《空间向量及其加减、数乘运算》

1、3.1.1 空间向量及其加减运算,复习回顾：平面向量,1、定义：,既有大小又有方向的量。,2、平面向量的加法、减法与数乘运算,向量加法的三角形法则,3、平面向量的加法、减法与数乘运算律,已知F1=2000N,F2=2000N,F3=2000N,这三个力两两之间的夹角都为60度,它们的合力的大小为多少N?,这需要进一步来认识空间中的向量,平面中存在向量,空间中是否也有向量?,你能类比平面向量的定义、表示 以及运算法则推出空间向量的定义、表示 以及运算法则.,平面向量,概念,加法 减法 运算,运 算 律,减法:三角形法则,加法:三角形法则或 平行四边形法则,空间向量及其加减运算,空间向量,具有大小

2、和方向的量,加法交换律,加法结合律,具有大小和方向的量,起点,终点,空间向量与平面向量没有本质的区别！,零向量,单位向量,相等向量,相反向量,长度为零,长度为1,方向相同，长度相等,方向相反，长度相等,找一找、说一说,相等向量？ 相反向量？ 单位向量？,平面向量,概念,加法 减法 运算,运 算 律,减法:三角形法则,加法:三角形法则或 平行四边形法则,空间向量及其加减运算,空间向量,具有大小和方向的量,加法交换律,加法结合律,具有大小和方向的量,O,A,B,C,空间向量的数乘,空间向量的加减法,A,B,C,D,平行六面体：平行四边形ABCD平移向量 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.,记

3、做ABCD-A1B1C1D1,平面向量,概念,加法 减法 运算,运 算 律,减法:三角形法则,加法:三角形法则或 平行四边形法则,空间向量及其加减运算,空间向量,具有大小和方向的量,加法交换律,加法结合律,加法交换律,加法:三角形法则或 平行四边形法则,减法:三角形法则,加法结合律,成立吗？,具有大小和方向的量,数乘分配律,加法结合律：,O,A,B,C,O,A,B,C,推广:,（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；,（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。,做一做、想一想,变式一,变式二,E,例1：已知平行六面体ABCD-A1B

4、1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图),例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图),G,M,始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。,A,B,M,C,G,

5、D,练习1,在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简,A,B,M,C,G,D,(2)原式,练习1,在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简,A,B,C,D,D,C,B,A,练习2,在立方体AC1中,点E是面AC 的中心,求下列各式中的x,y.,E,A,B,C,D,D,C,B,A,练习2,E,在立方体AC1中,点E是面AC的中心,求下列各式中的x,y.,A,B,C,D,D,C,B,A,练习2,E,在立方体AC1中,点E是面AC 的中心,求下列各式中的x,y.,平面向量,概念,加法 减法 数乘 运算,运 算 律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,

6、加法:三角形法则或 平行四边形法则,空间向量,具有大小和方向的量,数乘:ka,k为正数,负数,零,加法交换律,加法结合律,数乘分配律,小结,类比思想 数形结合思想,数乘:ka,k为正数,负数,零,作业,3.1.2空间向量的数乘运算,一、空间向量的数乘：,2、空间向量的数乘的性质,1、定义：,实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量，称为空间向量的数乘,2、空间向量的数乘的运算律,（3）数乘结合律：,（1）数乘分配律1：,（2）数乘分配律2：,1、定义：,如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合， 则这些向量叫做,共线向量,二、空间中的共线向量,（或平行向量）,2、空间中共线向量的性质,

7、（1）,共线,（2）非零共线向量的传递性：,（3）零向量与任一向量共线，,（4）空间共线向量定理：,对空间任意两个向量,有且只有一个实数 ， 使,思考1：为什么要强调,思考2：这个定理有什么作用？,1、判定两个向量是否共线,2、判定三点是否共线,若P为A,B中点, 则,向量参数表示式,推论:如果 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式 其中向量 叫做直线 的方向向量.,若 则A、B、P三点共线。,空间向量的基本定理,共面向量定理,共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.,注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就

8、不一定共面的了。,312,1、如果向量e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量a与 e1, e2有什么关系?,如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量a，存在惟一的一对实数a1，a2，使 a a1 e1 a2 e2,2、平面向量基本定理,复习：,（1）必要性：如果向量c与向量a，b共面， 则通过平移一定可以使他们位于同一平面内， 由平面向量基本定理可知，一定存在唯一的实数对x，y， 使cx ay b,3、共面向量定理：,如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数 x，y，使 cx ay b,证明：,共

9、面向量定理的剖析,如果两个向量 a，b 不共线,(性质),(判定),得证.,判定空间中三点A、B、C共线的常用方法：,（1）只需得到存在实数 ，使,（2）对空间任意点O，存在实数t,使,特别地，当t=1/2时，,此时，点C恰为线段AB的,中点,例1、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，C三点共面：,例2(课本例)如图，已知平行四边形ABCD,从平 面AC外一点O引向量 , , , , 求证： 四点E、F、G、H共面； 平面EG/平面AC.,例2 (课本例)已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量,求证：四点E、F、G、H共面；,平面AC/平面EG.,证明：,（）代入,所以 E、F、G、H共面。,1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是： (A)若 ，则P、A、B共线 (B)若 ，则P是AB的中点 (C)若 ，则P、A、B不共线 (D)若 ，则P、A、B共线,2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点 O， , 则x的值为( ),1.下列说明正确的是： (A)在平面内共线的