赵树源线性代数_线性代数第2讲.ppt

1、1,线性代数第2讲,下载网址： http:/应用数学.cn,2,1.3 行列式的性质,3,将行列式D的行与列互换后得到的行列式, 称为D的转置行列式, 记为D或DT. 即如果,性质1 将行列式转置, 行列式的值不变, 即 DT=D,4,证: 记D的一般项为,它的元素在D中位于不同的行不同的列, 在DT中就位于不同的列不同的行, 相应的DT中的一般项也是如此, 符号也是一样. 因此, D与DT是具有相同项的行列式, 所以D=DT,5,由此性质知, 行列式的行具有的性质, 它的列也具有相同的性质.,6,性质2 交换行列式的两行(列), 行列式的值变号.证: 设,7,交换D的第i行和第s行, 得到行

2、列式,8,记D的一般项中n个元素的乘积为,它的元素在D中位于不同的行不同的列, 因而在D1中也位于不同的行不同的列, 所以也是D1的一般项的n个元素乘积. 由于D1是交换D的第i行与第s行, 而各元素所在的列并没有改变, 所以它在D中的符号为,在D1中的符号则为,9,由于排列1isn与排列1sin的奇偶性相反, 所以,因而D1中的每一项都是D的相应项的相反数, 所以D1=-D.,10,推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同, 则此行列式的值为零.因为将行列式D中具有相同元素的两行互换其结果仍是D, 但由性质2可知其结果应为-D, 因此D=-D, 所以D=0.,11,性质3 用数k乘行列式

3、的某一行(列), 等于以数k乘此行列式, 即如果D=|aij|, 则,12,证: 因为行列式D1的一般项为,上面等号右端方括号内是D的一般项, 所以D1=kD. 由性质1可知, 对列的情形也成立. 同样, 行列式的其它性质都只对行的情形加以证明就够了.,13,推论1 如果行列式某行(列)的所有元素有公因子, 则公因子可以提到行列式外面.推论2 如果行列式有两行(列)的对应元素成比例, 则行列式的值等于零.,因为由推论1可将行列式中这两行(列)的比例系数提到行列式外面, 则余下的行列式有两行(列)对应元素相同, 由性质2可知此行列式的值等于零, 所以原行列式的值等于零.,14,性质4 如果将行列

4、式中的某一行(列)的每一个元素都写成两个数的和, 则此行列式可以写成两个行列式的和, 这两个行列式分别以这两个数为所在行(列)对应位置的元素, 其它位置的元素与原行列式相同.,15,即如果,则D=D1+D2,16,证: 因为D的一般项是,上面等号右端第一项是D1的一般项, 第二项是D2的一般项, 所以D=D1+D2.,17,推论 如果将行列式某一行(列)的每个元素都写成m个数(m为大于2的整数)的和, 则此行列式可以写成m个行列式的和.,18,性质5 将行列式某一行(列)的所有元素同乘以数k后加于另一行(列)对应位置的元素上, 行列式的值不变.,19,证: 设,20,以数k乘D的第s行各元素后

5、加于第i行的对应元素上, 得,21,因此可得,22,1.4 行列式按行(列)展开,23,(一)行列式按某一行(列)展开定义1.3 在n阶行列式D=|aij|中去掉元素aij所在的第i行和第j列后, 余下的n-1阶行列式, 称为D中元素aij的余子式, 记为Mij,24,即,(1.5),aij的余子式Mij前添加符号(-1)i+j, 称为aij的代数余子式, 记为Aij. 即 Aij=(-1)i+jMij(1.6),25,例如, 四阶行列式,中, a32的代数余子式是,26,a13的代数余子式,27,定理1.4 n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和,

6、即D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin(i=1,2,n)或D=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj(j=1,2,n),28,证:(1) 首先讨论D的第一行中的元素除a110外, 其余元素均为零的特殊情形, 即,29,因为D的每一项都含有第一行中的元素, 但第一行中仅有a110, 所以D仅含有下面形式的项:,等号右端方框内正是M11的一般项, 所以D=a11M11, 再由A11=(-1)1+1M11=M11, 得到D=a11A11.,30,(2) 其次讨论行列式D中第i行的元素除aij外, 其余元素均为零的情形, 即,31,将D的第i行依次与第i-1,2,1各行交换后, 再将第j列依

7、次与第j-1,2,1各列交换, 共经过i+j-2次交换D的行和列, 得,32,(3) 最后讨论一般情形,33,最后得,34,显然这一结果对任意i=1,2,n均成立.同理可证将D按列展开的情形.,35,定理1.5 n阶行列式D=|aij|的某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积的和等于零, 即ai1As1+ai2As2+ainAsn=0 (is)或a1jA1t+a2jA2t+anjAnt=0(jt)证: 设将行列式D中第s行元素换为第i行(is)的对应元素得到D1, 则D1两行相同, 因而D1=0, 再将D1按s行展开, 则 D1=ai1As1+ai2As2+ainAsn=0 (is)同理, 可证D1按列展开的情形.,36,综合上面两个定理的结论, 得到,37,例1. 分别按第一行与第二列展开行列式,38,解: (1)按第一行展开,39,(2)按第二列展开,40,例2. 计算行列式,解: 将D按第三列展开, 则应有 D=a13A13+a23A23+a33A33+a43A43 其中: a13=3,a23=1,a33=-1,a43=0,41,42,所以 D=319+1(-63)+(-1)18+0(-10)=-24,43,计算行列式时,