在职工程硕士GCT 数学 第9章 基础三角学

1、第9章 基础三角学,一、三角函数, 二、两角和与差的三角函数, 三、解斜三角形（正弦定理 余弦定理）,四、反三角函数（定义、性质）,第9章 基础三角学,一、三角函数,平面内一条射线绕其端点旋转所形成。,1. 角的概念：,始边,终边,角,正角,负角,零角,（逆）,（顺）,2. 角的度量,角度制,弧度制, 3. 的三角函数,设 为顶点在坐标原点，始边在 轴正半轴上的角,为 终边上任一点，,则有：, 象限角：,终边, 终边相同的角的同一,三角函数值相等。,例 是 的辐角主值，已知,（P91 例1）,及,求,解,点 为 终边上的一点,故,又,（P21 第6题）,解,（04年）,例 表示 的辐角，今有,

2、则 （ ）.,点 为 终边上的一点,由题知，,点 为 终边上的一点,又,故,A.,B.,C.,D.,D,4. 几个特殊角的三角函数值,5. 三角函数值在各象限的符号,例 判断 的符号,解,B,设 则 是（ ）.,补,解,A.,B.,C.,D.,排除C, D,又,选B., 6. 同角三角函数的关系,平方关系：,商的关系：,倒数关系：, 7. 诱导公式,（一）,的三角函数值与 的三角函数值之间,的关系：,函数名相同,符号看象限, 任意角的三角函数值 锐角三角函数值,诱导公式,如：,例 求,解,（二）,的三角函数值与 的三角函数值之间,的关系：,函数名要变,符号看象限,如：,例 已知 求 和,（P9

3、1 例2）,的值。,解,又,8. 三角函数的图像和性质,x,（P90）,性质：,定义域、值域；奇偶性；周期性；最值；,单调性。,在,在,在,B,函数 的最小值是（ ）,补,A.,B.,C.,D.,解,当 时， 有最小值：,当 时， 有最大值：,法一,法二,令 ，则,当 时，函数有最小值 -4.,补,9. 几个公式,周期为：,周期为：, 常用于求最值,例 如果函数 的最大值是 ，,（P97 第8题）,的最大值是（ ）.,最小值是 ，那么函数,C,A.,B.,C.,D.,解,由题知,（不妨设 ）,解之 得,所求的最大值为 5.,二、两角和与差的三角函数,1. 两角和与差公式,例 已知 且,（P96

4、 第4题）,则 （ ）.,D,A.,B.,C.,D.,解,由题知,故,例,（P97 第6题）,（ ）.,B,A.,B.,C.,D.,解,先排除 C D.,（ 式子 ）,法一,选B.,法二,例 如图，在正方形网格中，,（P98 第14题）,是（ ）.,是三个格点， 设,A,A.,B.,C.,D.,（08年）,则 的值,解,法一,设小正方形的边长为1，,且设出 和,故,则,法二,用余弦定理求。,例 三个边长为1的正方形拼成如图所示的图形，,图中有两条线段相交的锐角为 ，则 （ ）.,D,A.,B.,C.,D.,（2011年）,如图 设,解,则,设 且,补,A.,B.,C.,D.,则,（ ）.,A,

5、或,解,又,如果,补,那么,（ ）.,C,（2010年）,解,A.,B.,C.,D.,2. 倍角公式, 降幂公式 很重要,例 设 是 的一个内角， 且满足：,（P96 第2题）,则 一定是（ ）.,C,A. 不等边的锐角三角形,B. 直角三角形,C. 钝角三角形,D. 正三角形,解,法一,（只推理，不计算！）,先排除 A, D.,若 矛盾。,故,选C.,法二,两边平方 得,是内角，,故,为钝角,函数 是（ ）,补,A,A. 最小正周期为 的奇函数,B. 最小正周期为 的偶函数,C. 最小正周期为 的奇函数,D. 最小正周期为 的偶函数 应用降幂公式,解,例 函数 的最大值为（ ）,（P97 第

6、10题）,A.,B.,C.,D.,解,A,最大值为,三、解斜三角形,正弦定理,其中：,三角形外接圆的半径, 应用正弦定理，要灵活变形,边,角,余弦定理,已知 的三条边，可,求出三个内角。,在 中，已知两边,及其夹角，可求出第三边,例 在 中，三个内角 成等差数列，,（P97 第9题）,A.,B.,C.,D.,解,C,则 边上的中线 的长为（ ）,由题知,即,3,2,由余弦定理知，在 中,故,如果一个三角形的三边之比为 则这,补,B,A. 一定有一个角是直角,B. 一定有一个角是钝角,C. 所有的角都是锐角,D. 三个角的大小不能确定,个三角形（ ）.,解,设三边为,由余弦定理,为钝角.,例 等

7、腰 中， 底边,D,则顶角 的取值范围是（ ）.,A.,B.,C.,D.,（09年）,解 法一,（画图）,排除A、B、C 选D.,可取值接近,？,例 等腰 中， 底边,D,则顶角 的取值范围是（ ）.,A.,B.,C.,D.,（09年）,解 法二,由余弦定理,为钝角,故 排除 A, B, C 选D.,详细解法如下：,即,故,为钝角，且,又,在 上单调减，,已知在 中， 则角 的,A,取值范围是（ ）.,A.,B.,C.,D.,解,画图即可,法一,1,2,法二,用余弦定理,为锐角,补,例 如图，在正方形网格中，,（P98 第14题）,是（ ）.,是三个格点， 设,A,A.,B.,C.,D.,（0

8、8年）,则 的值,法二,解,由余弦定理,设小正方形的边长为1，,则,为钝角,又,四、反三角函数（定义、性质）,1. 反正弦函数,定义：,的反函数，,叫反正弦函数。,记作：,性质：,的定义域：,值域：,单调性：,增函数,奇偶性：,奇函数,例 求 的值。,解,在 内，,2. 反余弦函数,定义：,的反函数，,叫反余弦函数。,记作：,性质：,的定义域：,值域：,单调性：,减函数,奇偶性：,无奇偶性,但有：,3. 反正切函数,定义：,的反函数，,叫反正切函数。,记作：,性质：,的定义域：,值域：,单调性：,增函数,奇偶性：,奇函数,即,4. 反余切函数,定义：,的反函数，,叫反余切函数。,记作：,性质：,的定义域：,