利用基本不等式求最值

1、利用基本不等式求最值,授课教师：刘炳勋,1了解基本不等式的证明过程 2会用基本不等式解决简单的最值问题,考纲要求,一.知识梳理,注意：各项皆为正数； 和为定值或积为定值； 注意等号成立的条件.,一“正”， 二“定”， 三“相等”.,4、利用基本不等式求最大值、最小值问题,知识梳理,二.典例分析,题型一:拼凑法求最值,典例分析,典例分析,典例分析,典例分析,思考,思考,思考,题型二:换元法求最值,典例分析,思考,思考,例1:（1）已知 且 ，求 的最小值. （2）已知正数 满足 ，求 的最小值.,题型三：常数代换法求最值,典例分析,例2：当 时，求 的最小值.,典例分析,正解:,一正,二定,三相

2、等,三、错题辨析,解法是否正确？,注意:各项必须为正,阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方。,错题辨析,错题辨析,正解：,当且仅当,即:,时取“=”号,即此时,错题辨析,错题辨析,例4：求函数 的最小值.,解法是否正确？,错题辨析,正解:,例4：求函数 的最小值.,错题辨析,当且仅当 时取得最大值,四.求参数的取值范围,五.实际应用,实际应用,实际应用,六.拓展延伸,拓展延伸,拓展延伸,拓展延伸,1.(2017山东高考)若直线 (a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.,七.高考再现,2.(2018天津,13,5分)已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为

3、.,高考再现,高考再现,3.(2017天津,12,5分)若a,bR,ab0, 则 的最小值为 .,解析：a4+4b42a22b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立), =4ab+ , 由于ab0, 4ab+ 2 =4 当且仅当4ab = 时“=”成立, 故当且仅当 时, 的最小值为4.,4.（2017全国卷）已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为() A16 B14 C12 D10,高考再现,解析： 根据题意可知直线l1，l2的斜率存在且不为零，抛物线C的焦点F的坐标为

4、(1，0)，设直线l1的方程为yk(x1)，代入抛物线方程得，k2x2(2k24)xk20， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ， 根据抛物线定义得|AF|x11，|BF|x21， 所以|AB|AF|BF|x1x224 . 因为l2l1，所以用 代替k，得|DE|44k2， 所以|AB|DE|8 842 16， 当且仅当k1时，等号成立， 故所求的最小值为16.,5.(2018江苏,13,5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=120,ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.,解析依题意画出图形,如图所示. 易知SABD+SBCD=SABC

5、, 即csin 60+asin 60=acsin 120, a+c=ac,+=1, 4a+c=(4a+c)=5+9,当且仅当=,即a=,c=3时取“=”.,高考再现,一题多解1作DECB交AB于E,BD为ABC的平分线, =, DECB,=, =,=. =+.=, 1=+2|,1=,ac=a+c,+=1, 4a+c=(4a+c)=5+9,当且仅当=,即a=,c=3时取“=”.,高考再现,一题多解2以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系, 则D(1,0).AB=c,BC=a,A,C. A,D,C三点共线, +c=0, ac=a+c,+=1, 4a+c=(4a+c)=5+9,当

6、且仅当=,即a=,c=3时取“=”.,高考再现,6.（2018全国卷）已知函数 ，则 的最小值是 .,高考再现,7.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.,解析本题考查基本不等式及其应用. 设总费用为y万元,则y= 6+4x=4 240. 当且仅当x = ,即x=30时,等号成立.,高考再现,高考再现,8.（2014新课标全国卷）已知点A(0，2)，椭圆E： 的离心率为 ，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为 ，O为坐标原点 (1)求E的方程； (2)设过点A的动

7、直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程,解析：(1)设F(c，0)，由条件知， ，得c . 又 ，所以a2，b2a2c21. 故E的方程为 .,高考再现,(2)当lx轴时不合题意，故可设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2) 将ykx2代入 得(14k2)x216kx120， 当16(4k23)0，即k2 时， ， 从而|PQ|x1x2| . 又点O到直线l的距离 . 所以OPQ的面积 . 设 ，则t0， . 因为 ，当且仅当t2，即 时等号成立，满足0， 所以，当OPQ的面积最大时， ， l的方程为 或 .,七.巩固练习,1、下列函数中，最小值为4的是_. ,巩固练习,九、作业,作业,5、已知函数f(x)=ex+e-x,其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式mf(x)e-x+m-1在(0,+)上恒成立,则实数m的取值范围为.,6、设a0,b0,且不等式 0恒成立,则实数k的最小值等于.,解法二:(利用均值不等式性质),解析:,解法一：,作业解析,作业解析,作业解析,作业解析,