流体力学 第二章 流体静力学

1、第二章 流体静力学1 研究任务：流体在静止状态下的平衡规律及其应用。根据平衡条件研究静止状态下压力的分布规律，进而确定静止流体作用在各种表面的总压力大小、方向、作用点。2 静止：是一个相对的概念，流体质点对建立的坐标系没有相对运动。 绝对静止：流体整体相对于地球没有相对运动。重力压力 相对静止：流体整体（如装在容器中）对地球有相对运动，但液体各部分之间没有相对运动。重力压力重力直线惯性力压力质量力质量力重力离心惯性力压力共同点：不体现粘性，无切应力3 适用范围：理想流体、实际流体4 主要内容： 流体平衡微分方程式 静力学基本方程式（重点） 等压面方程（测压计） 作用于平面和曲面上的力（难点）第

2、一节 流体静压强及其特性一、 基本概念1、 流体静压强：静止流体作用在单位面积上的力。设微小面积上的总压力为，则P平均静压强：A点静压强：即流体单位面积上所受的垂直于该表面上的力。单位：N/m2 (Pa)2、 总压力：作用于某一面上的总的静压力。P单位：N (牛)3、流体静压强单位：国际单位：N/m2Pa物理单位：dyn/cm2 1N=105dyn ，1Pa=10 dyn/cm2工程单位：kgf/m2混合单位：1kgf/cm2 = 1at (工程大气压) 1atm (标准大气压)1 at=1 kgf/cm2 =9.8104Pa=10m水柱1atm1.013105Pa10.3 m水柱二、 流体静

3、压强特性1、 静压强作用方向永远沿着作用面内法线方向方向特性。 （垂直并指向作用面）证明： 反证法证明之。 有一静止流体微团，用任意平面将其切割为两部分，取阴影部分为隔离体。设切割面上任一点m处静压强方向不是内法线方向，则它可分解为和切应力。而静止流体既不能承受切应力，也不能承受拉应力，如果有拉应力或切应力存在，将破坏平衡，这与静止的前提不符。所以静压强的方向只能是沿着作用面内法线方向。 2、 静止流体中任何一点上各个方向的静压强大小相等，而与作用面的方位无关，即只是位置的函数=( x , y , z ) 大小特性。（各向相等）证明思路：1、选取研究对象（微元体）2、受力分析（质量力与表面力）

4、3、导出关系式 4、得出结论1、选取研究对象（微元体）从静止流体中取出一微小四面体OABC，其坐标如图，三个垂直边的长度分别为dx、dy、dz，设、（n方向是任意的）分别表示作用在OAC、OBC、OAB、ABC表面上的静压强，与x、y、z轴的夹角为、。2、受力分析（质量力与表面力） 流体微元所受力分为两类：表面力和质量力。（1）表面力表面力与作用面的面积成正比。作用在OAC、OBC、OAB、ABC面上的总压力分别为：（特性一：垂直并指向作用面） （2）质量力质量力与微元体的体积成正比。四面体的体积：四面体的质量：设单位质量流体的质量力在坐标轴方向上的分量为X、Y、Z，则质量力F在坐标轴方向的分

5、量是： 3、导出关系式 因流体微团平衡，据平衡条件，其各方向作用力之和均为零。则在x方向上，有：将上面各表面力、质量力表达式代入后得又即为ABC在yoz平面上的投影面积，则当dx、dy、dz趋于零时也就是四面体缩小到o成为一个质点时，有： 同理： 即： 4、得出结论因n方向是任意选定的，故上式表明，静止流体中同一点各个方向的静压强均相等。在连续介质中，仅是位置坐标的连续函数=( x , y , z ).同一点受力各向相等，但位置不同，大小不同。呈什么关系？第二节中讨论说明：以上特性不仅适用于流体内部，而且也适用于流体与固体接触的表面。如：第二节 流体平衡微分方程式一、方程式的建立它是流体在平衡

6、条件下，质量力与表面力所满足的关系式。l 根据流体平衡的充要条件，静止流体受的所有力在各个坐标轴方向的投影和都为零，可建立方程。l 方法：微元分析法。在流场中取微小六面体，其边长为dx、dy、dz，然后进行受力分析，列平衡方程。以x轴方向为例，如图所示1、取研究对象微元体：无穷小平行六面体，dx、dy、dz 0 微元体中心：A(x, y, z) A1点坐标： A1(x-dx/2，y，z) A2点坐标： A2(x+dx/2，y，z)2、受力分析（1）表面力 设A 处压强： p(x，y，z)因压强分布是坐标的连续函数，则A1点、A2点的压强p1、p2可按泰勒级数展开，略去二阶以上无穷小量，得到A1

7、、A2处的压强分别为：则表面力在x方向的合力为：（2）质量力微元体质量：Mdxdydz设作用在单位质量流体的质量力在x方向上的分量为X。则质量力在x方向的合力为：Xdxdydz3、导出关系式： 对微元体应用平衡条件，则4、结论：同理，在y和z方向可求得： （） 欧拉平衡微分方程式X、Y、Z单位质量力在x、y、z轴方向的分量、单位质量流体所受的表面力在x、y、z轴方向上的分量说明： （1） 公式的物理意义： 平衡流体中单位质量流体所受的质量力与表面力在三个坐标轴方向的分量的代数和为零。（2）公式适用条件： 理想流体、实际流体；绝对、相对静止；可压缩与不可压缩流体。二、方程的积分（压强分布公式）1

8、、利用Euler平衡微分方程式求解静止流体中静压强的分布，可将Euler方程分别乘以dx，dy，dz，然后相加，得 （1）因为 pp（x，y，z），所以上式等号左边为压强p的全微分dp，则上式可写为 （）2、势函数（力函数）对于不可压缩流体：const因为式左边是压强p的全微分，从数学角度分析，方程式的右边也应该是某个函数U(x,y,z)的全微分，即：又因为 则有 （）该函数 U(x,y,z) 称为势函数。显然， U(x,y,z)在 x，y，z 方向的偏导数正好等于单位质量力分别在各坐标轴上的投影。因为在所有的空间上的任一点都存在质量力，因此，这个空间叫质量力场或势力场。把 代入式得所以 令

9、pp0时，UU0 ， 则 Cp0U0 （）帕斯卡（Pascal）定律：在平衡状态下的不可压缩流体中，作用在其边界上的压力，将等值、均匀地传递到流体的所有各点。三、等压面1、定义：同种连续静止流体中，静压强相等的点组成的面。（pconst）2、方程：由式 由 pconst dp0 得 3、 等压面性质 等压面就是等势面。因为 。 作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面。证明：沿等压面移动无穷小距离 则由空间解析几何：单位质量力做的功应为 所以，质量力与等压面相垂直。 等压面不能相交 相交 一点有2个压强值：错误 绝对静止流体的等压面是水平面XY0，Zg + 性质 两种互不相混的

10、静止流体的分界面必为等压面证明：在分界面上任取两点A、B，两点间势差为dU，压差为dp。因为它们同属于两种流体，设一种为1，另一种为2，则有： dp 1 dU 且 dp 2 dU因为 1 20所以 只有当dp、 dU均为零时，方程才成立。说明： 等压面可能是水平面、斜面、曲面、分界面。第三节 重力作用下的流体平衡 本节只研究流体相对于地球没有运动的静止状态。一、静力学基本方程式1、坐标系的原点选在自由面上，z轴垂直向上，液面上的压强为p0，则X0，Y0，Zg代入公式： （1）得： （2）对于不可压缩流体(公式使用条件之一)，const，积分（2）式得： （3） 静力学基本方程形式之一2、由（3

11、）式得 代入边界条件：z0时，pp0则 p0C所以 （4）令 -zh（点在液面以下的深度h）则 （5） 静力学基本方程形式之二。3、说明： （1）适用条件：静止、不可压缩流体。（2）静止流体中任一点的压强p由两部分组成，即液面压强p0与该点到液面间单位面积上的液柱重量。推广：已知某点压强求任一点压强（3） 静止流体中，压强随深度呈线性变化用几何图形表示受压面上压强随深度而变化的图，称为压强分布图。 大小：静力学基本方程式 方向：垂直并且指向作用面（特性一）例题：（4） 同种连续静止流体中，深度相同的点压力相同。连通器： 二、几种压强的表示（基准不同）1、绝对压强： p绝 是以绝对真空为零点而计

12、量的压强。2、相对压强（表压）：p相 或 p表 是以当地大气压为零点而计量的压强。3、真空压强（真空度）： pv或p真 当绝对压强小于当地大气压时，当地大气压与绝对压强的差值。注： 只有当时，才用真空度的概念 气体的压强都是绝对压强 尽可能用表压：pa在液体内部等值传递的三、压强的度量1、应力单位： Pa ， Kgf/cm2（即at），dyn/cm22、大气压单位： 1atm760mmHg1.0336 Kgf/cm2= 10.336mH2O=1.013105N/m2 1at735mmHg1 Kgf/cm29.8104Pa10mH2O=9.8104Pa3、 液柱高单位：mmHg，mH2O四、静力

13、学基本方程式的意义 1、 几何意义 位置水头：该点到基准面的高度。压力水头:该点压强的液柱高度。 测压管水头：为一常量静止流体中各点的测压管水头是一个常数。2、物理意义 比位能：单位重量流体所具有的位能。比压能：单位重量流体从大气压力为基点算起所具有的压力势能。是一种潜在的势能，若在某点压力为p，接出一测压管，则在该压力作用下，液面上升的高度为总势能：为一常量静止流体中，单位重量流体的总势能是恒等的。五、测压计1、分类：根据适用范围、适用条件的不同，分为液式、金属式、电测式。2、液式测压计原理： （p、p0的标准必须一致，用表压）方法：找等压面 （性质5：两种互不相混的静止流体的分界面必为等压

14、面）特点：结构简单、使用方便、制造简单，常用于实验室中。a. 液面计 b. 测压管 cU形管测压计 d组合式U形管测压计eU形管压差计 f组合式U形管压差计先找等压面 ： aa面、bb面写出等压面压力表达式：aa面上所以 当两测点在同一水平面上时： 所以 3、金属测压计（1）原理：弹性元件在压力作用下产生弹性变形。（2）分类：弹簧管式、薄膜式压力表。（3）缺点：易坏（超量程操作）4、电测式测压计 电量 数字信号第四节 几种质量力作用下的流体平衡1 研究对象：相对于坐标系静止的流体称为相对平衡流体。 本节讨论两种情况： 质量力包括重力和惯性力 等加速直线运动 等角速旋转运动2 研究方法： 利用达

15、朗贝尔原理的动力学问题 变为 的静力学问题达朗贝尔原理： 如果在运动的质点上加上惯性力，则作用在质点上的主动力、约束力与惯性力平衡。3 研究目的： 压强分布公式 等压面方程 自由液面方程一、等加速水平运动容器中流体的相对平衡1、问题描述：如图，作用在流体上的质量力除重力外，还有一个与加速度方向相反的惯性力。显然，在不变时，亦不变化。这时，流体相对于容器不动。如果把坐标固定在容器上，据达朗贝尔原理，把惯性力加在液体质点上，容器内液体在重力mg 和惯性力 F 的作用下，处于相对平衡。2、等加速直线运动流体的压强分布及等压面方程。取坐标如图。任取一点m，作用在质点上的质量力为 mg( )，ma()，

16、合力R与z轴成角。X-a，Y0，Z-g代入公式 则： （1） 等压面方程令dp0，则 adx + gdz0所以 （2）结论：a. 等压面是一簇平行斜平面b. 等压面与x轴夹角为：（等压面与重力和惯性力的合力垂直） 自由液面：x0，z0 C0则自由液面方程为： （3）zs自由液面上点的z坐标 静压强分布设const，对（1）式积分，得 （4）由边界条件： x0，z0时，pp0得： Cp0则： （5）符合静力学基本方程式例1：如图，汽车上有一长方形水箱，高H1.2m，长L4m，水箱顶盖中心有一供加水用的通大气压孔，试计算当汽车以加速度为3m/s2向前行驶时，水箱底面上前后两点A、B的静压强（装满水

17、）。解：分析：自由液面在哪里？ 水箱处于顶盖封闭状态，当加速时，液面不变化，但由于惯性力而引起的液体内部压力分布规律不变，自由液面仍为一倾斜平面，符合等压面与x轴方向之间的夹角 二、等角速旋转容器中液体的相对平衡1、问题描述：容器以角速度绕轴旋转时，由于粘性作用，靠近壁处流体首先被带动旋转，平衡后，各流体质点具有相同的角速度，此时，液体与容器一起旋转。相对于作等角速运动的圆桶而言，流体处于相对平衡状态。受力分析：液体中任一质点所受的质量力有 重力 ： G 惯性力： F，且 Fmw2r 则 随 r 增大而增大。2、压强分布、等压面方程 坐标固定在容器上，坐标原点O在旋转轴与自由液面的交点，z轴竖

18、直向上。因为 （力）所以 （单位质量力）所以 （1） （2）而 （3）把（1）、（2）、（3）式代入Euler方程的积分式 （4） 等压面方程令（4）式dp0，得积分得： （5）所以得等压面方程 （6）结论：等压面是一簇绕z轴旋转的抛物面。 自由液面方程对于自由液面，r0，z0得 C0则得到自由液面方程： （7） （7）zs为水面高出xoy平面的垂直距离。 流体静压强分布不可压const，积分（4）式得：即 （8）代入边界条件：r0，z0时，pp0 得： Cp0则： （9）结论：在同一高度上，其静压强沿径向按二次方增长。例1：（1）装满液体容器在顶盖中心处开口的相对平衡分析：容器内液体虽然借离

19、心惯性力向外甩，但由于受容器顶限制，液面并不能形成旋转抛物面，但内部压强分布规律不变：（不能体现绝压、表压）作用于顶盖上的压强：（表压）（2）装满液体容器在顶盖边缘处开口的相对平衡压强分布规律： 边缘A、B处：rR，z0时，p0 作用于顶盖上的压强：例2：已知：r1，r2，h求：0解： （1） （2）因为 所以 作用面上的总压力 1解决问题：力的大小、方向、作用点2 预备知识面积矩 惯性矩 移轴定理 力矩原理平行力系合成微积分3 作用面： 平面：水平、垂直、倾斜 曲面：二向（柱面）、三向（球面）4 方法：解析法、图解法5说明：p一般用相对压强（表压）表示第五节 静止液体作用在平面上的总压力平行

20、力系问题。1、问题描述： 设静止液体中有一任意形状的平面，它与水平面的夹角为，面积为A。2、坐标：选坐标如图原点取在自由液面上；X轴平面或其延伸面与自由液面的交线；Y轴垂直于ox轴沿着平面向下。3、分析（一） 总压力的大小在A上取微元面积dA，坐标为y，其上所受总压力为dP，dA对应水下深度为h。则： （*）在面积A上积分： （1）面积A对ox轴的面积矩，即 所以 （2） 总压力计算公式结论：总压力形心处压强平面面积问题：平面形心处压强与平面的平均压强大小一样么？（一样）（二） 总压力的方向： 垂直并指向平面（三） 总压力的作用点（压力中心） 设总压力P的作用点为D点，对应坐标为 yD。 根据

21、平行力系的力矩原理：每一微小面积上所受的对x轴的静力矩之和应该等于作用在面积A上的合力对x轴的静力矩。即： （3）因为（*）式 和（2）式 得 （4）所以 （5）其中是面积A对 ox 轴的惯性矩。由于y坐标，计算不便，可利用平行移轴定理换算成：对通过面积形心c且平行于ox轴的轴线的惯性矩Jc据平行移轴定理，有： （6）所以 所以 或 其中偏心距 其中，Jc 平面对通过形心 c 并与 x 轴平行的轴的惯性矩，单位m4。 yc 形心 c 到坐标原点的距离。压力中心（作用点）D永远在平面形心C的下边，距离为偏心距e（四） 说明： 当90，；当0，hDhC，yDyC 两侧都有液体：PP1P2 形心yc

22、 若p00 折算成水柱高度： p00（等效自由液面）yc=? 5m? 10m ? 2.5m? 7.5m?注意坐标！若接测压管，高15m（折算液面）所以，yc= 10m yc=5m+8m13m 总结：若液面上表压强不为0时，即p0pa，可将表压换算成液柱高加到原来的液面上，以一个表压为0的假想液面来计算总压力大小、方向、作用点。4、图解法求总压力它是利用画出流体静压强的分布图来计算作用在平面上总压力的方法。此法适用于沿深度为等宽的矩形平面。如图： Pb （9）B 受压面宽压强分布图面积在如图情况下的计算方法：压力方向：水平向右。压力作用点：在受压面对称轴上，且作用线通过压强分布图的形心。5、例题

23、：闸门宽1.2m，铰在A点，压力表G的读数为14700Pa，在右侧箱中装有油，其重度08.33KN/m3，问在B点加多大的水平力才能使闸门AB平衡？解：把p0折算成水柱高： 相当于液面下移1.5m，如图示虚构液面则左侧：压力中心距A点：3.1121.11m右侧： 设在B点加水平力F使闸门AB平衡，对A点取矩 MA0即 第六节 静止流体作用在曲面上的总压力它包括压力的大小、作用点及作用方向三个方面。求解时，通常将总压力分解成空间坐标系的三个分量，求出各分量后再合成。工程上遇到最多的是二向曲面（柱面）。因此，我们只推导如图所示曲面总压力计算公式。求总压力问题就是空间力系的合成问题。取坐标如图， 原

24、点自由液面上； y轴与二向曲面的母线平行。设为dA法线方向与x轴方向夹角，则一、 总压力大小化整为零变不平行为平行即曲面上所受的液体总静压力P可分解为在ox轴方向的水平分力Px和在oz轴方向的垂直分力Pz。1、水平分力C， 所以 （1）式中为面积A在yoz平面上的投影面对oy轴的面积矩。2、垂直分力因为 （2）令C，对（2）式积分 （3）其中 为压力体体积3、总压力： （4）二、总压力的方向总压力的方向与垂线夹角为，则三、总压力的作用点P应通过Px与Pz的汇交点E，于是根据E点和角可确定P作用线位置，此线与曲面交点D即为所求。四、压力体用于求垂直分力（或）1、定义： 由承受压力的曲面、曲面边缘向上引垂面与自由液面或延长线（面）相交形成的无限多微小体积的总和。1、 组成：a. 自由液面或其延伸面b. 曲面c. 沿曲面的周界垂直至