弹性力学课件02第二章 平面问题的基本理论.ppt

1、要点 建立平面问题的基本方程和方程的求解方法 包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程； 边界条件的描述；方程的求解方法等,第二章 平面问题的基本理论,一、 平面问题 平面应力问题、平面应变问题 二、 平衡微分方程 三、 斜面上的应力 四、 力边界条件 五、 几何方程 刚体位移、斜方向的正应变 六、 物理方程 七、 边界分类及边界条件 八、 圣维南原理 九、弹性力学问题的求解方法 十、 按位移求解平面问题 十一、按应力求解平面问题 相容方程 十二、常体力情况下的简化 相容方程 十三、应力函数 相容方程 逆解法与半逆解法,主要内容,一、平面问题 平面应力问题、平面应变问题,1. 平面

2、应力问题,(1)几何特征：等厚薄板,特殊的几何形状 平面应力问题 空间问题 平面问题 特殊的受力情况 平面应变问题,受力特征： 板表面不受力。板边沿受的面力和体内受的 体力平行于板面作用，沿 z 方向不变化。,(3)应力特征：由于板面上不受力，有： 独立的应力分量只有三个应力分量，且仅为 x、y 的函数，与z无关。即 符合以上三条的弹性力学问题成为平面应力问题,其它应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。,2. 平面应变问题,(1)几何特征：无限长、等截面棱柱体,水坝,外力特征：外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿 长度 z 方向不变化。,(3)应变、应力特征：任一横截面都

3、是对称面，则有，w=0, 即,应力分量有 ，其中 不独立，可以用 表示。,独立的应力分量仅有 ，仅为x,y的函数，与z无关,符合以上三条的弹性力学问题成为平面应变问题,其它应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。,剪应力互等,二、平衡微分方程,（1）斜面上应力在坐标方向的分量,斜面外法线N 在坐标中的方向余弦：l,m,（2-4）,三、斜面上的应力,（2）斜面上的正应力与剪应力,根据合矢量投影定理,正应力 剪应力,（3）主应力与主应力方向： 参考材料力学自习,x,y,O,P,A,B,N,外法线,类似于斜面上应力分量分析过程 平面问题的应力边界条件,四、力边界条件,1. 几何方程,

4、一点的变形： 线段的伸长或缩短； 线段间的相对转动；,变形前,变形后,P,A,B,u,v,注：略去了二阶以上高阶无穷小量。,五、几何方程 刚体位移、斜方向的应变,PA的正应变：,PB的正应变：,P点的剪应变：,P点两直角线段夹角的变化,2. 刚体位移 ： 自习,3. 斜方向的正应变,问题：已知 ，求任意方向的线应变r 和线段夹角的变化。,设 P 点的坐标为 (x，y)，N 点的坐标为（x+dx，y+dy），PN 的长度为 dr，PN 的方向余弦为：,于是PN在坐标轴上的投影为：,N点位移：,变形后的P1N1在坐标方向的投影：,设PN变形后的长度 P1N1=dr， PN 方向的应变为r，由应变的

5、定义：,两边同除以 (dr)2，得,略去二阶小量后,简化后,应用：电测时 应变花,物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。,简单胡克定律+泊松比效应+基本假设=广义胡克定律：,其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为侧向收缩系数，又称泊松比。,六、物理方程,1、平面应力问题的物理方程,由于平面应力问题中,2、平面应变问题的物理方程,两类平面问题物理方程的转换：自习,1、位移边界条件,位移分量已知的边界 位移边界,用us 、 vs表示边界上的位移分量， 表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：,七、边界分类及边界条件,2、应力边界条件,给定面力分量 边界 应力边界 由前面斜

6、面的应力分析，得,3、混合边界条件,例1、图示水坝，试写出其边界条件。,由应力边界条件公式，有,解、,例2、如图所示，试写出其边界条件。,(1),(2),(4),(3),注： x = 0 的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：,例3、图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明：在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。,解：平面应力问题，在 AC、AB 边界上无面力作用。,由应力边界条件公式,问题的提出：求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。,1. 静力等效的概念,两个力系，若

7、它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系。,这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。,八、圣维南原理,2.圣维南原理,(Saint-Venant Principle),原理：若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。,3.圣维南原理的应用,例4、矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。,解：左侧面：,代入应力边界条件公式,右侧面：,代入应力边界条件公式，有,上端面：,为次要边界，可由圣维南原理求解。,y方向力等效：,对O点的力矩

8、等效：,x方向力等效：,注意：,必须按正向假设！,九、弹性力学问题的求解方法,1、将平衡方程用位移表示,由应变表示的物理方程,将几何方程代入，有,再代入平衡方程，化简有,十、按位移求解平面问题,2、将边界条件用位移表示,（）位移边界条件：,（）应力边界条件：,（a）,将式（a）代入，得,、位移法的优缺点,缺点：数学求解困难重重,优点：三类边值问题都可解,应用：工程中常用此法进行数值计算,按应力求解平面问题的未知函数：,平衡微分方程：,2个方程方程，3个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，从几何方程、物理方程建立补充方程。,十一、按应力求解平面问题 相容方程,1.变形协调方程相容方程,将几何方

9、程：,作如下运算：,显然有：, 形变协调方程相容方程,即： 必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协调，才能求得这些位移分量。,2. 变形协调方程的应力表示,（1）平面应力情形,将物理方程代入相容方程，得：,利用平衡方程将上述化简：,将上述两边相加：,a,b,将 (b) 代入 (a) ，得：,将 上式整理得，平面应力情况的用应力表示的相容方程：,（2）平面应变情形,注意：当体力为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即,将上式中的泊松比代为： ，可以得到平面应变情形应力表示的相容方程,例5、下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体

10、力）。,（1）,（2）,（a）,（b）,例5解、（1）,将式（a）代入平衡方程：, 满足,将式（a）代入相容方程：,式（a）不是一组可能的应力场。,例5解、（2）,将式（b）代入应变表示的相容方程：,式（b）满足相容方程，（b）为可能的应变分量。,例6、图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力 的表达式，并取挤压应力 =0，然后说明这些表达式是否代表正确解。,解,材料力学解答：,式（a）满足平衡方程、相容方程和边界条件？,（1）代入平衡微分方程：,显然，平衡微分方程满足。,式（a）满足相容方程。,（3）再验证是否满足边界条件？, 满足,满

11、足,近似满足,近似满足,（2）代入相容方程：,上、下侧边界：,右侧边界：,左侧边界：,结论：式（a）为正确解,1. 常体力下平面问题的相容方程,令：, 拉普拉斯（Laplace）算子,则相容方程可表示为：, 平面应力情形, 平面应变情形,当体力为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即,十二、常体力情况下的简化 相容方程,2.常体力下平面问题的基本方程,（1）平衡方程,（2）相容方程,（3）边界条件,（4）位移单值条件, 对多连通问题而言。,讨论：,（1）,Laplace方程，或称调和方程。,（2）,常体力下，方程中不含E、,（a）,相同，,）不同。,（b）,不同材料，具有相同外力和边界条件时，

12、其计算结果相同。, 光弹性实验原理。,（3）,用平面应力试验模型，代替平面应变试验模型，为实验应力分析提供理论基础。,3.常体力下体力与面力的变换,平衡方程:,相容方程:,边界条件:,令：,常体力下， 满足的方程：,(a),将式(b)代入平衡方程、相容方程、边界条件，有,(b),(c),表明：,（1）变换后的平衡方程、相容方程均为齐次方程（容易求解）；,（2）变换后问题的边界面力改变为：,结论：,当体力X =常数，Y =常数时，可先求解无体力而面力为：,转换问题的解为：,而原问题的解为：,例如：图示深梁在重力作用下的应力分析。,原问题：,体力：,边界面力：,所求应力：,变换后的新问题：,体力：

13、,边界面力：,(1)AF , m=1, y = 0:,(2) DE, m=-1, y = h:,(3) BC，m=-1, y = 2h：,所求得的应力：,原问题的应力,(4) EF，m=0：,(5) AB，m=0：,常体力下体力与面力转换的优点：,原问题的求解方程,变换后问题的求解方程,常体力问题,无体力问题,作用：,(1),方便分析计算（齐次方程易求解）。,(2),实验测试时，一般体力不易施加，可用加面力的方法替代加体力。,注意：,面力转换公式： 与坐标系的选取有关，因此，适当选取坐标系，可使面力表达式简单。,常体力下问题的基本方程：,非齐次方程通解 = 非齐次方程特解 +对应齐次方程通解。

14、,(1)非齐次方程特解,常体力下特解形式：,(2)对应齐次方程通解,对应的齐次方程：,平衡方程,相容方程,面力条件,位移条件,十三、应力函数 相容方程 逆解法与半逆解法,由微分方程理论，必存在一函数 A(x , y)，使得,也必存在一函数 B(x , y)，使得,对应的齐次方程第一式改写为：,对应的齐次方程第二式改写为：,t1,t2,比较式t1与t2，有,由微分方程理论，必存在一函数 (x,y)，使得,那么，对应齐次方程通解,(x,y) 应力函数 （Airy 应力函数）,(3) 非齐次方程通解,取特解为：,则非齐次方程通解为：,由式（2-26）看：不管(x,y)是什么函数，都能满足平衡方程。,（4）相容方程的应力函数表示,将解代入常体力下的相容方程：,注意到体力 X、 Y 为常量，有,将上式展开，有, 应力函数表示的相容方程 它给出了应力函数满足的条件。,(x,y)应是什么函数？,可简记为：,或：,式中：,结论：,应力函数应为一重调和函数,(5) 求解方法,（1）逆解法,（2）半逆解法, 主要适用于简单边界条件的问题。,假设各种满足相容方程的应力函数的函数形式；然后计算应力 分量，再利用应力边界条件求出边界面力，从而得知所设的应力函数可 以求解什么样的问题。,根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量或全部应力分量的函数形式 ；根据应力