信号与系统第2章LTI系统的时域分析法

1、信号与系统,第二章 LTI系统的时域分析法,第二章 LTI系统的时域分析法,2,第二章 LTI系统的时域分析法,LTI连续系统的经典时域分析法 LTI离散系统的经典时域分析法 LTI连续系统的单位冲激响应 LTI离散系统的单位序列响应 卷积积分 卷积和,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI连续系统的经典时域分析法,3,2.1 LTI连续系统的经典时域分析法,LTI连续系统的时域分析归结为：建立并求解线性微分方程。 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI连续系统的经典时域

2、分析法,4,微分方程的经典解 微分方程的一般形式为 微分方程的完全解等于齐次解yh(t)与特解yp(t)之和： y(t) = yh(t) + yp(t),第二章 LTI系统的时域分析法：LTI连续系统的经典时域分析法,5,齐次解 齐次微分方程y(n)(t) + an-1 y (n-1)(t) + + a1 y(1)(t) + a0 y (t)=0的特征方程为n + an-1 n-1 + + a1 + a0 = 0 特征方程的根为微分方程的特征根，其齐次解的函数形式由特征根确定，仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应。齐次解的形式见教材P53表2-1

3、。系数由初始条件确定。,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI连续系统的经典时域分析法,6,特解 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。解的形式见教材P54表2-2。其中待定系数Pi通过将特解代入微分方程后确定。 完全解 完全解为齐次解与特解之和。,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI连续系统的经典时域分析法,7,初始值的确定 若输入f(t)是在t = 0时接入系统，则确定待定系数Ci时用t = 0+时刻的初始值，即y(j)(0+) ( j=0,1,2，n-1)。而y(j)(0+)包含了输入信号的作用。 在t = 0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史情况而与激励

4、无关。称这些值为初始状态或起始值。通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI连续系统的经典时域分析法,8,当系统的激励中不包含冲激函数及其导数时， 从y(j)(0-)到y(j)(0+)不会发生跳变， y(j)(0-)y(j)(0+)。但若激励中包含冲激函数及其导数时，从y(j)(0-)到y(j)(0+)可能发生跳变，就需要从已知的初始状态y(j)(0-)求得y(j)(0+)。 求y(j)(0+)的方法参见教材中的例2-5。,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI连续系统的经典时域分析法,9,零输入响应、零状态响应和全响应 全响应可分解为零输入响应和零状

5、态响应：y(t) = yx(t) + yf (t) 零输入响应yx(t) 零输入响应是输入信号（激励）为零时，仅由系统的初始状态所引起的响应。 在零输入条件下，微分方程化为齐次方程，零输入响应即为其解。 对于零输入响应，由于激励为零，故有 yx(j)(0+) = yx(j)(0-) = y(j)(0-),第二章 LTI系统的时域分析法：LTI连续系统的经典时域分析法,10,零状态响应yf (t) 零状态响应是系统的初始状态为零时，仅由输入信号（激励）引起的响应。 对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有yf (j)(0-) = 0。如果激励中不包含冲激函数及其导数时， y(j)(0+

6、)= yf (j)(0-) = 0；否则需要求出y(j)(0+)。 零状态响应是非齐次方程的解，其解由齐次解和特解组成。,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI连续系统的经典时域分析法,11,全响应 全响应由零输入响应和零状态响应合成得到。 全响应还可分解为自由响应和强迫响应两部分，其中： 自由响应由零输入响应和零状态响应中的齐次解部分组成。 强迫响应由零状态响应中的特解部分组成。,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI离散系统的经典时域分析法,12,3.2 LTI离散系统的经典时域分析法,差分与差分方程 设有序列f(k)，称 , f(k+2), f(k+1), , f(k1), f(k2),

7、 等为f(k)的移位序列。 仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分运算。,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI离散系统的经典时域分析法,13,差分运算 对于连续信号，微分的定义为： 类似地，离散信号的变化率用两种表示形式为： 其中， k1。因此，可定义： 一阶前向差分：f(k) = f(k+1) f(k) 一阶后向差分：f(k) = f(k) f(k 1) 式中，和称为差分算子，无原则区别。主要用后向差分，简称为差分。,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI离散系统的经典时域分析法,14,差分的线性性质： af1(k) + bf2(k) = af1(k) + bf2(k) 二阶差分定义：

8、 2f(k) = f(k) = f(k) f(k1) = f(k) f(k1) = f(k)f(k1)f(k1)f(k2)= f(k)2f(k1) +f(k2) n阶差分:,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI离散系统的经典时域分析法,15,差分方程 包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k) + an-1 y(k1) + a0 y(kn) = bm f(k)+bm-1 f(k1)+ b0 f(km) 差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。 采用迭代法一般不易得到差分方程的解析形式（闭合）解，但便

9、于用计算机求解。,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI离散系统的经典时域分析法,16,例：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k)已知初始条件y(0)=0，y(1)=2，激励f(k) = 2k(k) 求y(k)。 解：y(k) = 3y(k 1) 2y(k 2) + f(k) y(2)= 3y(1) 2y(0) + f(2) = 2 y(3)= 3y(2) 2y(1) + f(3) = 10 y(4)= 3y(3) 2y(0) + f(4) = 10 ,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI离散系统的经典时域分析法,17,差分方程的经典解 对于

10、差分方程 y(k) + an-1 y(k1) + a0 y(kn) = bm f(k)+bm-1 f(k1)+ b0 f(km) 与微分方程经典解类似，其解由齐次解yh(k)和特解yp(k)组成： y(k) = yh(k) + yp(k),第二章 LTI系统的时域分析法：LTI离散系统的经典时域分析法,18,齐次解yh(k) 差分方程的特征根齐次方程 y(k) + an-1 y(k1) + + a0 y(kn) = 0 的特征方程为 1 + an-1-1 + + a0-n = 0 即 n + an-1n-1 + + a0 = 0 其根i( i = 1, 2, , n)称为差分方程的特征根。,第

11、二章 LTI系统的时域分析法：LTI离散系统的经典时域分析法,19,齐次解的形式取决于特征根。例如： 当特征根为单实根时，齐次解yh(k)形式为：Ck 当特征根为r重实根时，齐次解yh(k)形式为：(Cr-1kr-1+ Cr-2kr-2+ C1k+C0)k 详细的齐次解的形式见教材P61 表2-3。,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI离散系统的经典时域分析法,20,特解yp(k) 特解的形式与激励的形式有关。例如：当激励f(k)=km (m0)的情况： 所有特征根均不等于1时： yp(k)=Pmkm+Pm-1km-1+P1k+P0 有r重等于1的特征根时; yp(k)=krPmkm+Pm-

12、1km-1+P1k+P0 详细的特解的形式见教材P61 表2-4。 完全解 差分方程的完全解为齐次解与特解之和。,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI离散系统的经典时域分析法,21,例：若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k 1) + 4y(k 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0，y(1)= 1；激励f(k)=2k，k0。求方程的全解。 解： 特征方程为 2 + 4 + 4=0 可解得特征根1=2= 2，其齐次解 yh(k)=(C1k +C2) ( 2)k 特解为 yp(k)=P2k, k0 代入差分方程得 P2k+4P2k-1+4P2k-2= f(k) = 2k ， 解得

13、 P=1/4,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI离散系统的经典时域分析法,22,所以得特解： yp(k)=2k-2 , k0 全解为 y(k)= yh(k)+yp(k) =(C1k +C2) (2)k + 2k-2, k0 代入初始条件得 y(0)= C2 + 2-2= 0 y(1)= (C1 + C2) (2) + 2-1= 1 解得 C1=1, C2= 1/4 最后的全解为 y(k)= (k1/4) (2)k + 2k-2, k0,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI离散系统的经典时域分析法,23,零输入响应、零状态响应和全响应 与连续系统类似，离散系统的全响应y(k)也可分解为零输

14、入响应yx(k)和零状态响应yf (k)，其定义与连续系统相同。y(k) = yx(k)+yf (k)。 零输入响应和零状态响应可以分别用经典法求解。其中，零输入响应由齐次解组成；零状态响应由齐次解和特解组成。 设激励f(k)在k=0时接入系统。对于n阶系统，通常以y(-1), y(-2) , , y(-n)描述系统的初始状态。,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI离散系统的经典时域分析法,24,对于零输入响应，由于激励为零，可以由初始状态推出yx(0), yx(1), , yx(n-1)来作为初始条件，也可以直接用yx(-1) = y(-1), yx(-2) = y(-2) , , yx(

15、-n)=y(-n)来作为初始条件。 对于零状态响应，由于激励已在k = 0时接入系统，必须由初始状态推出yf (0), yf (1), , yf (n-1)来作为初始条件，不能用yf (-1) = yf (-2) = yf (-n) = 0来作为初始条件。 yf (0), yf (1), , yf (n-1)不一定等于零。,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI离散系统的经典时域分析法,25,全响应可分解为自由响应和强迫响应两部分，其中： 自由响应由零输入响应和零状态响应中的齐次解部分组成。 强迫响应由零状态响应中的特解部分组成。,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI离散系统的经典时域分析法

16、,26,例：若描述某离散系统的差分方程为 y(k) + 3y(k1) + 2y(k2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k0，初始状态y(-1)=0, y(-2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 解：(1) 零输入响应满足方程 yx(k)=yx(k) + 3yx(k1)+ 2yx(k2)= 0 其初始状态yx(-1)= y(-1)= 0, yx(-2) = y(-2) = 1/2 首先递推求出初始值yx(0), yx(1): yx(k)= -3yx (k1) 2yx(k2) yx(0)= -3yx(-1) 2yx(-2) = -1 yx(1)= -3yx(0) 2

17、yx(-1) = 3,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI离散系统的经典时域分析法,27,方程的特征根为1= -1，2= -2 其解为 yx(k)=Cx1(-1)k+Cx2(-2)k 将初始值代入并解得 Cx1=1, Cx2= -2 所以 yx(k)=(-1)k - 2(-2)k, k0 (2) 零状态响应y(k) 满足 yf (k) + 3yf (k1) + 2yf (k2) = f(k) 初始状态yf (-1)= yf (-2) = 0 递推求初始值 yf (0), yf (1)： yf (k) = -3yf (k1) 2yf (k2) + 2k , k0 yf (0) = -3yf (

18、-1) 2yf (-2) + 1 = 1 yf (1) = -3yf (0) 2yf (-1) + 2 = -1,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI离散系统的经典时域分析法,28,分别求出齐次解和特解，得 yf(k) = Cf 1(-1)k + Cf 2(-2)k + yp(k) = Cf1 (-1)k + Cf 2(-2)k + (1/3)2k 代入初始值求得 Cf 1= -1/3 , Cf 2=1 所以 yf (k)= (-1/3) (-1)k+ (-2)k + (1/3)2k, k0 (3) 全响应 y(k) = yx(k)+yf (k) = (-1)k 2(-2)k+ (-1/3)

19、 (-1)k+ (-2)k + (1/3)2k = (2/3) (-1)k (-2)k + (1/3)2k,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI连续系统的单位冲激响应,29,2.3 LTI连续系统的单位冲激响应,单位冲激响应 由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI连续系统的单位冲激响应,30,由微分方程描述的系统，其冲激响应可通过将其激励替换为单位冲激函数(t)，求其零初始状态时的微分方程的解得到。,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI连续系统的单位冲激响应,31,阶跃响应 由单位阶跃函数(t)所引起的零

20、状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为g(t)。,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI连续系统的单位冲激响应,32,由微分方程描述的系统，其阶跃响应可通过将其激励替换为单位阶跃函数(t)，求其零初始状态时的微分方程的解得到。 由(t) 与(t) 的微积分关系： 根据LTI系统的微积分特性，可得：,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI离散系统的单位序列响应,33,2.4 LTI离散系统的单位序列响应,单位序列响应 由单位序列(k)所引起的零状态响应称为单位序列响应（或单位样值响应或单位取样响应），或简称单位响应，记为h(k)。 单位响应的求解 求解差分方程 将差分方程的激励替换为(k)

21、，求解方程的零状态响应。 由于(k)仅在k=0时为1，而在k0时为0，因而在k0后方程的解即为齐次解。,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI离散系统的单位序列响应,34,例1: 已知某系统的差分方程为 y(k) y(k1) 2y(k2) = f(k)。求单位序列响应h(k)。 解: 根据h(k)的定义有 h(k) h(k1) 2h(k2) = (k) (1) h(1) = h(2) = 0 递推求初始值h(0)和h(1)。 方程(1)移项写为 h(k)= h(k1) + 2h(k2) +(k) h(0)= h(1) + 2h(2) + (0) = 1 h(1)= h(0) + 2h(1) +

22、 (1) = 1,第二章 LTI系统的时域分析法：LTI离散系统的单位序列响应,35,求h(k)。 对于k 0， h(k)满足齐次方程 h(k) h(k1) 2h(k2) = 0 其特征方程为 (+1) ( 2) = 0 所以 h(k) = C1(- 1)k + C2(2)k， k0 h(0) = C1 + C2 =1, h(1)= C1+2C2 = 1 解得C1= 1/3, C2=2/3 h(k) = (1/3)(-1)k + (2/3)(2)k, k0 或写为h(k) = (1/3)(-1)k + (2/3)(2)k(k),第二章 LTI系统的时域分析法：LTI离散系统的单位序列响应,36

23、,例2：若方程为： y(k) y(k1) 2y(k2)=f(k) f(k2) 求单位序列响应h(k)。 解 h(k)满足 h(k) h(k1) 2h(k2)=(k) (k2) 令只有(k)作用时，系统的单位序列响应h1(k) , 它满足 h1(k) h1(k1) 2h1(k2)=(k) 根据线性时不变性， h(k) = h1(k) h1(k2) =(1/3)(1)k + (2/3)(2)k(k) (1/3)(1)k-2 + (2/3)(2)k-2(k2),第二章 LTI系统的时域分析法：LTI离散系统的单位序列响应,37,单位阶跃响应 由单位阶跃序列(k)所引起的零状态响应称为单位阶跃响应，或

24、简称阶跃响应，记为g(k)。 由于 (k) =(k) (k1) = (k) 所以 h(k) =g(k) = g(k)g(k1),第二章 LTI系统的时域分析法：卷积积分,38,2.5 卷积积分,信号的时域分解与卷积积分 信号的时域分解,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积积分,39,任意信号分解 “0”号脉冲高度f(0) ，宽度为，用p(t)表示为： f(0)p(t) “1”号脉冲高度f() ，宽度为，用p(t)表示为： f()p(t) “1”号脉冲高度f() 、宽度为，用p(t+)表示为： f ()p(t+),第二章 LTI系统的时域分析法：卷积积分,40,在0的极限情况下，将写成d，k写成

25、 ，求和变为积分，则得,其中，,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积积分,41,任意信号作用下的零状态响应 求任意信号f(t)作用下的零状态响应yf (t) f(t) yf (t) 根据h(t)的定义：(t) h(t)由时不变性：(t) h(t)由齐次性：f ()(t) f ()h(t)由叠加性：,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积积分,42,取极限0，求和变为积分得： 而 所以 ， 称为f(t)与h(t)的卷积积分。,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积积分,43,卷积积分的定义 定义在区间(, )上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分 为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积

26、；记为 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意：积分是在变量 下进行的， 为积分变量，t为参变量。结果仍为t 的函数。,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积积分,44,例：f (t) = et, ( t时， (t ) = 0,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积积分,45,卷积的图解计算法 卷积过程可分解为四步： 换元： t 换为 得 f1( )，f2( ) 反转平移：由f2( )反转 f2( )右移t f2(t ) 乘积： f1() f2(t ) 积分： 从到对乘积项积分。 注意：t为参变量。,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积积分,46,例： 求f1(t)与f2(t)的卷积积分f(t)

27、 = f1(t)*f2(t)。 解： f1(t)与f2(t)将变量t替换为 后的图形如图所示,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积积分,47,将f2()反转，并延时t,t0，f1()与f2(t)不为0的部分无重叠，其乘积为0,0t2，f1()与f2(t)不为0的重叠部分为0 t，其乘积为2(t),第二章 LTI系统的时域分析法：卷积积分,48,2t4，f1()与f2(t)不为0的重叠部分为t2 t，其乘积为2(t),4t6，f1()与f2(t)不为0的重叠部分为t2 4，其乘积为2(t),6t，f1()与f2(t)不为0的部分无重叠，其乘积为0,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积积分,49,

28、按上页分析，进行分段积分得：,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积积分,50,例： ， 求卷积积分 解：当 0时： (1) 当t2时，f3(t)与f1()的乘积=6e-2。,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积积分,51,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积积分,52,例：f1(t)、f2(t)如图所示，f(t) = f2(t)*f1(t)，求f(2) =？ 解：,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积积分,53,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积积分,54,求卷积积分时，正确地选取参变量t的取值区间，以及相应的积分限是关键。 求f1(t)*f2(t) 时， f1() 与f2(t)的乘积在t的

29、不同区间取得不同的值时，就要进行分段积分，确定积分的上下限，然后进行积分。,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积积分,55,卷积积分的性质 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。 卷积的代数性质 交换律： f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t) 分配律： f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t) 结合律： f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)* f2(t)*f3(t),第二章 LTI系统的时域分析法：卷积积分,56,交换律,分配律,结合律,第二

30、章 LTI系统的时域分析法：卷积积分,57,卷积的时移特性 若 f(t) = f1(t)*f2(t)， 则 f1(tt1)*f2(tt2) = f1(tt1t2)*f2(t) = f1(t)*f2(tt1t2) = f(tt1t2),第二章 LTI系统的时域分析法：卷积积分,58,卷积的微分与积分,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积积分,59,函数与冲激函数的卷积 f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t) 证： 推广：时移特性 f(t)*(tt0) = f(tt0) f(tt1)*(tt2) = f(tt1t2),第二章 LTI系统的时域分析法：卷积积分,60,例1： f1(t) =

31、 1， f2(t) = e-t(t)，求f1(t)*f2(t) 解：利用交换律，将复杂函数放在前面，得 注意：套用 得到的结果是错误的，原因是不满足条件,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积积分,61,例2：f1(t) 如图, f2(t) = e-t(t)，求f1(t)*f2(t) 解：利用微积分性质,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积积分,62,例：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)*f2(t) 解：将 f1(t)和f2(t)用阶跃函数表为： f1(t) = 2(t)2(t1) f2(t) = (t+1)(t1) f1(t)* f2(t)= 2(t)*(t+1)2(t)*(t1)

32、2(t1)* (t+1)+2(t1)*(t1) 由于 由时移特性，有 f1(t)*f2(t) = 2(t+1)(t+1) 2(t1)(t1)2t(t) +2(t2)(t2),第二章 LTI系统的时域分析法：卷积和,63,2.6 卷积和,LTI离散系统的零状态响应表示为卷积和 序列的时域分解 任意离散序列f(k)可表示为:,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积和,64,任意序列作用下的零状态响应 根据h(k)的定义：(k) h(k) 由时不变性：(kn) h(kn) 由齐次性：f (i)(kn) f (i)h(kn) 由叠加性： 而 所以 称为f(k)与h(k)的卷积和,第二章 LTI系统的时域

33、分析法：卷积和,65,卷积和的定义 已知定义在区间(, )上的两个函数f1(k)和f2(k)，则定义和 为f1(k)与f2(k)的卷积和，简称卷积、卷和,记为 f(k)= f1(k)*f2(k) 注意：求和是在虚设的变量 n 下进行的， n 为求和变量，k 为参变量。结果仍为k 的函数。,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积和,66,系统的零状态响应用卷积和表示为,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积和,67,例：f (k) = ak(k), h(k) = bk(k) ，求yf (k)。 解： 当n k时，(kn) = 0,令a=b=1得：(k)*(k) = (k+1)(k),第二章 LTI系

34、统的时域分析法：卷积和,68,卷积和的计算 图解法 卷积过程可分解为四步： 换元： k换为 n 得 f1(n), f2(n) 反转平移：由f2(n)反转 f2(n)右移k f2(kn) 乘积： f1(n) f2(kn) 求和： n 从到对乘积项求和。 注意：k 为参变量。,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积和,69,例： 求卷积和 解：,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积和,70,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积和,71,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积和,72,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积和,73,数值法（列表法）求卷积 例 设x(k)=3(k)+2(k-1)+(k-2)

35、， h(k)=2(k)+(k-1)+(k-2)， 求y(k)=x(k)*h(k)。,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积和,74,不进位乘法求卷积 f(k)等于所有两序列序号之和为k 的那些样本乘积之和。如k=2时: f(2)= + f1(1)f2(3) + f1(0)f2(2) + f1(1)f2(1) + f1(2)f2(0) + ,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积和,75,例： f1(k) =0, f1(1), f1(2), f1(3), 0, f2(k) =0, f2(0) , f2(1),0 f1(1),f1(2),f1(3) f2(0),f2(1) f1(1)f2(1), f1

36、(2)f2(1),f1(3)f2(1) f1(1)f2(0),f1(2)f2(0),f1(3)f2(0) + f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0) f1(3)f2(1) f1(1)f2(0) f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0) f(k)=0, f1(1)f2(0), f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0), f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0), f1(3)f2(1), 0,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积和,76,例： f1(k) =0, 2, 1, 5, 0， f2(k) =0, 3, 4, 0, 6, 0 k=0 k=0 求 f(k) = f1(k)* f2(k) 解:,3 , 4, 0, 6 2, 1, 5 15, 20, 0, 30 3, 4, 0, 6 6, 8, 0, 12 + 6, 11, 19, 32, 6, 30,f(k) = 0, 6, 11, 19, 32, 6, 30 k=1,第二章 LTI系统的时域分析法：卷积和,77,卷积和的性质 交换律, 分配律, 结合律。 f(k)*(k) = f(k)，f(k)*(kk0) = f(kk0) f1(kk1)* f2(kk2) = f1(kk1k2)*f2(k) f1(k)*f2(k) = f1(k)*f2