课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--上机习题答案

1、 1 第 3 章 离散傅里叶变换(DFT) 上机习题答案 1. 解解解解： 该题求解程序为 ex323.m， 程序运行结果如下图所示。 第（1）小题 用 1024 点 DFT 近似 x(n)的傅里叶变换； 第（2）小题用 32 点 DFT。 题下图(e) 和(f)验证了X(k)是X(ej)的等间隔采样， 采样间隔为2/N。 图(g) 验证了IDFT 的惟一性。 2. 解解解解： 设 x1(n)和 x2(n)的长度分别为 M1和 M2， X1(k)=DFTx1(n)N, X2(k)=DFTx2(n)N Yc(k)=X1(k)X2(k), yc(n)=IDFTYc(k)N 2 所谓 DFT 的时域

2、卷积定理， 就是当 NM1+M21 时， yc(n)=x1(n)*x2(n)。 本题中， M1=M2=4， 所以， 程序中取 N=7。 本题的求解程序 ex324.m 如下： % 程序 ex324.m x1n=2 1 1 2 ； x2n=1 1 1 1 ； %时域直接计算卷积 yn： yn=conv(x1n， x2n) %用 DFT 计算卷积 ycn： M1=length(x1n)；M2=length(x2n)； N=M1+M21； X1k=fft(x1n， N)； %计算 x1n 的 N 点 DFT X2k=fft(x2n， N)； %计算 x2n 的 N 点 DFT Yck=X1k.*X2

3、k； ycn=ifft(Yck， N) 程序运行结果： 直接在时域计算x1(n)与x2(n)的卷积yn和用DFT计算x1(n)与x2(n)的卷积ycn 如下： yn=2 1 2 2 2 1 2 ycn= 2.0000 1.0000 2.0000 2.0000 2.0000 1.0000 2.0000 3. 解解解解： 本题的求解程序为 ex325.m。 程序运行结果如下图所示。 由图可见， 循 环卷积为线性卷积的周期延拓序列的主值序列； 当循环卷积区间长度大于等于 线性卷积序列长度时， 二者相等， 见图（b）和图(c)。 程序 ex325.m 如下： %程序 ex325.m 3 hn=1 1

4、1 1 ； xn=0 1 2 3 ； %用 DFT 计算 4 点循环卷积 yc4n： H4k=fft(hn， 4)； %计算 h(n)的 4 点 DFT X4k=fft(xn， 4)； %计算 x(n)的 4 点 DFT Yc4k=H4k.*X4k； yc4n=ifft(Yc4k， 4)； %用 DFT 计算 8 点循环卷积 yc8n： H8k=fft(hn， 8)； %计算 h(n)的 8 点 DFT X8k=fft(xn， 8)； %计算 x(n)的 8 点 DFT Yc8k=H8k.*X8k； yc8n=ifft(Yc8k， 8)； yn=conv(hn， xn)； %时域计算线性卷积

5、yn： 4. 解解解解： 求解本题（1） 、 （3） 、 （4） 、 （5） 、 （6）的程序为 ex326.m。 下 面证明（2） 。 N=30 和 N=15 时， 对频域采样 Ck进行离散傅里叶级数展开得到的序列分别 如下图(b)和(c)所示。 由图显而易见，如果 Ck表示对 X(ej)在0，2上的 N 点等间隔采样， 则 简言述之： xN(n)是 x(n)以 N 为周期的周期延拓序列 的主值序列。 程序 ex326.m 如下： 程序中直接对（2）中证明得到的结果采样得到 Ck。 %程序 ex326.m % 频域采样理论验证 clear all； close all； a=0.9； L=1

6、0； n=-L： L； %= N=30 = N=30； xn=a.abs(n)； %计算产生序列 x(n) subplot(3， 2， 1)； stem(n， xn， .)； jj0jj 1 jj 11 (e)FT ( )e(ee) = (0)(ee)(0)2( )cos LL nnnnnn nLn LL nnn nn Xx naaaa xaxx nn = = =+ +=+ ( )IDFT()( )( )( ) NkNN m xnCx nmN Rnx n Rn = =+= % 4 axis(15， 15， 0， 1.2)； %(1)显示序列x(n) title(a)x(n)的波形 )； xla

7、bel(n)； ylabel(x(n)； box on % 对X(jw)采样30点： for k=0： N1， Ck(k+1)=1； for m=1： L， Ck(k+1)=Ck(k+1)+2*xn(m+L+1)*cos(2*pi*k*m/N); %(3)计算30点%采样Ck end end x30n=ifft(Ck， N)； %(4)30点IDFT得到所要求的周期序列的主值序列 %以下为绘图部分 n=0： N1； subplot(3， 2， 2)； stem(n， x30n， .)； axis(0， 30， 0， 1.2)； box on title(b)N=30由Ck展开的的周期序列的主值

8、序列 )； xlabel(n)； ylabel(x30(n) %= N=15 = N=15； % 对X(jw)采样15点： for k=0： N1， Ck(k+1)=1； for m=1： L， Ck(k+1)=Ck(k+1)+2*xn(m+L+1)*cos(2*pi*k*m/N); %(3)计算30点%采样Ck end end 5 x15n=ifft(Ck， N)； %(4)15点IDFT得到所要求的周期序列的主值序列 %以下为绘图部分 n=0： N1； subplot(3， 2， 3)； stem(n， x15n， .)； axis(0， 30， 0， 1.2)； box on title

9、(c)N=15由Ck展开的的周期序列的主值序列 )； xlabel(n)； ylabel(x15(n) 程序运行结果如下图所示。 5 解解解解： 求解本题的程序为ex327.m， 程序运行结果如下图所示。 本题选择变 换区间长度N的方法如下： 对x1(n)， 其周期为10， 所以取N1=10； 因为 x2(n)=sin(0.45n) sin(0.55n)=0.5cos(0.1n)cos(n) ， 其周期为20， 所以 取N2=20； x3(n)不是因果序列， 所以先构造其周期延拓序列 （延拓周期为N3） ， 再对其主值序列进行N3点DFT。 x1(n)和x2(n)是周期序列， 所以截取1个周期

10、， 用DFT进行谱分析， 得 出精确的离散谱。 x3(n)是非因果、 非周期序列，通过试验选取合适的DFT变 换区间长度N3进行谱分析。 6 x1(n)的频谱如图(a)和(b)所示， x2(n)的频谱如图(c)和(d)所示。 用32点DFT对 7 x3(n)的谱分析结果见图(e)、 (f)和(g)， 用64点DFT对x3(n)的谱分析结果见图(h)、 (i)和(j)。比较可知，仅用32点分析结果就可以了。 请注意，x3(n)的相频特性曲线的幅度很小， 这是计算误差引起的。 实质上， x3(n)是一个实偶对称序列，所以其理论频谱应当是一个实偶函数，其相位应当是 零。 程序ex327.m如下： %

11、程序ex327.m % 用DFT对序列谱分析 n1=0： 9； n2=0： 50； n3=-10： 10； N1=10； N2=20； N3a=32； N3b=64； x1n=2*cos(0.2*pi*n1)； %计算序列x1n x2n=2*sin(0.45*pi*n2).*sin(0.55*pi*n2)； %计算序列 x2n x3n=0.5.abs(n3)； %计算序列x3n x3anp=zeros(1， N3a)； %构造x3n的周期延拓序列， 周期为N3a for m=1： 10 x3anp(m)=x3n(m+10)；x3anp(N3a+1-m)=x3n(11m)； end x3bnp=zeros(1， N3b)； %构造x3n的周期延拓序列， 周期为N3b for m=1： 10， x3bnp(m)=x3n(m+10)； x3bnp(N3b