数学分析1-3.ppt

1、西南科技大学品牌课程,数学分析,E-mail:,主讲：杨莉,给定两个实数集D和W, 若有对应法则f,使对D内每一个数x,都有唯一的一个数yW与它相对应,则称f是定义在数集D上的函数,记作 f : D W x y,一.函数概念,定义1,数集 D 称为函数 f 的定义域,记作 Df , x 所对应的数 y 称为 f 在点 x 的函数值,常记为 f(x),全体函数值的集合 f(D)=y| y= f(x), x D( W)称为函数 f 的值域。,x y,注:（1）函数定义的记号中“,”表示按法则,建立到W的函数关系，,表示这两个,习惯上称,为自变量，,为因变量。,f : D W,f,x,y,x f(x

2、),数集中元素之间的对应关系,也记作,（2）定义1中的实数集W常以R来代替,于是构 成函数的两要素就是定义域D及对应法则 f ,所以函数也常表示为：y= f(x) , x D 。 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也 相同,那么这两个函数就是相同的, 否则就 是不同的。,（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的 定义域常取使该运算式子有意义的自变量 的全体，通常称为存在域（自然定义域）。 此时，函数的记号中的定义域D可省略不 写，而只用对应法则 f 来表示一个函数。 即“函数y= f(x) ”或“函数 f ”。,例如函数,自然定义域是,但是， 函数,其中,就不是自然定义域,（4）函数 f

3、给出x轴上的点集D到y轴上的点集M 之间的单值对应，也称为映射。对于,称为映射f 下a的象,a称为f(a)的,原象。,（5）函数定义中， xD，只能有唯一的一个 y值与它对应，这样定义的函数称为“单 值函数”，若对同一个x 值，可以对应多 于一个的y值，则称这种函数为多值函数。 本书中只讨论单值函数（简称函数）。,对于函数，我们有下面的图示帮助理解.,可以说，对应就是一面镜子，如果这面镜子照,出来的象是唯一的，那么这面镜子就称为映射,而 D 、W 都是数集时，这面镜子就成了函数.,例如, 由方程确定的函数是一个多值函数:,此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支,二.函数的表示法,1.表

4、示函数的主要方法有三种: 列表法、图象法、 解析法(公式法).,将一系列的自变量值及其对应的函数值列成表格称为表格法,这种方法让我们对函数关系一目了然,些不知其表达式的函数,表格法可避免函数应用中的麻烦计算，,而且可表示一,(1) 表格法,(2) 图象法,用图象法表示函数是基于函数图形的概念, 坐标平面上的点集 (x, y)|yf(x), xD 称为函数yf(x), xD的图形.,用函数图形表示函数的方法称为图象法,一般说来，函数 y = f (x) 的图象是平面上的一条 曲线 .,图象法是表格法的演变和发展,其最大优点就是,能明显表示函数的性态,(3) 解析法,借助数学式子来表示函数的方法就

5、称为解析法,这种方法是数学分析中最常用的基本方法,2.可用“特殊方法”来表示的函数。,(1)分段函数 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.,（借助于sgnx可表示 f(x )=x,即f(x)=x=xsgnx),例1,此函数称为符号函数, 其定义域为D=(-, +) , 其值域为Rf =-1, 0, 1.,例2,此函数的定义域为D=0, 1(1, +)=0, +).,f(3),=1+3=4.,例3,去掉绝对值符号.,例4 设,求,(答案为8),例5 函数y=x.,注: 设x为任意实数, 不超过x的 最大整数称为x的整数部分, 记作x.,此函数称为取整函数, 其

6、定义域为D=(-, +), 其值域为Rf =Z.,（）用语言叙述的函数。,例6 狄利克雷函数,（irichlet）,3黎曼函数,且互素）,或(0,1)中的无理数,q = 3,q = 4,q = 5,q = 6,q = 7,q = 2,三 函数的四则运算,设函数f(x), g(x)的定义域依次为D1, D2, DD1D2, 则可以定义这两个函数的下列运算: 和(差) f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD; 积 f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD;,四 复合函数,定义(复合函数),记,，则对每一,，通过 g对应 D内唯一一个值u，而u又,在,上的函数，它以 x为自

7、变量，y 为因变量，,记作,或,简记为,。称为函数f 和g的复合函数,并称,f 为外函数, g为内函数，u为中间变量。,通过f 对应唯一一个值y ，这就确定了一个定义,。若,设有两个函数,个,。,图示：,u,x,y,就不能复合，结合上例可见，复合的前提,条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的,交集不空.,1当 E* 非空时才能进行复合运算.,注意：,例如：,则,2复合函数可由多个函数相继复合而成。,，复合成：,实质：复合的过程就是代入消去中间变元的过程,注意：,每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？ 例如：,3复合运算不满足交换律；,例7 把一个函数分

8、解成若干个简单函数,不仅要会复合，更要会分解。把一个函数分解成若干个简单函数.,例8 ,五 反函数,定义:设函数 y f(x),xD满足:对于值域f(D)中的每一个值y, D中有且只有一个值x使得f(x) y, 则按此对应法则得到一个定义在f(D)上的函数,称这个函数为f的反函数,记作 f 1: f(D) D y x,按习惯, yf(x), xD的反函数记成yf 1(x), xf(D).,或 xf 1(y), yf(D).,图示：,y,x,x,= I,例如, 函数yx3, xR，其反函数为,函数yx3, xR的反函数是,提问: 下列结论是否正确？,例9 试指出函数,的反函数.,解：,由,得,

9、函数的反函数就是其本身,注1.并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看， 函数f有反函数，意味着f是与f(D)之间的一 个一一映射，称 为映射f的逆映射，它把 f(D) D,2.函数f与 互为反函数，并有:,.,3.在反函数 的表示中，是以 为自变量， 为因变量。若按习惯做法用 做为自变量的记号， 作为因变量的记号，则 函数 的反函数 可以改写为,.,相对于反函数yf 1(x)来说, 原来的函数yf(x)称为直接函数. 函数yf(x)和yf 1(x)的图形关于直线 yx 是对称的.,幂函数: yx (R是常数); 指数函数: ya x(a0且a1); 对数函数: yloga x (a0且a1), 特别当ae时, 记为yln x; 三角函数: ysin x, ycos x, ytan x, ycot x, ysec x, ycsc x;,反三角函数: yarcsin x, yarccos x, yarctan x, yarccot x . ,基本初等函数,六 初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算 和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表 示的函数, 称为初等函数.,都是初等函数.,例如, 函数,初等函数,定义 给定实数,，设,为无理数，,我们规定：,注：幂函数和指数函数都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了