罗尔定理应用中辅助函数的构造

1、罗尔定理应用中辅助函数的构造 薛 利 敏 (渭南师范学院 数学与信息科学系,陕西 渭南714000) 摘 要:探讨了在罗尔定理应用中如何通过积分构造辅助函数的方法,并得出了一些有用的结论. 关键词:罗尔定理;辅助函数;积分法;构造法 中图分类号: G642 文献标志码:A 文章编号: 10095128(2008) 02001503 收稿日期: 20071210 基金项目:渭南师范学院科研基金资助项目(08YKS021) 作者简介:薛利敏(1960 ) , 男,陕西韩城人,渭南师范学院数学与信息科学系副教授. 在应用罗尔定理证明有关中值命题时,构造辅助函数是关键.本文运用逆向思维,从结论出发,给

2、出了 如何通过积分构造满足罗尔定理条件的辅助函数的方法. 命题1 已知函数f (x)在 a, b上连续,在( a, b)内可导,证明至少存在一点 ( a, b) ,使f()+p () f ()=0,其中p( x)为在 a, b上已知的连续函数. 分析 从欲证明的结论出发,将f()+ p( ) f ()=0,形式地化为 f(x) f ( x) +p(x)=0,两边积分 f(x) f ( x) dx + p( x) dx = C1,得lnf (x) +lne p(x) dx = C1 即 ln f ( x)e p(x) dx = C1 故 f (x) e p(x) dx + C =0, (C =

3、- e C1 ). 证明 设辅助函数F ( x)= f (x)e p(x) dx +C,适当选取C的值,使F (x)在x = a, x = b的值均为0, 因此, F (x)在 a, b上满足罗尔定理条件,对F (x)= f (x)e p(x) dx + C应用罗尔定理,则至少存在一点 (a, b) ,使F()=0, 即 f(x) e p(x) dx + f ( x) e p(x) dx p( x) x =0, 故 f() + p() f ()=0. 结论1对于证明形如: f() + p() f ()=0的等式,可设辅助函数F (x)= f (x)e p(x) dx +C,进而 应用罗尔定理加

4、以证明. 例1设 f (x) 在0,上可导,证明至少存在一点(0, ) , 使 f()sin + f ( )cos=0. 分析 从欲证明的结论出发,作形式地推导,将f()sin+ f ()cos=0化为f(x) + cosx sinx f ( x)=0, 由结论1知:设辅助函数 F ( x)= f ( x)e cosx sinxdx + C = f ( x)e dsinx sinx + C = f ( x)eln sinx+ C = f ( x)sinx + C, 令 F ( 0)=0得C =0. 证明 设辅助函数F ( x)= f (x)sinx,因为F ( x)在0,上可导,且 F ( 0

5、)= F ()=0,故F (x) 满足罗尔定理的条件,由罗尔定理得,至少存在一点,(0,)使, F()=0即f()sin + f ( )cos= 0. 命题2已知 f (x) 在 a, b上连续,在( a, b)内可导,证明至少存在一点 ( a, b) ,使f()+ p( ) f () + q()=0,其中p( x) , q( x)为在 a, b上已知的连续函数. 分析 欲证f() + p() f () + q()=0,将其转化为 f(x) + p(x) f (x) + q(x)=0 即要寻找一个函数F ( x) ,使得F( x)= f(x) + p(x) f ( x) +q( x) ,两边积

6、分便可求得辅助函数F (x) , 但等式右边积不出来.因此,我们可以将原问题转化为 2008年3月 第23卷 第2期 渭南师范学院学报 Journal ofWeinan TeachersUniversity March 2008 Vol . 23No. 2 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. e p(x) dx f( x) + p( x) f ( x) + q( x) =0, 此时,只要寻找一个函数F ( x) ,使得F( x)= e p(x) dx f( x) +

7、 p(x) f ( x) + q( x) ,问题便可得到解决.两边 积分得 F ( x)= e p(x) dx f( x) dx + e p(x) dx p( x) f ( x) dx + e p(x) dx q( x) dx = e p(x) dx df (x) + e p(x) dx p( x) f (x) dx + e p(x) dx q(x) dx = e p(x) dx f (x) - e p(x) dx p( x) f (x) dx + e p(x) dx p( x) f (x) dx + e p(x) dx q(x) dx = f ( x). e p(x) dx + e p(x)

8、 dx q(x) dx + C 适当选取C的值,使F (x)在x = a, x = b的值均为0. 证明 设辅助函数F (x)= f (x) e p(x) dx + e p(x) dx q(x) dx +C,易知F (x)在 a, b上连续,在( a, b)内 可导, F (a)= F ( b)=0,由罗尔定理得,至少存在一点 ( a, b) ,使得F()=0,即 f(x) e p(x) dx + f (x) e p(x) dx p( x) + q(x) e p(x) dx x =0, 故 f() + p() f () + q()=0. 结论2对于证明形如: f( x) + f ( x) p(

9、x) + q( x) x =0的等式,可设辅助函数F ( x)= f (x) e p(x) dx + e p(x) dx q( x) dx + C,进而应用罗尔定理加以证明. 例2设函数f (x)在上0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f ( 0)=0 , f ( 1)=1,证明:对任意实数,至 少存在一点(0,1 ) , 使 f( ) - f ( ) + =1. 证明 由结论2,作辅助函数 F (x)= f (x) e ( - ) dx + e ( - ) dx (x -1 ) dx = f (x) e -x + e -x (x -1) dx = f ( x) e-x- xde -x -

10、e -x dx = f (x) e -x - xe -x - e -x dx - e -x dx = f (x) - x e -x 易知F ( x)满足罗尔定理的三个条件,对F ( x)= f (x) - x e -x在 0,1上应用罗尔定理即可得证. 命题3设f ( x) , g (x)在 a, b上连续,在( a, b)内可导,且f ( a)= f (b)=0,证明至少存在一点 (a, b) ,使f() + f ( ) g ()=0. 分析 将欲证明的结论形式地转化为 f( x) f ( x) + g( x)=0,两边积分 f(x) f ( x) dx + g( x) dx = C1得 l

11、nf (x) + g (x)= C1 整理后得f (x) e g(x) + C =0(C = - e C1 ). 证明 设辅助函数F ( x)= f (x) e g(x) ,显然F (x)满足罗尔定理条件,由罗尔定理得至少存在一点 (a, b) ,使得F ()=0,即 f( x) eg(x)+ f (x) eg(x)g(x) x =0, 故 f() + f ( ) g ()=0. 结论3对于证明形如: f(x) + f (x) g(x) x =0的等式,可设辅助函数F ( x)= f (x) e g(x) +C,进 而应用罗尔定理加以证明. 命题4设函数f ( x) , g ( x)在 a,

12、b上连续,在( a, b)内可导,且f ( a)= f ( b)=0,又在( a, b)内g (x) 0,证明至少存在一点(a, b) ,使得f() g () - g() f () + p() f () g ()=0,其中p( x)为在 a, b上已知的连续函数. 分析 将欲证明的结论形式地转化为 f( x) f ( x) - g( x) g (x) + p(x)=0,两边积分 f( x) f (x) dx - g(x) g ( x) dx + p( x) dx = C1 得 lnf ( x) -lng ( x) + p( x) dx = C1 61 薛利敏:罗尔定理应用中辅助函数的构造 第2

13、3卷 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 即 f (x) e p(x) dx g (x) + C =0(C = - e C1 ). 证明 设辅助函数F (x)= f (x) e p(x) dx g (x) +C,由F (a)= F (b)=0得C =0,易知F ( x)= f ( x) e p(x) dx g ( x) 在 a, b上满足罗尔定理条件,对F (x)应用罗尔定理便可得证. 结论4对于证明形如: f( x) g ( x)- g(x) f (x)+ p(x

14、) f ( x) g ( x) x =0的等式,可设辅助函数 F (x)= f (x) e p(x) dx g (x) + C,进而应用罗尔定理加以证明. 以上分析过程仅仅是形式的推导,并不严格,但并不影响我们用这种积分的方法构造辅助函数.事实 上,用积分方法寻找出的辅助函数确实能证明结论.运用积分法寻找辅助函数具有普遍性,下面再举例加 以说明. 例3若函数f (x)、g ( x)在 a, b上可微,且g( x)0,则至少存在一点 (a, b) ,使得 f ( a) - f () g ( ) - g ( b) = f() g(). 分析 将欲证明的结论形式地转化为 f (a) g( x) +

15、g ( b) f( x) - f ( x) g( x) + g ( x) f(x) =0, 两边积分 f (a) g( x) dx + g (b) f( x) dx - f (x) g(x) dx - g ( x) f(x) dx = C1 得 f ( a) g ( x) + g ( b) f (x) - f (x) g (x) + g ( x) f( x) dx - g (x) f( x) dx = C1 即 f ( a) g ( x) + g ( b) f (x) - f (x) g (x) + C =0(C = - C1) 证明 设辅助函数 F ( x)= f ( a) g (x) +

16、g ( b) f (x) - f (x) g (x) + C 容易验证F (x)在 a, b上满足罗尔定理条件,对F (x)应用罗尔定理便可得证. 参考文献: 1薛利敏.高等数学学习指导与习题详解M .西安:西北大学出版社, 2007. 2辛小龙.高等数学M .西安:西北大学出版社, 2005. 3陈文灯,吴振奎,黄惠青.高等数学解题方法和技巧M .北京:中国财政经济出版社, 2004. 4彭斯俊.高等数学习题课教程M .武汉:武汉理工大学出版社, 2003. 5华东师范大学数学系.数学分析(第3版) M .北京:高等教育出版社, 2002. 责任编辑 舒尚奇 The Construction of Auxiliary Function in the Application of Rolle Theorem XUE Li2min (Department ofMathematics and Information Science, Weinan TeachersUniversity, Weinan 714000, China) Abstract: This paper is to explore the approachesof how to structure auxiliary function in Rol