留数及其应用对数留数与辐角原理.ppt

1、第二讲,5.2 留数 (Residue),一、留数的概念及留数定理,二、留数的求法,三、函数在无穷远点的的留数,如果函数f (z)在z0的邻域内解析,C是此邻域内一条简单闭曲线，那末根据柯西积分定理有,因此 f (z) = . +c-n(z-z0)-n+.+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+. 0|z-z0|R,两端沿C逐项积分:,一、留数的概念及留数定理,定义5.4设 z0 为 f (z) 的孤立奇点，f (z) 在 z0 邻域内的洛朗级数中负幂次项 (z- z0)1 的系数c1 称为f (z)在 z0 的留数，记作 Res f (z), z0,即 R

2、es f (z), z0= c1 （1）,定理5.7(留数定理) 设函数 f (z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1, z2, ., zn 外处处解析. C是D内包围各奇点的一条正向简单闭曲线, 则,（3）,证明把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,.,n)用互不包含的正 向简单闭曲线Ck围绕起来, 则根据复合闭路定理有,注解1、留数定理在两个从定义上看，完全不同，也不相干的概念之间架起一个桥梁，是非常重要的。 注解2、具体计算一定要注意前面的系数,一般来说求函数在孤立奇点z0处的留数即求它在洛朗级数中(z-z0)-1 项的系数 c-1 即可. 但如果知道奇点的类型, 对求留数可能更有利.,如果

3、 z0是 f (z)的可去奇点, 则 Resf(z),z0=0 . 如果 z0 是本性奇点, 则只好将其按洛朗级数展开. 如果 z0 是极点, 则有一些对求 c-1有用的规则.,法则I,二、函数在极点的留数求法,例5.17 求函数 在各孤立奇点处的留数,解：由于 是 的一阶极点，有,法则II,证明：由条件,法则III,解：因 是 的二阶极点，则由公式 （5）有,例5.19求函数 在 处的留数,例 函数 在极点处的留数,解：因为函数 有两个一阶极点 ，且,三、 函数在无穷远点的留数,定义5.5 设为f(z)的一个孤立奇点,即f(z) 在圆环域 R|z|+内解析,则称,设f(z)在R| z |+内

4、的洛朗展式为,这里C-是顺时针方向,为f(z)在点的留数,记为,这就是说, f (z)在点的留数等于它在点的去心邻域 R|z|+内洛朗展开式中 z-1 的系数变号.,定理5.8 如果f(z)在C上只有有限个孤立点 (包括无穷远点在内),z1,z2,，zn,则f(z) 在各点的留数总和为零.,证明：对于充分大的正数 ,使 全在 内，由留数定理得,故得,法则：,例5.22 求函数 在它各有限奇点的留数总和。,解：函数的有限奇点是2及 ， 共五个其中2是三阶极点，每个 是二阶极点，显然，逐个求出在各奇点的留数，不论用规则2或展开洛朗级数，都是十分麻烦的，现在我们利用定理5.8来求：,所以欲求的留数之

5、和为1,例5.23计算积分 ，其中 为正向圆 周 ：,解：除 外，被积函数的奇点是 ， 据定理5.8有,由于 都在C 的内部，,课后作业,一、 思考题1，2，3 二、习题五：7-10,第三讲,5.3 留数在定积分中的应用,*5.4对数留数与辐角原理,.,5.3留数在定积分中的应用 (Residue in the application of definite integral),二、形如 型积分,一、形如 的积分,三、形如 的积分,在数学分析中往往要计算一些定积分或反常积分，而这些积分中的被积函数的原函数， 不能用初等函数表示出来；或者可以求出原函数，但计算也非常繁琐。在这种情况下把这些定积分

6、的计算问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数。下面通过例子进行讨论.,一、形如 的积分,令,当 经历变程 时,z沿圆周|z|=1的正方向绕行一周.因此有,例5.24求 的值.,解: 由于 ,被积函数的分母在 内不为零,因而积分是有意义的.,在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内,其中z=0为二阶极点,z=p为一阶极点.,例 计算积分 其中常数,有两个极点,在 内只有一个极点,二.形如 型积分,其中 为有理分式函数.,于是求得,为互质多项式,且合条件:,(1)、 ,即 比 至少高两次，,（2） 在实轴上无零点，,取积分路径如图所示, 其中CR是以原点为中心,

7、R为半径的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包含在这积分路径内.,例5.25,其中 为有理分式函数.,定理 5.10 设 为有理分式函数. 其中 与,为互质多项式,且满足条件:,(1)、 的次数比 的次数高。,(2)、 在实轴上无零点。,三、形如 的积分,注：公式（2）与（3）都要求 在实轴上 无零点，即 在实轴上无孤立奇点，若 在实轴上有孤立奇点，则,将(3)式实,虚部分开,得到形如:,例 求 的值,解：这里m=2,n=1,m-n=1. 在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的， 在上半平面内有一阶极点ai,例5.27 计算积分 的值.,解： 因为

8、 是偶函数, 所以,而 在上半平面内无奇点，,由公式（4）,比较等式两端的实,虚部得,*5.4对数留数与辐角原理 (Logarithmic residue and argument principle),一、对数留数 二、辐角原理 三、儒歇（Rouche）定理,一、对数留数,定义5.6 形如 的积分称为对数留数。,显然,函数f(z)的零点和奇点都可能是 的奇点.,证明:如a为f(z)的n阶零点,则在点a的邻域内有,引理 (1)设a为f(z)的n阶零点,则a必为函数,(2)设b为f(z)的m阶极点，则b必为函数,其中g(z)在点a的邻域内解析,且g(a)0.于是,的一阶极点,且,由 在点a的邻域

9、内解析,(2)如b为f(z)的m阶极点知在点b的去心邻域内有,其中 在点b的邻域内解析,定理5.11 设C是一条围线, f(z)符合条件:,(1),证 明：设ak(k=1,2,p)为f(z)在C内部的不同 零点,其阶数相应地为nk;bj(j=1,2,q)为f(z)在C,(1)f(z)在C内部除有限个极点外是解析的;,(2) f(z)在C上解析且不为零，则,式中N(f,C)与P(f,C)分别表示f(z)在C内部的零 点与极点的个数（m阶零点（或极点）算 m个）,在C内部及C上除去在C内部有一阶极点ak (k=1,2,p)及bj(j=1,2,q)均是解析的.,故由留数定理,及引理得,例1、计算积分

10、,内的不同极点,其级数相应地mj,则根据引理知,为了说明对数留数几何意义，我们将对数留数写成,二、 辐角原理,函数 是z的单值函数，当 起沿简单闭曲线绕行一周回到 时有,另一方面，当 起沿正方向绕行简单闭曲线一周回到 时， 的值可能改变。于是,式中 表示 沿 正方向绕行一周后 的改变量，是 的整倍数。,定理5.12（辐角原理）在定理5.11的条件下，,在闭曲线 的内部的零点个数与极点个数之差，等于当 沿 正方向绕行一周后 的改变量 除以 ，即,特别，如 在 的内部及 上均解析，,且 在 上不为零时，则,定理5.13 (儒歇(Rouche)定理),证明： 由假设f(z)与 f(z)+(z)在C内

11、部解析, 且连续到C,在C上有| f(z)|0,及,三、 儒歇(Rouche)定理,设C是一条围线,函数f(z)及(z)满足条件:,(1)它们在C的内部均解析,且连续到C;,(2)在C上, |f(z)|(z)|,则f(z)与 f(z)+(z) 在C内部有同样多的零点,即,由关系式,下面只须证明,根据条件(2),当z沿C变动时,将z平面上的围线C变成平面上的闭曲线,借助函数,即是说,点 不会围着原点=0 绕行., 全在圆周|-1|=1的内部.,解：取,由于当 时，我们有,由此可知：在 上，有,例2 设n次多项式 p(z)=a0zn+ atzn-t+an(a00）,满足条件：|at|a0|+ |at-1|+ |at+1 |+|an|,则p(z)在单位圆|z|1内必有n-t个根,证明：令f(z)= atzn-t,(z)=a0zn+ at-1zn-t+1+ at+1zn-t-1 +an,则f(z)与(z)均在闭单位圆域|z|1上解析， 而且在单位圆周 |z|=1上有：,|f(z)|=