魏权玲经典文献之一：DEA概论与C_2R模型_数据包络分析_一_

1、年月系统工程理论与实践第期 概论与模型 数据包络分析一 魏权龄岳明 中国人民大学 一 、 概论 数据 包络分析 , 简记是 著 名 的运筹学家 和 。 。 等人以相对效率概念为基础发展 起来的一种崭新的效率评价方法 。 继年第一个模型 俨模型仁 发表后 , 新的模型和其他重要理论结果不断出现 , 模型 的实际应用 也日益广泛 。 已成为运筹学的一个新的研究领域 。 具体来说 , 是 使用数学规 划模型比较决策单元之间的相对效率 , 对决策 单元做 出 评价 。 一个决策单元 , 简记在某种程度上是一种约定 , 它可以是学校 、 医院 、 法院 、 空军基地 , 也可以是银行或企业 。 确定的主

2、导原则是 就其 “ 耗费的资源 ” 和 “生产的产品” 来说 , 每个都可以看做是相 同的实体 。 亦即在 某一视角下 , 各有相同的输入和输出 。 通过对输入输出数据的综合分析 , 可以 得 出每个综合效率的数量指标 , 据此将各定级排队 , 确定有效的即相对效率 最 高 的 , 并指 出其他非有效的原因和程度 , 给主管部 门提供 管理信息 。 还能判断各的投入规模是否恰当 , 并给出了各调 整投入规模的正确 方向和程 度应扩大还是应缩小 , 改变多少为好 。 , 模型对决策单元 的规模有效性和技术有效性同时进行评价 , 即 模型中的 有效的决策单元既是规模适当又是技术管理水平高的为正确估

3、计有效生产前沿面 , 年 , 和 。 。 等人又提出了模型 , 用于专门评价决策单元的技术有效性 。 年 , “ 、 。 和 为 了 进一步研究 “ 生产前释函数 ”, 一提 出了模型 , 把 , 模型推广到决策单元有无限多个的情况 。 年 , 、 和 又提出了被称为锥比例的模型 模型川 。 这一模型可以用来处理决 策单元 的 输入输出指标过多的情况 , 而且模型中各个锥的选取能够体现决策 者的 “ 偏好 ”。 灵活地运 用这一模型 , 可以将 , 模型中确定 的有效决策单元进行分类或排队 。 上述四个各具 特色的模型实质上都可统一在年由 、 和新提出的综 合模型 模型中 。 经济学 中著名的

4、一生产函数恰好成为模型 型的一个经济背景 。 模型是建立在数学规 划理论基础上 , 如线性规划及其对偶和锥对偶理论 , 半无 本文于年月 日收到 。 第期概论与 之 模型 数据包络分析一 限规划及其对偶和锥对偶理论 。 同时 , 又可以看作是处理多输入多输出间 题的多目标 决策方法 。 可以证明 , 有效性与相应的多目标规划间题 的有效解或非支配解是 等价的 。 特别适用于具有多输入多输出的复杂系统 。 这主要体现在以下两点 以决 策单元各输入输出的权重为变量 , 从最有利于决策单元的角度进行评价 , 从而避免了确定各 指标在优先意义下的权重 。 假定每个输入都关联到一个或多个输出 , 而且输

5、入输出之 间确 实存在某种关系 , 使用方法则不必确定这种关系的显式表达式 。 方 法 排除了很 多主观的因素 , 因而具有很强的客观性 。 成功运用的关键在于输入输出指 标 的正确选 择 。 除了在处理多输入多输出问题上有绝对优势之外 , 在评价公共部门的效率方面也 有独到之处 。 的首次成功运用 即是评价为弱智儿童开设 的公立学校项目 。 在评估中 , 输出包括 “ 自尊 ” 等无形 的指标 , 输入包括父母 的照料和父母 的文化程度 等 不可公度 的指 标 , 即无论那种指标都无法与 “ 市场价格 ” 相比较 , 也难以轻 易定出适 当的权重 。 最引人注目的研究是把与其他评价方法作比较

6、 。 在对美国北卡罗莱纳州 各医院的 评价 中 , 己有的按计量经济学方法给出的回归生产 函数认为 , 此例不存在规模收益问题 。 而 应用进 行研究发现 , 尽管使用 同样的数据 , 回归生产 函数无法像 入那样正确地测定 规模收益 。 其关键原 因在于两种方 法对数据的使用方式不 同 。 致力于单个医 院的优化 , 而不是各医院构成之集合的整体统计回归优化 。 将与美国马萨诸塞州效率 评定委员会使用的比例方法相比较 , 并用模拟方法对进行检验后发 现尽管回归函数 产生的数据有利于 回归方法的使用 , 但是显得更有效 。 又可视为一种新的 “统 计 ” 方法 。 如果说原统计方法是从大量样本

7、数 据 中分析出 样本集合整体的一般情况的话 , 那么则是从大量样本数据 中分析出样本集合中处于相 对最优情况 的样本 个体 。 换句话说 , 传统统计方法的本质是平均性 , 而的本质则是最 优性 。 的 这一特 点在研究经济学领域中的 “生产 函数 ” 问题时 , 有其他方 法 无法取 代的优越性 。 这是因为 , 回归统计方法把有效的和非有效的样本混 在 一起进行回 归分析 , 得出的 “生 产函数 ” 实质上是 “ 平均生产函数 ”, 是 “ 非有效的 ”, 不符合经济学 中 关于生产函数的定义 。 则利用数学规划的手段估计有效生产前沿面 , 从而 避免了统计 方法的缺陷 。 的 出现

8、, 给多输入多输出情况下 的 “生产 函数 ” 研究开辟了新的前景 。 的优点吸引了众多的应用者 。 在国外 , 的应用范围不仅扩展到军用飞机的飞 行 、 基地维修和保养 、 陆军征兵 、 城市评价等方面 , 而且在对银行 、 电力企业乃至相互之间 存在着激烈竞争的私人商业公司的评价 中 , 也获得了成功 。 在国内的很多领域中 , 也已得到应用 。 例 如 , 用方法对全国绵纺工业 、 铝冶炼工业进行评价研究 , 并将结果 反馈到实际部门 , 得到了有关部门的高度重视 。 应用对全国学术性协会的评价工作也 引起了各方的浓厚兴趣阔 。 的应用也推动了的发展 。 如对绵纺工业 的评价 中 , 决

9、策单元的规模过大 , 经 过理论上 的研究 , 证明了综合模型 , 中的有效决策单元 的几个恒等式 , 从 而确立 了的分解算法 , 简单地解决了这个间题 。 实际部门对决策单元分类排序的要求 , 此项工作由中国人民大学信息系运筹室承担。 系统工程理论与实践年月 引起了对倒置模型的研究 , 该研究将导致新的分类方法 。 另外 , 对决策单元的增减所 引起的有效决策单元集合的变化的研究也有一些结果 。 上述结果将在本讲座的以后几讲中叙 述 。 作为多目标决策方法 , 与对策论有着密切的血缘关系 。 年 , 、 和首先利用 , 模型研究了无限矩阵对策理论 。,。 年 , 、 、 和又利用 , 模型

10、的原理建立了带有交叉约束策略集的多人对策的锥极点理论川 。 可以预料 , 的思 想对于其他领域的研究工作也会产生重大的影响 。 在我国的政治 、 经济体制改革中 , 做为一种科学的评价方法 , 将会 起到日益重要 的作用 , 并在应用中得到自身的丰富和完善 。 二 、 “ 模型和有效性 我们现在介绍的最基本模型 , 模型 。 假设有个决策单元 , 每个决策单元都 有。种类型的 “ 输入 ”, 以及 种类型 的 “ 输出 ”, 分别表示该单元 “ 耗费的资源 ” 和 “工作 的成效 ”。 它们可由表给出 表 一 。 。一今 砂一 , 一 价 男, 一 一 肠 一 卜 “ 今 “ 一, 一 , 其

11、中 , 二, 为第个决策单元对第种类型输入的投入量 , 夕 , , 为第个决策单元对第种类 型输出的产出量 ,。 为对第种类型输入的一种度量 “ 权 ” “ 为对第种 类型输出的一 种度量 “ 权 , , 而且 , , , , 。 , 。, , , , 多 , , , , , ,。 二,及夕, 为已知的数据 , 可以根据历史资料或预测得到 , 。 及 “ , 为 “ 权 ” 变量 记 一二劣, ,二 , , 、, , ,了, , ,。 则可用 , , 表示第个 决策单元 , 。 对应于权系数 口” , , 人 , “ , ,。, 每个决策单元都有相应的 效率评价指 数 “ ” , , 我们总可

12、以适当地选择权系数 口 和 。, 使其满足 , , , ,。 第期 概论与 模型 数据包络分析一 现在对第 。个决 策单元进行效率评价 。 简记刀万 ,。为 。, 了。, 巧 为 。, 犷 。, 布 。为 。, 二 。二。 在各决策单元的效率评价指标均不超过的条件下 , 选择 权系数 “ 及 。, 使 。最大。 于是构成如下的最优化模型 。 。 “ 。 。 厂笋 丁 七蕊飞 , 水 , 二 , , 这个原始规 划模型是一个分式规 划 。 等价的线性规划问题 。 令 二 。丁 。, 则原分式规 划转化为 。 , “ 利用一变换 , 可以将厂化为一个 少、, 一 尸 口一 口一 拜 “ 、 召 。

13、一 犷尸 丁 一拼。 , 。 。 , , , 口 , 拼 下面 的定理给出了分式规划间题与线性规划间题 尸 的相互关系 。 定理分式规划护与线性规划 尸 在下述意义下等价 若沪 ,“。为 户的最优解 , 则 二 , 川 。为 尸 的最优解 , 并且两个规划的最 优值相等 。 其中 。 护 了 。 的若扩 , 矿为 尸 的最优解 , 则扩 , 矿也为尸的最优解 , 并且两个规划的最优值相 等 。 线性规划 间题 尸 的对偶规划 问题为加入松弛变量 干及一 以后 口厂 艺 ,山 一 刁 习 击一 “十 一 凡 , , 二 , , , 小一 厂 尹 、 、 月产 了 下面我们截取对铝冶炼工业进行评价

14、的一个片断作为数值例子 , 以加强对模型的理解 。 例设有 、 四家电解铝厂 , 其输入输出指标及有关数据如表 。 表 月 。 吨铝氧化铝投入百公用吨 ”, ,” ,”“ 吨铝能源投入标煤百公斤吨 人员投入人 。,” 铝锭总产量吨 利税总额万元 系统工程理论与实践 年月 评价厂的相对效率的规划问题为 几 , 久 , 几 , 几 丁 几元只只万 久几 , 久几 。 百 口 几 、 几几几 一 卞 几 、 之之之 一 吉二 几 , 几 , 几 , 几 , 下 , 万 , 百 , 方 吉 。 由规划问题 尸 与的形式可以得知下面的定理成立 。 定理规划问题 尸 及其对偶规划问题都有可行解 , 因而

15、都有最优解 , 并且最优 值满足厂 。 厂 , 。 我们给出 “ 模型下有效性的定义 。 定义若线性规划问题 尸 的最优解 。“及丫满足厂 , 二衅 了 。二, 则称 ,。为弱 有效 。 定义若线性规划间题 尸 存在某个最优解 扩及川满足犷 一矿 犷。一, 并且 。 , 娜。 , 则称为有效 。 由定义不难看出 , 若 ,。 为有效 , 那么它也是弱有效的 。 利用对偶规划也可以判断决策单元 的有效性或弱有效性 。 由线性规划对 偶理论和 “ 紧松 ” 定理 、“ 松紧 ” 定理 , 可得到 定理关于对偶规划 , 有 。 为弱有效的充分必要条件为规划 间题的最优值犷 。 。 , ,。 为有效的

16、充分必要条件为规划问题的最优值厂 。一 , 并且它 的每个 最优解元 。二 几 , , 几 ,一。, ”, 夕 。 都满足 一 ”,“二 。 我们用一个例子来说 明有效性的工程技术背景 。 例考虑某种燃烧煤以产生热量的燃烧装置 。 在工程上 , 该装置的热效率用比值 来刻划 , 。 其中 , 夕、为燃烧给定数量 二 的煤所能产生 的最大热量即理想值 , , 为使用该装置燃 烧相同数量 二 的煤所能产生的热量 即实测值 。 显然有。鉴 , 鉴 。 利用模型也可以得到上 面所定义的 ,。 考虑规划间题 “ , 加 二 ,犷笋 夕、 二 。笋二镇 “ , 了 性理、叮、 、, 苦 为对理想装置和实际

17、装置这两个 决策单元 中的后者进行评价所得到的模型 。 设其 最优解为 。 及 , 由 夕 , 夕、 , 。 夕。 。二成 可得到 “镇 笋 第期概论与 , 模型 数据包络分析一 因此当 。外。二 时 , 必有笋 。二 , 故户的最优解满足 “。 外 从而最优值 不笋 “ , 。二 、 夕 , , 。 ,。 这就是说 , 燃烧装置的最优效率评价指数厂声就是热效率 ,。 可见 , 有 效性是工 程上的效率概念在多输入多输出系统中的推广 。 在实际应用中 , 各输入量与输出量都带有一 定的量纲 。 在不 同的量纲下 , 输入量与输出 量的数值不同 。 可以证明如下的定理 。 定理决策单元的最优效率

18、评价指数厂笋与输入量及输出量的量纲选取无关 。 一个理想的决策单元应该是以较少的输入达到较大的输出 。 用多目标规划的语言可以这 样描述个决策单元中 , 最理想的决策单元的输入及输出应该是下述多目标规划问题的 有效解 厂尸 厂一 , , 任 其中 一 、, ,二刁丁, 一 , 夕 , , 夕 了, , 一 丁丁, 一 , 习 ,又, 万 幻 玖 山浏 一 , 一 ” 有效性和多目标规划间题 厂 的有效解在本质上是相同的 。 我们有 理定 ,。, 为多目标规划问题 厂 的有效解当且仅当 。为 有效的 。 理定 ,。, 。 为多目标规划问题 犷 的弱有效解当且仅当 。为 弱有效的 。 可以证明多

19、目标规划间题 厂 的 。有效解是确实存在的, 因而有 定理至少存在一个决策单元 , 它是有 效的 。 三 、 有效性的判定及在相对有效面上的投影 检验 。 的有效性时 , 如果利用线性规划问题 尸 “ 一心 。尸 叨 ,一“ , 妻 , 一 , “ , 一 ” 。 。一 、 川料 需要判断是否存在最优解 。,少满足 切 , 拼 , 犷 , 召百 。 如果利用对偶线性规划间题 刀 系统工程理论与实践 走 年月 厂 名 ,“, 一 口 。 名 ,之,一“十 。 凡 , 少“ , , ” 一, 需要判断是否其所有最优解尸 ,一“, “, 口 “都满足 犷 刀 ,平。, 一。 无论 哪种方法都不很方便

20、 。 和 。 引进了非阿基米德无穷小的概念 , 以便用 线性规划的单纯形算法求解模型 , 判断 。的 有效性 。 在广义实数域内 , 非阿基米德无穷小量 。 是一个小于任何正数且大于零的数 。 考虑带有 非阿基米德无穷小量 。 的模型 。 尽 。二 犷 二。 , 、 切 , 一召 犷, 山 了 。一 田 。户 , 拼 , 扮 ,少、 奋,、 尸 其中。 了, , 任 二,一 , , 、。 尸 , 的对偶规划 问题为 口一 。 户了 一 十 “ 犷 , 召 名 , 、 , 一 。 名 , 一 一 , 元 , , 了一 , ,十 妻 一 利用此模型 , 可以一次判断出 ,。 是有效 , 还是仅为弱

21、有效 , 或者是非 有效 。 实际上我们有以下的定理 。 定理设 己 为非阿基米德无穷小量 , 并且规划问题刁 的最优解为矛 ,一”,十。, 少 , 则有 若口 “ 一 , 则 几为弱 有效 。 若 。, 并且 一。二,十 。一 。 , 则 。 为有效 。 在实际应用 中 , 只要取 。 足够小例如取 。二 一“, 就可以使用单纯形方法解规划问题 。 若 、为 有效 的 , 对应 的规划间题 尸 有最优解扩 , 川满足 。 口, 拼 , 厂 , 拼百 。 又由 。 。一, 所以有 。 丁。一“。 。, 即点 。,。 位于超平面 二 。一料 卜 。上 。 可以证明这个超平面 二 上 的其他点所代

22、表的决策单元也是有 效的 。 超平面 二 称为的相对有效平面 。 据此 , 我们可以考虑应如何改进一个 非有效的决策单 兀 。 第期概论与模型 数据包络分析一 定义考虑 。 对应 的带有非阿基米德无穷小 。 的对偶规划问题刀 , 设其最优 解为几 。, 一。,。,。, 令 戈 。二”。一一。,。 称戈 。, 式 为 。 对应的 。,。 在相对有效平面上的 “投影”。 戈 。, 夕 。 可以看作一个新的决策单元 , 显然下面 的定理成立 。 定 理设戈 。, 式 为 。 对应 的点 。, 犷 。 在相对有效面 上 的投影 , 则戈 。,。 所代表的新的决策单元相对于原来的 , 个决策单元来说 ,

23、 是有 效的 。 定 理设矛 ,一刃,。, 少是 户的最优解 , 记 。 丈川 , 毛镇时 , 则有 丫 任 。, 带 为有效 的 。 。 在相对有效面上的投影 , 实际上为改进非有效的 , 提供了一个可行 的方案 , 同时也指出了非有效 的原 因 。 对具体的 。 做更细致的进一步分析 , 可以给主 管部门提供更多的管理信息 。 在实际应用 中 , 利用定理的结果 , 可以减少计算量 , 提高评 价工作本身的工作效率 。 四 、 有效性的经济含义 设某种生产活动的投 入量 为 二 , , , , , 二 , , 产出量 为 , 艺, , 为 , 于是 可用点 , 表示该 种生产活动 。 考虑

24、个 决策单元 , 对应的生产活动分别为 , , 二 , , , 。 我们的目的是根据所观察到 的生产活动 , 去估计生产可能集 , 并确 定哪些决 策单元 的生产活动是相对有效的 。 这里的生产可能集定义为所有可能的生产活动所构成的集 合 。 即 一仪 , 产 出可由投 入生产出来 。 在 , 模型中 , 满足以下几条公理 凸性丫尤 ,厂 任犷 , 戈 , 任丁 , 丫元任 , 都有 几 , 十一之 戈 , 几十 一久戈 , 之 十一几犷任 即若分别以和戈的之及 一劝 比例之和做为投入 , 则可以生产分别以和的相同比例之 和的产出 。 锥性丫 , , 丫 , 都有 , , 任 即若以投入量的倍

25、进行输入 , 那 么输出量为原来产出的倍是可能的 。 无效性丫 , , 都有 戈 , 任 , 丫戈 , 幻 任 , 簇 即在原来的基础上 , 单方面增加投入或减少产出总是可能的生产活动 。 也就是说 , 浪费是存 在的 。 最小性生产可能集是满足上述条件 的所有集合的交集 。 即为它们中最 小的 。 显然我们观察到的经验生产活动 , , 刀任 , 了 , , 。 由此可得 “ 经验 ” 生产 可能集 系统工程理论与实践年月 一 , 艺 , , , 习玖“ , , 山 。 ,“, , ” 下面的例子说明了单输入单输出时的情况 。 例设决策单元及输入输出由下表给出 则生产可能集为 一 , , 几

26、, 十几 , 几 , 久 几 , 几十久 。十 几 图生产可能集 、 , 。 , ,一 , 丫二士、 图生产函数 、 技术有效 、 规模有效 如图所示 。 图中的 “” 表示 , ” 表 “ 示等等 。 我们继续以单输入单输出的情况来说明 有效性的经济含义 。 先考虑生 产函数 的概念 。 生产函数表示生产处于 最 理想状态时 , 投入量为时所能获得的最 大产出量为 。 因此 , 从生产函数角度看 , 函数图象上的点 , 所代表的决策单 元 , 如图中的 、 , 都 处于 “技 术 有 效 ” 的理想状态 。 压,毛, 生产函数的一般形状如 图所示 。 生产函数显然是增函数 。 点把函数分为两

27、部分 。 在 点左面 , 函数 “ 加速上升 ”, 说明增加投入量可以使产出有较高的增加 , 因而厂商有投资的 积极性 。 这一段区间称为规模收益递增阶段 。 在面右面 , 则是规模收益递减阶段 , 表现为 投入量 为时 , 如再增加 , 产出增加的效率不高 , 厂商已没有再继续增加投资的积极性 。 因此 , 点所代表的投入规模是最适当的 。 即点所代表的决策单元 , 既是技术有效 , 又是 规模有效的 。 点所代表的决策单元是技术有效的 , 却不是规模有效的 。 减少决策单元的 投入量 , 同时保持其技术有效性 , 可以增加单位投入的产出 。 点所代表 的决策单元显然是 非有效的 。 我们现

28、在来研究模型下的有效性的经济含义 。 检验 。 的有效性 , 且是考虑规划 问题 乡二厂 刀 名 , , 刻 。 万 , , , 元 , , 第期概论与模型 数据包络分析一 由于 。, 位于生产可能集内 , 由 丁一 尤 , 名 , , 艺 ,“, , 兄, , 一 , ,” 可以看出 , 规划问题 刀 致力于在生产可能集内 , 保持产出 。 不变 , 同时将投入量 按同一比例 尽量减少 。 如果投入量 。不 能按 同一比例减少 , 即规划问题的最优值 犷 , 在单输入单输出情况下 , ,。同时为技术有效和规模有效的 。 若不然 , 则规 划问题的最优值 犷一 ,。不 为规模有效 。 为形象地

29、理解如何确定的规模收益是递增还是递减 , 我们研 究下述形式的 模型, 和刀 产 。 这是将原始规划间题马中的目标函数求最大 即 。一“ , 了 改为 一孟 。 。 。 。, 再经过。一变换得到的 。 。一 犷衬 口 “丫 一“犷 , 少 , , 召 。 口李环 厂刀 , 艺兀 儿 、一 低 艺 犷 ,之, 一 十 一 。 夕 久 ,李, , ,一 , , 丁 权 万 、 了 了 、了、声 尸 、了 、 阁规虞收益的确定 对模型 尸 和 产 可类似 定义有效性及弱有效性 , 两种定义是完全 等价的 。 一切有关定理也相应成立 。 与在形式上的区别表现在 致力于在 生产可 能集内 , 保持投入

30、。 不 变 , 同时将产 出量 。 按同一比例尽量增大 。 即使图中的 点尽力向上移而不是尽力向左移 。 因而在 , 中点 的投影 的投入规模不改变 。 我们 只 需判断 尹点是在 点的左边还是右边 即可判定点的规模收益是递增还是递减的 。 设的最 优解 为沪二君 , 君 , , 之朴 , 一, 气 , 可以证 明 , 当所评价的决策单 元 。位于规模收益递增阶段 时 图中点所在的区域 , 沉盯 当 。 。 位于规 模收益递减阶段时 如 图中点所在的区域 , 艺盯 当 。 具有恰当的 投 入规模 时如图中的点及 , 万尸 。 又可证明 , 当几 。,一, 。, 为规划问题的最优解 , 几几 ”

31、,一一, 一 , 。 一 为规划间题 的最优解 。 因而当习对 , 一,时 , 具有恰当 系统工程理论与实践年丹 了乙 倪 投入规模当万川 酬 时 , 。 的规模收益为递 增当习刘 少 时 , 。 的规 性 模收益为递减 。 我们仍用单输入单输出例子做进一步说 明 。 例设 决策单元及输入输出由下表给 出 。民 ” 众下上 一 图数值例子 且 , 和位于生产函数曲线上如 图 。, 对应 的规划 问题分别为 召 , , 一拼 。异 口 , 一环 。 。 , 一拼 、 口“ 。 , 拜 , 久 , 几 , 几镇口 几久十几 之 , 之 , , 几 了刃哎 尸 有最优解试 一 鲁 。 , 贾 乙 冬 且 , 一。一 , 。有最优解, 。一, 。 , 。 , 乙 。 可知为技术有效兼规模有效的 。 从图看 , 保持产出不变 , 无法在生产可能 集内减少投入 。 对应的对偶规划 间题为 犷刀 久 、 几几成 之 , 兄兄 。 几 , 久 , 几 了、 刃 刀 其最优解为 。一 音 , 。 , 。 , “ 。一 音 。 可