2=4=4 的圆上的的圆上的 任意一点，则任意一点

49、，则 P (0,y 1). x 1 x x 2x2 ,即 1,代入4x2 y2 4 得，得， 则有：则有： y1 y y y 1 y 1 2 y2 1.轨迹轨迹C C的方程为的方程为x 4 2 （1 1）当直线）当直线l l的斜率不存在时，与椭圆无交点的斜率不存在时，与椭圆无交点. . 所以设直线所以设直线l l的方程为的方程为y y = =k k( (x x+2)+2)，与椭圆交于，与椭圆交于A A( (x x1 1，y y1 1) )、B B( (x x2 2，y y2 2) )两点，两点，NN点所点所 在直线方程为在直线方程为x 4 0. 17 2 y2 1x 由由得(4 k2)x24k

50、2x 4k240. 4 y k(x 2) 由由= =16k4 4(4 k2)(4k2 4) 0,k2 4 . 3 4k24(k21)2 32 3 ,x 1 x 2 . k . x 1 x 2 即即 22334 k4 k ON OAOB,即 即AN OB，四边形，四边形OANBOANB为平行四边形为平行四边形 假设存在矩形假设存在矩形OANBOANB，则，则OAOB 0，即，即x 1x2 y 1 y 2 0， ， 即即(k 1)x 1 x 2 2k (x 1 x 2 )4k 0 ， 222 16k2 4 0 于是有于是有 24 k 4k241 得得k . 设设N(x0, y0),由ON OAOB

51、 得 x0 x1 x2 ， 174 k22 即点即点NN在直线在直线x 4 上上. . 17 1 (x 2). 2 存在直线存在直线l l使四边形使四边形OANBOANB为矩形，直线为矩形，直线l l的方程为的方程为y x2y2 3232 已知椭圆已知椭圆 2 2 1(a b 0)的左、右焦点分别是 的左、右焦点分别是F F1 1（c c，0 0） 、F F2 2（c c，0 0） ，QQ 是是 ab 椭圆外的动点，满足椭圆外的动点，满足|F 1Q |2a.点 点 P P 是线段是线段 F F1 1Q Q 与该椭圆的交点，点与该椭圆的交点，点 T T 在线段在线段 F F2 2QQ 上，并且满

52、足上，并且满足PT TF 2 0,|TF 2 |0. uuu r c （）设（）设x为点为点 P P 的横坐标，证明的横坐标，证明| F 1P| a x； ； a （）求点（）求点 T T 的轨迹的轨迹 C C 的方程；的方程； （）试问：在点（）试问：在点 T T 的轨迹的轨迹 C C 上，是否存在点上，是否存在点 MM，使，使F F1 1MFMF2 2的面积的面积 S=S=b2.若存在， 若存在， 求求F F1 1MFMF2 2的正切值；若不存在，请说明理由的正切值；若不存在，请说明理由 解解 （）设点（）设点 P P 的坐标为（的坐标为（x,yx,y）, ,由由 P P（x,yx,y）在

53、椭圆上，得）在椭圆上，得 uuu rc 2 b2 22222| F 1P | (x c) y (x c) b 2 x (a x) . aa 又由又由x a,知知a c x c a 0， a uuu r c 所以所以| F 1P| a x. a （）（） 当当| PT | 0时，点（时，点（a，0 0）和点（）和点（a，0 0）在轨迹上）在轨迹上 uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r | PT | 0 |TF | 0| PT |TF | 0PT TF 当当且且时，由时，由，得，得 222 uuu ruuuu r 又又| PQ | PF 2 |，所以 ，所以 T T 为线段

54、为线段 F F2 2QQ 的中点的中点 uuu r 1 uuur 在在QFQF1 1F F2 2中，中，|OT | | FQ ，所以有，所以有x2 y2 a2. 1 | a 2 综上所述，点综上所述，点 T T 的轨迹的轨迹 C C 的方程是的方程是x2 y2 a2. 22 x 0 y 0 a2, （）（） C C 上存在点上存在点 MM（x 0 , y 0 ）使）使 S=S=b2的充要条件是的充要条件是 1 2 2c| y 0 | b . 2 2 b2 b| y | a. 所以，当所以，当a 时，存在点时，存在点 MM，使，使 S=S=b2； ； 由得由得 0 ，由得，由得|y 0 | c

55、c 2 当当 a b 时，不存在满足条件的点时，不存在满足条件的点MM c 2 uuuu ruuuu r b 当当a 时，时，MF 1 (c x 0 ,y 0 ),MF 2 (c x 0 ,y 0 )， ， c uuuu r uuuu r 22c2 y 0 a2c2 b2， ，由由MF 1 MF 2 x 0 uuuu r uuuu ruuuu ruuuu r MF 1 MF 2 | MF 1 | MF 2 |cosF 1MF2 ， S ruuuu r 1 uuuu | MF 1 | MF 2 |sinF 1MF2 b2 ，得，得tanF 1MF2 2. 2 x2y2 3333 已知直线已知直线

56、x y 10与椭圆 2 2 1(a b 0) 相交于相交于 A A、B B 两点，两点，MM 是线段是线段 ab ABAB 上的一点，上的一点，AM BM，且点，且点 MM 在直线在直线l:y （）求椭圆的离心率；（）求椭圆的离心率； （）若椭圆的焦点关于直线（）若椭圆的焦点关于直线l l的对称点在单位圆的对称点在单位圆x y1上，求椭圆的方程 上，求椭圆的方程. . 22 1 x 上上. . 2 解：解： （）由（）由AM BM知知MM是是ABAB的中点，的中点， 设设A A、B B两点的坐标分别为两点的坐标分别为A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ) x y 1 0, 由由 x

57、 2y2 2 2 1. ba 得:(a2b2)x22a2x a2 a2b20 2a22b2 x 1 x 2 2 , y 1 y 2 (x 1 x 2 ) 2 2 ， a b2a b2 a2b2 , 2 ) MM点的坐标为点的坐标为( 222a ba b a22b2 0 又又MM点的直线点的直线l l上：上： 2a b2a2b2 a2 2b2 2(a2c2) e c2 . a2 a2 2c2 （）由（）知（）由（）知b c，不妨设椭圆的一个焦点坐标为，不妨设椭圆的一个焦点坐标为F(b,0),设F(b,0)关于直线关于直线l l： y 1 x上的对称点为上的对称点为(x 0 , y 0 )， ， 2