环的特征与素域.ppt

1、3.6 环的特征与素域(3.6 Expansion of Ring),当我们在研究环和域的性质时,特征数是其一个重要性质. 特征数不同的环和域在结构上有很大的不同. 本节首先介绍环和域的特征数,然后介绍素域及其性质和判别. ,3.6.1 环的特征数,Def: 设(R,+, )是一个环,若存在自然数n,对aR, 有na=0,则称具有这种性质的最小自然数为R的特征数. 若这种n不存在,则称R的特征数为0. 易知,若R有单位元e,则其特征数n是使ne=0的最小自然数. 例1: Z/的特征数是n,而Z的特征数是0. 例2: 域的特征数只能为0或素数p.,Def: 设F是域,则由F的单位元e生成的F的最

2、小子域P称为素域.,命题:设F是域, P是F的素域, 则当F的特征数为p= 0时, P 有理数域Q; 当F的特征数p0时, P Z/. 证明:考虑映射 : ZF, (n)=ne, nZ, 则 是环的同态,即 Z F. 若 F的特征数是p= 0, 则 P 包含一个与 Z 同构的子环 (Z),从而P与Z的分式域Q同构,即 P Q. 若F的特征数为p0,则p是一个素数(例3.9.4),从而P包含一个与Z/同构的子域,故P Z/.,这样,我们得到任一域的构造:,设P是F 的素域, F, 若 是P上的超越元 包含在P关于 的超越扩张中; 是代数元 包含在P关于 的代数扩张中. 从而, F 可以由P 经一

3、系列的超越扩张或代数扩张得到. 3.9.3 域F上的多项式的根,分裂域 (Roots of Polynomial on Field F, Partition Field) Def: 设F是域, f (x)Fx, deg f (x) =n, aF,若 (x-a)k |f(x), (x-a)k+1 f(x) 则称a是 f (x)的k重根.,Th2:对Fx中的每一个次数1的多项式 f (x), 存在域F的扩域K,使 f (x)在K中至少有一个根.,证明:设 f1(x)是 f (x) 的一个次数1的不可约因子,则 K=Fx/ 是F的扩域,且对K中的 =x+, 有 f1()= =0, 从而是 f1(x)

4、 的根, 也是 f (x) 的根.,将证明中的推导继续做下去, 如果f (x)作为Kx中的多项式仍有次数1的不可约因子, 我们可将K再进行扩张.,如此下去, 经有限次扩张后必得F的一个扩域E,使 f (x)在Ex中可以分解为一次因子的积: f (x)=a0(x-a1)(x-a2)(x-an) 这样,a1,a2,an便是f (x)的n个根,其中deg f (x)=n,于是我们有 推论: 对 Fx 中的任何次数为 n (n1) 的多项式f (x),必有F的一个扩域E,使f (x)在E中恰有n个根(等价于代数基本定理).,Def: 设f (x)Fx, deg f (x)= n1, E是F的一个扩域,

5、且满足,1f (x)在E中恰好有n个根a1,a2,an(重根按重数计);2E是包含F及a1,a2,an的最小扩域 (或F 添加a1,a2,an得到). 则称E为f (x)的在F上的分裂域(splitting field)或根域(root field). 进一步可以证明:在同构的意义下,f(x)的分裂域是唯一的. 例4:设R是实数域,则复数域C是x2+1Fx的分裂域. 对有理数域Q, x2-3Qx, 但实数域R不是它的分裂域,而是 .,3.10 有限域 (3.10 Limit Field),Def: 如果域F的元素个数是有限的,|F|=n,则称F为有限域,也称Galois域,记作F=GF(n).

6、 有限域在 计算机科学,通讯理论和组合理论等方面有很多应用. 由于它的元素个数有限,因而它的结构比较清楚.本节讨论有限域的结构,得到有限域的一些常用结果. 命题1: 有限域的特征数为素数p. 证明: 从例3.9.4知,域F的特征数只能为0或素数p,但F为有限域,故其特征数不能为0,从而是素数p.,命题2: 设F是特征数为p0的域, 则 :FF, (a)=ap是单同态.,证明: 先证是同态,即保运算: (a+b)= (a)+ (b), (ab)= (a) (b), 由于F中乘法的可换性,a,bF, (a+b)p= 注意到 ,当k小于p时,(p,k!)=1,(p,(p-k)!)=1,从而p是 的因

7、子，故,从而 (a+b)p = ap+bp., (a+b)=(a+b)p=ap+bp= (a)+(b) (ab)=(ab)p=apbp= (a) (b),从而是同态 设 (a)=0,则 (a)=ap=0,由于域中没有零因子,故a=0, 是单射 故 :FF, (a)=ap是单同态.,Th1: 设F是任一域,G是 F的非零元素乘法群的一个有限子群,则G是循环群.,证明:设|G|=q, m是中元素阶的最大值,只需证m=q即可. 设O(a)=m, 任取bG,设O(b)=n,则n是m的因子. 事实上,设d=(m,n), 若dn,则dn,设 其中pi为不同的素数,ki, ji是非负整数. 对1ir, 有k

8、i ji ,对r+1i t, 有ki ji, 令u= ,v= ,则 故 ,矛盾. n是m的因子.,从而,对bG,有bm=1是G的恒等元,即F的单位元.从而对多项式xm+1-xFx,在F中至少有q+1个不同的根.故q+1m+1.从而qm.,又由于|G|=q,故mq,于是m=q,从而G=是循环群. 推论1: 设F是有限域GF(n),则是n-1阶循环群. 因此,若F*=,则F=0,a,a2,an-1=1,称a为F的n次本原元. a在Zn上的最小多项式称为Zn上的n次本原多项式. 推论2: 设F是有限域GF(n),则F是xn-xPx的分裂域,其中P是F的素域.,Th2: 设F=GF(n),其特征数为p(素数),则存在自然数m,使 n=pm.,证明: 设F的特征数为p,故其素域P Z/由p个元素组成.又F有限,故F可由P经有限次代数扩张得到. F=Pu1u2uk, 其中ui+1是Pu1u2ui的代数元,设其极小多项式的次数为mi+1,0ik-1. 令