初三上学期圆知识点和典型基础例题复习

1、第三章：圆第三章：圆 一、圆的概念一、圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合 （平面上到定点的距离等于定长的所有点 组成的图像叫做圆； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线 圆弧（简称：弧） ：圆上任意两点的部分 弦：连接圆上任意两点的线段（经过圆心的弦叫做直径） 如图所示，以 A，B 为端点的弧记做AB，读作： “圆弧”或者“弧” ；线

2、段是O的一条弦，弦是O的一条直 径； 【典型例题】 例 1有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离 都相等；半径相等的两个半圆是等弧其中正确的有（） A4 个 B3 个 C 2 个 D 1 个 例 2点P到O上的最近距离为3cm，最远距离为5cm，则O的半径为 cm 二、点与圆的位置关系二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 d r 点C在圆内； 2、点在圆上 d r 点B在圆上； 3、点在圆外 d r 点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 d r 无交点； 2、直线与圆相切 d r 有一个交点； 3、直线与圆相交

3、d r 有两个交点； A r B d C d O r d d=r r d 1 / 19 四、圆与圆的位置关系四、圆与圆的位置关系 考查形式： 考查两圆的位置关系与数量关系 （圆心距与两圆的半径） 的对应， 常以填空题或选择题的形式出现 题 目常与图案、方程、坐标等进行综合 外离（图 1）无交点 d Rr； 外切（图 2）有一个交点 d Rr； 相交（图 3）有两个交点 Rr d Rr； 内切（图 4）有一个交点 d Rr； 内含（图 5）无交点 d Rr； d R 图1 rR d r 图2 d R 图3 r d 图4 R r d r R 图5 例、例、1、若两圆相切，且两圆的半径分别是2，3，

4、则这两个圆的圆心距是（） A. 5 B. 1 C. 1 或 5 D. 1 或 4 2、若两圆半径分别为R和r（Rr） ，圆心距为d，且Rdr2，则两圆的位置关系是（） A. 内切 B. 外切 C. 内切或外切 D. 相交 3. 若半径分别为 6 和 4 的两圆相切，则两圆的圆心距d的值是。 【变式训练】 1、O1和O2的半径分别为 1 和 4，圆心距O1O25，那么两圆的位置关系是（） A. 外离 B. 内含 C. 外切 D. 外离或内含 2、如果半径分别为 1 和 2 的两圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为3 的圆的个数有（） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 3、

5、已知：O1和O2的半径是方程 x 5x60 的两个根，且两圆的圆心距等于 5 则O1和O2的位置关系是 （） A. 相交 B. 外离 C. 外切 D. 内切 2 / 19 2 222 二、填空题 4. O1和O2相切，O1的半径为 4，圆心距为 6，则O2的半径为; O1和O2相切，O1的半径为 6，圆心距为 4，则O2的半径为 5.O1、O2和O3是三个半径为 1 的等圆，且圆心在同一直线上，若O2分别与O1，O3相交，O1与O3 不相交，则O1与O3圆心距d的取值范围是。 五、垂径定理五、垂径定理 考查形式：主要考查借助垂径定理的解决半径、弧、弦、弦心距之间的计算和证明，填空题、选择题或解

6、答 题中都经常出现它的身影解决是应注意作出垂直于弦的半径或弦心距，构造直角三角形进 行解决 A 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 C B O E D 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它3 个结论， 即： AB是直径AB CDCE DE 弧BC弧BD 弧AC弧AD 中任意 2 个条件推出其他3 个结论。 推论 1

7、：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 C D O A B 即：在O中，ABCD 弧AC弧BD 例 1、如图23-10，是O 的直径，弦，垂足为E，如果10，8，那么的长为( ) A2 B3 C4 D5 例 2、如图，O的直径为 10 厘米，弦的长为 6，M是弦上异于 A、B 的一动点，则线 段的长的取值范围是（） A. 35B. 45 C. 35D. 45 例 3、如图，在O中，有折线OABC，其中OA 8，AB 12，A B 60， 3 / 19 A B O C E F O O A A MM B B 则弦BC的长为（） 。 19161820 【变式训练】 1、 “圆材埋壁”是我国古代九章算术中的问

8、题： “今有 圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺， 间径几何” 用数学语言可表述为如图，为O 的直径，弦 于点 E，1 寸，10 寸，则直径的长为（） A125 寸 B13 寸 C25 寸 D26 寸 2、在直径为 52 的圆柱形油桶内装入一些油后， 截面如图 23-16 所示，如果油的最大 深度为 16，那么油面宽度为 3、如图 23-14，O 的直径为 10，弦8，P 是弦上一个 动点，那么的长的取值范围是 4、O 的半径为 10，弦，12，16，则和的距离为( ) A2 C2 或 14 六、圆心角定理六、圆心角定理 B14 D10 或 20 E F O 4 / 19

9、A C B D 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定 理，即上述四个结论中， 只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的3 个结论， 即：AOB DOE；AB DE； OC OF； 弧BA 弧 七、圆周角定理七、圆周角定理 C 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 BO A AOB 2ACB 2、圆周角定理的推论： D C 推论 1：在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 即：在O中，C、D都是所对的圆周角 BO A C C D 推论 2：半圆

10、或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧 是半圆，所对的弦是直径（90的圆周角所对的弦是直径） ； B 即：在O中，AB是直径或C 90 C 90AB是直径 例 1、如图，A、B、C 是O 上的三点，30 则的大小是（） A60B45 C30D15 O A 2、如图，在O 中，已知60，3， 则的周长是. 【变式训练】 1.如图，在O 中，弦 1.8m，圆周角30， 5 / 19 则 O 的直径等于 2.如图，O 内接四边形中， 则图中和1 相等的角有 3.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形， 根据图所表示的情形， 四个工件哪一个肯定是半圆环形 （ 4.O 的半径是 5， 、为O

11、的两条弦，且，6，8，求 与之间的距离 八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在O中， C D 四边形ABCD是内接四边形 C BAD 180BD 180 DAE C B 例 1.如图，四边形 内接于O，若100， A E 则的度数为（） A50 B80 C100 D130 2.如图， 四边形为O 的内接四边形， 点 E 在的延长线上， 如果120， 那么等于 （） 6 / 19 ） A30 B60 C90 D120 九、切线的性质与判定定理 考查形式：对切线的判定和性质的考查是圆中常见的题目类型，常以解答题的形式出现题目经常与翻折、 旋转、

12、平移等动态过程相结合，以探索的形式出现 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：MNOA且MN过半径OA外端 MN是O的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的直径（如上图） 推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 例 1.如图， 、是O 的切线，切点分别为 A 、B，点 C 在 O 上如果P50，那么等于（） A40 B50 C65D130 2、如图，切O 于点 M，直线交O 于点 A、B，弦，求证：

13、 3、已知：如图，中，以为直径的O 交于点 D，过点 D 作于点 E，交的 延长线于点 F(10 分) 求证： （1）；（2）是O 的切线 7 / 19 B O O M A N A D E CF 课后习题： 1.已知一个圆的半径为 3,另一个圆与它相切，且圆心距为2,则另一个圆的半径是 A 5 B 1 C 5或 1 D 不能确定 8 / 19 ）（ 2.下列说法不正确的是（） A直径所对的圆周角是直角 B圆的两条平行弦所夹的弧相等 C相等的圆周角所对的弧相等 D相等的弧所对的圆周角相等 3.已知O1、O2的半径分别是r 1 2、r 2 4，若两圆相交，则圆心距 O 1O2 可能取的值是（） A

14、、2 B、4 C、6 D、8 4. 高速公路的隧道和桥梁最多如图 3 是一个隧道的横截面，若它的形状是以 O 为圆心的圆的一部分，路面 AB=10 米，净高CD=7 米，则此圆的半径OA=（） 3737 A5B7CD 57 A O D 图 4 B C C 图 5 A D O B 图 6 图 7 图 8 5.如图 5，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（） A2cmB 3cm C2 3cmD2 5cm 6.已知O 的半径为 R，弦的长也是 R，则的度数是 7.如图 6，AB为O 的直径，点C，D在O 上，BAC 50，则ADC 8.如图 7，O 中，,60,则.

15、 9.如图 8，O 中，的度数为 320，则圆周角 10如图 12，为O 的直径，D 是O 上的一点，过 O 点作的垂线交于点 E，交的延 长线于点 C，F 为上一点，且 (1)请探究与O 的位置关系，并说明理由； (2)若O 的半径为 2，3，求的长 11、如图，已知为O 的直径，是弦，且于点 E。连接、 、 。 （1）求证： 。（2）若 8，24，求O 的直径。 9 / 19 A A C F D E O B 图 12 O E C B D 12.如图，O 的直径 10，于点 H，2 （1）求的长； （2）延长到 P，过 P 作O 的切线，切点为 C， 若 22 5，求的长 附加基础题： 1下

16、列五个命题: (1)两个端点能够重合的弧是等弧； (2)圆的任意一条弧必定把 圆分成劣弧和优弧两部分； (3)经过平面上任意三点可作一个圆；(4)任意一个圆有 且只有一个内接三角形； (5)三角形的外心到各顶点距离相等. 其中真命题有 （） 10 / 19 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2如图 1，O 外接于，为O 的直径，30，则（） A30 B40 C50 D60 3O 是的外心，且100，则（） A100B120C130 D160 4如图 2，的三边分别切O 于 D，E，F，若50，则（） A65 B50 C130 D80 5中，90，5，内切圆半径为 1，则三角形的周长为（）

17、 A15 B12 C13 D14 6已知两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程x -43=0 的两根，那么这两个圆的位置关系是（） A外离 B外切 C相交 D内切 7O 的半径为 3，点 M 是O 外一点，4，则以 M 为圆心且与O 相切的圆的半径一定是（） A1 或 7 B1 C7 D不确定 8一个扇形半径 30，圆心角 120，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（） A5 B10 C20 D30 二、填空题 1O 中，弦把O 分成两条弧，它们的度数比为4：5，如果 T 为中点，则，则弦所对的圆周角为 2O 到直线 L 的距离为 d，O 的半径为 R，当 d，R 是方程 x -40 的根

18、，且 L 与O 相切时，m 的值为 3如图 3，三边与O 分别切于 D，E，F，已知 7，5，2，则 4已知两圆外离，圆心距 12，大圆半径 7，则小圆半径 r 的所有可能的正整数值为 十、切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：PA、PB是的两条切线 B 2 2 PA PB PO平分BPA A O P 11 / 19 例 1、如图 2，的三边分别切O 于 D，E，F，若50，则（） A65 B50 C130 D80 2、如图 3，三边与O 分别切于 D，E，F，已知 7，5，2，则 【变式训练】 3、如图，正三角形的内切

19、圆半径为1，那么三角形的边长为（） A2 B2 3 C 3 D3 4、如图，从点 P 向O 引两条切线， ，切点为 A，B，为弦，为O 的直径，若60， 2，求的长 十一、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图：O 1O2 垂直平分AB。 即：O 1 、O2相交于A、B两点 O 1O2 垂直平分AB 十二、圆内正多边形的计算 O C P A B C O A O1 B O2 （1）正三角形 B D A 12 / 19 在 O中 ABC是 正 三 角 形 ， 有 关 计 算 在RtBOD中 进 行 ： O D: B D : O B 1 :3 : 2 ；

20、B O C （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，OE: AE:OA1:1:2： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，AB:OB:OA 1:3:2. A O A E D B 例 1、两等圆半径为 5，圆心距为 8，则公共弦长为 例 2、正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（） A.60 B.120 C.60 或 120 D.30或 150 例 3、如图, O 是等边三角形ABC的外接圆，O 的半径为 2， 则等边三角形ABC的边长为（） A2 3B 5 C 3 D2 5 【变式训练】 1、半径分别为 8 和 6 且圆心距为 10 的公共弦长为 2、如

21、果圆的内接正六边形的边长为6，则其外接圆的半径为. 3、如图5，O 的半径为 3，是O 的内接等边三角形，将折叠，使点A 落在O 上， 折痕平行，则长为 十三、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式（p132） B O C （第35题） A nr2nr 考查形式：考查运用弧长公式（ l ）以及扇形面积公式（ S 和 360180 1 S lr）进行有关的计算，常以填空题或选择题的形式进行考查 2 nR21nR lR 1、扇形： （1）弧长公式：l ； （2）扇形面积公式： S 3602180 O S A l B n：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇形面积 13 / 19 2、圆柱： （

22、1）圆柱侧面展开图 S 表 S 侧 2S 底 =2rh2r B 2 A D D1 母线长 底面圆周长 C1 B1 （2）圆柱的体积：V r h 3、圆锥： （2）圆锥侧面展开图 O 2 （1）S 表 S 侧 S 底 =Rr r 2 C R （2）圆锥的体积：V r h A 1 3 2 C r B 例 1、已知扇形的圆心角为120，弧长等于半径为 5 的圆的周长，则扇形的面积为（） 2222 A、75 B、75 C、150 D、150 例 2、底面面积为 8，高为 3 的圆柱的表面积和体积分别为： 例 3、圆锥的母线长 5,底面半径长 3,那么它的侧面展开图的圆心角是( ) A.180 B.20

23、0 C.225 D.216 例 4、为O 的直径，点 C 在O 上，过点 C 作O 的切线交的延长线于点D，已知D30. 求A 的度数； 若弦，垂足为 E，且4 3，求图中阴影部分的面积.（15 分） C A OE F B D 【变式训练】 1、方格纸中 4 个小正方形的边长均为 1，则图中阴影部分三个小扇形的面积 和为（结果保留） 2、 已知O 的半径为 8， 点 A 为半径的延长线上一点， 射线切O 于点 C， 弧的长为 ， 8 3 14 / 19 求线段的长。 综合复习题：综合复习题： 1下列命题中，正确命题的个数为（）. 平分弦的直径垂直于弦；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；90的圆

24、周角所对的弦是直；圆周角相 等，则它们所对的弧相等 A A1 个 B2 个 C 3 个 D 4 个 2如图，内接于O，是O 的直径，50 ，点 D 是弧上一点，则D 的度数. 3、如图1，四个边长为2 的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O 是小正方形顶点， O 的半径为 2，P 是O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于（） A30B45C60D90 、一条弦把半径为 8 的圆分成长度为 12 的两条弧，则这条弦长为（） A、4 3 B、8 3 C、8 D、16 、如图，以为直径的半圆O 上有两点 D、E，与的延长线交于点C，且 有，若20，则的度数是（） A.40B.50C.60D.8

25、0 、在半径为 1 的圆中，弦、分别是3和2，则 的度数为 7、如图，是O 的直径，弦，连接， ， ，若100，则 度 8、如图，是O 的直径，于点 E，交O 于点 D，于点 F. D C AO B E B C 0 D P A O B A C O B D D30，1，求圆中阴影部分的面积为： 9、如图，为半O 的直径，C 为半圆弧的三等分点，过B，C 两点的半O 的切线 15 / 19 交于点 P，若的长是 2a，则的长 10、如图，PA，PB切O于A，B两点，CD切O于点E，分别交PA、PB 与 点C、D， 若PA，PB的 长 是 关 于 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 C E D

26、O A x2 mx (m 1) 0的两个根，求PCD的周长 P B 11、如图，在M 中，弧所对的圆心角为120 ，已知圆的半径为2，并建立如图所示 的直角坐标系，点 C 是 y 轴与弧的交点。 （1）求圆心 M 的坐标； （2）若点 D 是弦所对优弧上一动点，求四边形的最大面积 0 Y D M A O C BX 课后习题：课后习题： 一、选择题： 1、下列说法正确的是( ) A.垂直于半径的直线是圆的切线 B.经过三点一定可以作圆 C.圆的切线垂直于圆的半径 D.每个三角形都有一个内切圆 2、两个半径不等的圆相切，圆心距为6，且大圆半径是小圆半径的2 倍，则小圆的半径为（） A. 3 B. 4 C. 2或4 D. 2或6 。 3、已知圆锥的底面半径为3，高为 4，则圆锥的侧面积为（ ） 10 B121520 2 4、已知圆锥的侧面展开图的面积是15 ，母线长是 5，则圆锥的底面半径为（） 16 / 19 A 3 cm B3 C4 D6 2 5、一个正多边形的内角和是720，则这个多边形是正 边形（） A.四 B.五 C.六 D.七 6、半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（） A.123B.1 23 C.321 D.321 二、填空题： A A A A O O 1 1O D D C C AB B B O OP C CO O 2 2 第 7 题图第 8