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文档简介

1、一、函数凹凸的定义,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,任意弧段位于所张弦的上方, 任意点的切线在曲线上方,任意弧段位于所张弦的下方，任意点的切线在曲线下方,5 函数的凸性与拐点,凸函数,凹函数,设 A(x1,f(x1), B(x2,f(x2)，则线段AB间的任意点C(x,y)可表示为：,x,C,定义,如果不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数。,引理 f为I上的凸函数的充要条件：对于I上的任意三点， 总有,证:,必要性,由f 的凸性知道 :,从而,充分性,在I上任取两点,在 上任取一点,由必要性的推导逆过程，可证得,故f 为I上的凸函数。,同理可证，f为I上的凸函数的充要条

2、件是：对于I上任意三点,有,定理 设f为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价：,(1) f为I上凸函数,证,任取I上两点 及充分小的正数h ,由于,根据f 的凸性及引理有,所以 为I上的递增函数。,在 以 为端点的区间上，应用拉格朗日中值定理 和 递增条件，有,设 为I上任意两点，,由(3) :,从而 f 为 I 上的凸函数。,注意: 论断(3)的几何意义是：曲线总是在它的任一切线的上方。这是可导凸函数的几何特征。,定理 设f为I区间上的二阶可导函数，则在I上f为凸（凹）函数的充要条件是,证,凸,凹,例1,解,注意到,例2 若函数f 为定义在开区间（a，b）内的可导的凸 （凹）函数，则x0为

3、f的极小（大）值点的充要条件是,证,只证明f为凸函数的情形。,必要性已由费马定理给出，只需证明充分性。,即x0为f在（a，b）内的极小值点（而且为最小值点）。,*詹森（Jensen）不等式 若f为a，b上凸函数，则,*例4 证明不等式,其中a，b，c为正数。,证,故f为严格凸函数 ,例5 设f为开区间I内的凸（凹）函数，证明f在I内任一点都存在左，右导数。,证,仅证凸函数存在右导数，其余类似可证。,由 f 的凸性，有,即F为增函数。,因而函数F（h）在h0上有下界，,定义2 设曲线y=f（x）在点(x0,f(x0)处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点(x0,f(x0)为曲线的拐点。,与极值点类似，拐点只能是 f 的零点或 f 不存在的点。,二、曲线的拐点,*证:,定理4（拐点的第一充分条件）,*定理5（拐点的第二充分条件）,若f(x)可导，则f(x)的拐点是 的极值点。,*定理5（拐点的第二充分

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