实对称矩阵的特征值和特征向量

1、3.3实对称矩阵的特征值和特征向量总是可以对角化的。实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵。这种矩阵的最大优点是特征值都是实数。定理4.12实对称矩阵的特征值都是实数。1.实对称矩阵特征值的性质。证明了：设，是一个实对称矩阵，是复数和域中矩阵的任意特征值，并且属于由复数的两边共轭得到的特征向量，那么，(4.11)，因为，用复数转置最后一个表达式，然后得到，再把两边相乘，得到，这样，它就是一个实数。实对称矩阵的任意性和特征向量都是实向量。注：此外，实对称矩阵的特征值是：1。实对称矩阵特征值的性质，定理4.12实对称矩阵的所有特征值都是实数。乘以上述第一个公式两边左边的，的特征向量。定理4.13，实对

2、称矩阵，属于不同的，特征向量相互正交。证明了特征值，让，是实对称矩阵的不同特征值，分别属于特征值，所以，得到，(4.12)，然后有，所以，得到，是正交的。即与特征向量正交的线性独立组。注，实对称矩阵，它属于不同的特征值，向量和相应的特征向量，在4.1，4，例1，矩阵，是实对称矩阵，特征值(双)，相应的特征，都是正交的。把它们变成标准的正交组。当然，它们不是相互正交的，但是可以是通过标准正交化方法得到的矩阵。分为，属于，定理4.14，设，是阶，实对称矩阵，那么，有正交矩阵，设它是对角矩阵。以下证明了该定理适用于阶实对称矩阵。证明：对于矩阵的阶，使用数学归纳法。当、时，定理的结论显然成立。假设该定

3、理适用于所有的实对称矩阵。因此，让它是一个单位向量，让它是的一个特征值，它属于特征值，特征，向量，明显的单位向量，特征向量，第一列中的任意正交矩阵。记住，是基于，其中，和与的所有列向量正交，请注意，根据归纳假设，是一个实对称矩阵。所以，是的，有一个顺序正交矩阵，所以，和、是顺序正交矩阵，这说明顺序实对称矩阵定理的结论成立。是一个对角矩阵。根据数学归纳法的原理，对角化的方法为任意、每、即重、二、实对称矩阵，具体步骤如下：根据定理4.14，任意实对称矩阵都可以对角化。第一步，对于给定的实对称矩阵，求解特征方程，并将所有不同的特征值设置为；第二步是求解齐次线性方程组，找到一个基本的求解系统；得到正交

4、向量组。第三步是利用施密特正交化方法进行正交化、归一化、单元化，得到一个标准正交组。注意：它们都是属于的线性独立特征向量！在第四步中，让，是一个正交矩阵，是一个对角矩阵，和一组正交列向量(特征向量！)对应于排列顺序。注：矩阵，主对角线元素(特征值！)阶，(实对称矩阵a的标准形式！)，不管排列的顺序如何，这种对角化的形式都是唯一的。对于一个矩阵，找到一个正交矩阵，使它成为一个对角矩阵。通过求解特征方程，得到解、矩阵和特征值(双)的特征多项式。即求解齐次线性方程组，得到了一个基本的解系统。对于，即求解，求解齐次线性方程组，得到一个基本的解系统。正交化：获取，组合，构造一个矩阵，属于0的特征向量是，那么，它是一个正交矩阵，并使该矩阵对角化为：并找到该矩阵。例3，让三阶实对称矩阵的特征值为，和解：因为三阶实对称矩阵必须对角化，在这个问题中，对应于二重特征值1的线性独立向量应该由两个特征向量组成，并设置为。根据定理4.13，它们都是正交