东南大学几何与代数第三章.ppt

1、第三章 几何空间,第三章 几何空间,本章主要内容,空间向量的线性运算 空间向量的坐标 空间向量的内积、外积、混合积 直线与平面的方程,一. 向量的概念及其表示,3.1 平面向量及其运算的推广, A(起点), B(终点),零向量 : | | = 0,单位向量: 长度 = 1,两个向量相等: 长度相等, 方向一致,第三章 几何空间,3.1 平面向量及其运算的推广,二. 空间向量的线性运算,1. 加法, + =,+,(1) 三角形法则, | + |, | + | |.,第三章几何空间,3.1平面向量及其运算的推广,(1) 三角形法则,(2) 平行四边形法则, + =,+,一. 空间向量的线性运算,1

2、. 加法,第三章 几何空间,3.1 平面向量及其运算的推广,(3) 负向量,注: = .,(4) 向量的减法, = + ()., ,第三章 几何空间,3.1 平面向量及其运算的推广,(5) 运算性质, 交换律, + = + ., 结合律,( + ) + = + ( + )., + = ., + () = .,第三章 几何空间,3.1 平面向量及其运算的推广,例 1.,C,A,B,D,G,E,F,H,2. 数乘,定义3.2 一个实数m与一个向量的积是一个向量，记为m ，其长度 |m | =|m| | |. 若|m | 0, 则 当m0时, m 与 同向； 当m0时, m 与 反方向.,2,-2,

3、第三章几何空间,3.1平面向量及其运算的推广,(1).注：, m = m = 0 或 = .,(2).运算性质, (1) = ., 单位向量; 非零向量的单位化: / | |, 1 = ;, m(n) = (mn);, (m+n) = m + n;, m(+) = m + m.,第三章几何空间,3.1平面向量及其运算的推广,3. 向量的加法和数乘统称为向量的 线性运算；,4. 设1, 2 , s为一组向量， k1, k2 , ks 为一组实数，则称 为1, 2 , s的一个线性组合.,第三章几何空间,3.1平面向量及其运算的推广,k1 1 + k2 2 + ks s,例 2. 设四面体O-AB

4、C如图所示，其中D, E, F, G, H, I为六条棱的中点. (1)设DG, EH, FI的中点分别为J, K, L. 试将向量OJ，OK， OL表示成OD，OE，OF的线性组合. (2)证明： DG, EH, FI交于一点且被交点平分.,A,G,D,O,B,C,E,I,F,H,第三章几何空间,3.1平面向量及其运算的推广,第三章 几何空间,3.1 平面向量及其运算的推广,例 2.,O,A,B,C,第三章 几何空间,3.1 平面向量及其运算的推广,例 2.,O,A,B,C,= OD + OE + OF,1 2,1 2,1 2,第三章 几何空间,3.1 平面向量及其运算的推广,例 2.,O,

5、A,B,C,O,A,B,C,D,F,J,E,= OD + OE + OF,1 2,1 2,1 2,G,第三章 几何空间,3.1 平面向量及其运算的推广,例 2.,O,A,B,C,O,A,B,C,D,F,K,E,= OD + OE + OF,1 2,1 2,1 2,H,第三章 几何空间,3.1 平面向量及其运算的推广,例 2.,O,A,B,C,= OK = OL,= OD + OE + OF,1 2,1 2,1 2,DG, EH, FI交于一点且被交点平分,三. 共线、共面向量的判定,1.定义,给定向量1, 2 , s , 令i =OAi ( i = 1, 2, s). 若点O, A1, A2

6、, As在同一直线（平面）上， 则称向量1, 2 , s 共线(共面).,O,A1,A2,As,1,2,s,共线 =平行,第三章几何空间,3.1平面向量及其运算的推广,规定零向量与 任何向量共线,定理3.1 设向量, 则 向量与共线 可以由 唯一线性表 示(即存在唯一的实数m使得 = m ).,第三章几何空间,3.1平面向量及其运算的推广, = 2,2 = ,2 + = .,共线的判定,设1, 2 , s ,为一组向量， 若存在一组实数k1, k2 , ks使得 = k1 1+ k2 2 + ks s , 则称可由1,2 ,s线性表示.,第三章几何空间,3.1平面向量及其运算的推广,3. 设1

7、, 2 , s为一组向量, 若存在 一组不全为零的实数k1, k2 , ks使得 k1 1+ k2 2 + ks s= , 则称 1, 2 , s线性相关，否则 称 1, 2 , s 线性无关.,推论3.1 向量1, 2共线 1, 2线性相关 (即存在不全为零的实数k1, k2使得 k11+k22 = ).,第三章几何空间,3.1平面向量及其运算的推广,共线的判定,定理3.1 设向量, 则 向量与共线 可以由 唯一线性表 示(即存在唯一的实数m使得 = m ).,定理3.2 若向量, 不共线, 则 向量与, 共面 可以由, 唯 一线性表示 (即存在唯一的实数对 (m, n), 使得 = m +

8、 n ).,第三章几何空间,3.1平面向量及其运算的推广,= k1 + k2,共面的判定,第三章几何空间,3.1平面向量及其运算的推广,推论3.2 向量1, 2 , 3共面 1, 2, 3线性 相关 (即存在不全为零的实数 k1, k2 , k3, 使得 k11+k22+k33 = ).,共面的判定,第三章 几何空间,3.1 平面向量及其运算的推广,注：,A, B, C, D四点共面,A,B,D,C,.,.,.,., AB, AC, AD共面,3.2 空间坐标系,第三章几何空间,y,z,x,O,O,3.2 空间坐标系,一. 仿射坐标系,1. 线性表示,(1) 在直线上任意一个向量都可以由直线上

9、一个 非零向量唯一的线性表示., = 2,3.2 空间坐标系,第三章几何空间,(2) 在平面上任意一个向量都可以由平面上两个 不共线向量唯一的线性表示.,= k1 + k2,3.2 空间坐标系,第三章几何空间,一. 仿射坐标系,1. 线性表示,定理3.3 在空间中取定三个不共面的向量1, 2, 3, 则对空间中任一向量都存在唯一的 有序实数组(a, b, c), 使得 = a1+b2+c3.,3.2 空间坐标系,第三章几何空间,一. 仿射坐标系,1. 线性表示,3.2 空间坐标系,第三章几何空间,OP = a1 + b2 + c3,= a1 + b2 + c3, (a a)1 + (b b)2

10、 + (c c)3 = ,1, 2, 3不共面, a a = b b = c c = 0, a = a, b = b, c = c.,2.仿射坐标系O; 1, 2, 3 ,坐标原点;,坐标向量(基);,坐标轴;,坐标平面;,3.2 空间坐标系,第三章几何空间,若 OP = a1 +b2+c3, 则称(a,b,c) 为OP或点P 的坐标.,2.仿射坐标系O; 1, 2, 3 ,坐标原点;,坐标向量(基);,3.2 空间坐标系,第三章几何空间,向径;,也可记 OP =(a, b, c) .,(a,b,c),坐标;,坐标轴;,坐标平面;,第三章 几何空间,3.2 空间坐标系,3 线性运算的仿射坐标表

11、示, + = (a1+b1, a2+b2, a3+b3), = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), + = (a1+b1) 1 + (a2+b2) 2 + (a3+b3) 3, = a1 1 + a2 2 + a3 3, = b1 1 + b2 2 + b3 3,k = ka1 1 + ka2 2 + ka3 3,k = (ka1, ka2, ka3).,第三章 几何空间,3.2 空间坐标系, = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3),k + l = k(a1, a2, a3) + l(b1, b2, b3),= (ka1, ka2, ka3) +

12、(lb1, lb2, lb3),= (ka1+lb1, ka2+lb2, ka3+lb3),例 2. 设四面体O-ABC如图所示，其中D, E, F, G, H, I为六条棱的中点. 证明： DG, EH, FI交于一点且被交点平分.,A,G,D,O,B,C,E,I,F,H,第三章几何空间,3.1平面向量及其运算的推广,二. 直角坐标系O; i, j, k,3.2 空间坐标系,第三章几何空间,y,z,x,O, P,(a,b,c),也可记 OP =(a, b, c) .,若 OP = ai+bj+ck, 则称(a,b,c) 为OP或点P 的坐标.,O,右手坐标系,O,i,j,k,左手坐标系,3.

13、2 空间坐标系,第三章几何空间,i,j,k,第三章 几何空间,3.2 空间坐标系,线性运算的直角坐标表示, + = (a1+b1, a2+b2, a3+b3), = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), + = (a1+b1)i + (a2+b2) j + (a3+b3)k, = a1i + a2 j + a3k, = b1i + b2 j + b3k,k = ka1i + ka2 j + ka3k,k = (ka1, ka2, ka3).,第三章 几何空间,3.2 空间坐标系, = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3),k + l = k(a1, a

14、2, a3) + l(b1, b2, b3),= (ka1, ka2, ka3) + (lb1, lb2, lb3),= (ka1+lb1, ka2+lb2, ka3+lb3),= (x2, y2, z2) (x1, y1, z1),= (x2x1, y2y1, z2z1).,3.2 空间坐标系,第三章几何空间,P,例4. 如何判定向量OP1(x1, y1, z1), OP2(x2, y2, z2) 是否共线？,定理3.1 设向量, 则 向量与共线 可以由 线性表示,例5. 如何判定三点P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), P3(x3, y3, z3)是否共线？,3.

15、2 空间坐标系,第三章几何空间,3.2 空间坐标系,第三章几何空间,第三章 几何空间,3.2 空间坐标系,卦限,VI,VII,I,II,III,IV,V,VIII,本次课内容回顾,空间向量的线性运算 共线、共面向量的判定 空间坐标系,作 业,习题三（B） 2, 3, 5； 上交时间： 11月10日（周一）,3.1.2 空间向量的数量积,1. 物理背景.,2. 两个非零向量之间的夹角.,第三章几何空间,3.1平面向量及其运算的推广,M ,F, M,力F做的功为 |cos,若非零向量与之间的夹角为, 定义 与的内积为,(2) 若向量 = 或 = , 则规定它们的内 积为零，记为,3. 数量积(点积

16、,内积)的定义., = 0.,第三章几何空间,3.1平面向量及其运算的推广, = | |cos, = 0 ,与 垂直,| | = | | ,与 共线,注: 若 和是非零向量 ，则,4.点积的性质.,(1)正定性: = |20, 且 = 0 = .,(2)对称性: = .,(3) (m) = m( ) = (m).,(4) (+) = + .,定义2 = ,第三章 几何空间,3.1 平面向量及其运算的推广,P在l上的投影,5. 投影,第三章 几何空间,3.1 平面向量及其运算的推广,5. 投影,=,第三章 几何空间,3.1 平面向量及其运算的推广,= |AB|cos 若 ;,= ,B,A,第三章

17、 几何空间,3.1 平面向量及其运算的推广,对于任意非零向量, , = |cos,(2) = 0, = 0.,| = |.,(3) 与共线 | | = |,(1) = |cos, , =,=,|, ,| |,下面证明点积的性质(4):,(+) = + .,+,A,B,C,Q,P,| |,| |,| |,(+),=,+,(+),=,+,的法线,A,B,下面是投影的应用:,B,法向量n,第三章 几何空间,3.2 空间坐标系,6. 空间向量数量积的坐标表示, = (a1i + a2 j + a3k)(b1i + b2 j + b3k), = a1i + a2 j + a3k, = b1i + b2

18、j + b3k,= a1i (b1i + b2 j + b3k),+ a2 j (b1i + b2 j + b3k),+ a3k (b1i + b2 j + b3k),= a1b1,+ a2b2,+ a3b3,i2 = j2 = k2 = 1, i j = j k = k i = 0.,第三章 几何空间,3.2 空间坐标系,6. 空间向量数量积的坐标表示, = a1b1 + a2b2 + a3b3, = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3),例. ,= a12 + a22 + a32,|2 =,| =,点P1(x1, y1, z1)与P2(x2, y2, z2)之间的距离为

19、,x2x1,y2y1,z2z1,第三章 几何空间,3.2 空间坐标系,例. 设非零向量 = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3) 之间的夹角为, 则, = |cos,a1b1+a2b2+a3b3, = |cos,第三章 几何空间,3.2 空间坐标系,y,z,x,O,cos1, cos2, cos3 的方向余弦,1,2,3,1, 2, 3 的方向角,kcos1, kcos2, kcos3 的方向数(k 0),第三章 几何空间,3.2 空间坐标系, = (a1, a2, a3)的方向余弦,cos21 + cos22 + cos23 = 1,y,z,x,O,1,2,3,3.3 向

20、量的向量积和混合积,一. 两个向量的向量积,1. 物理背景.,2. 向量积(叉积 crossproduct, 外积 exterior product)的定义:,| | = | | |sin,其中为向量与之间的夹角.,3.叉积的几何意义：模=面积,第三章几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,向量的方向由右手螺旋 法则定义，它的模,4.叉积的性质.,(1)反对称性: = .,(2) (m) = m() = (m).,(3) (+) = + .,3.3 向量的向量积和混合积,第三章几何空间,注 (1)向量与共线(平行) = . 特别地, = .,(2)垂直的充要条件呢？,例. 证明( )2+()2

21、 = 2 2.,例. 已知| = 3, | = 11, 且 = 30. 求| |.,3.3 向量的向量积和混合积,第三章几何空间,5. 用向量的坐标计算向量的叉积.,(1) ij = k, jk = i, ki = j, ji = k, kj = i, ik = j, ii = jj = kk = .,设 =(a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), 则, =?,3.3 向量的向量积和混合积,第三章几何空间,(2)设 = a1i+a2j+a3k, = b1i+b2j+b3k, 则, = (a2b3a3b2)i +(a3b1a1b3)j + (a1b2a2b1)k,回忆二阶行列式

22、：,= adbc., = i + j + k,i j k = a1 a2 a3 b1 b2 b3,3.3 向量的向量积和混合积,第三章几何空间,例. 求点P(4,4,1)到点A(1,0,1)和B(0,2,3)所 在直线的距离.,3.3 向量的向量积和混合积,第三章几何空间,例. 已知三角形ABC的顶点坐标依次为 A(1,0,2), B(0,-1,3), C(2,1,-1).,(1)求ABC所在平面的法向量n； (2)求ABC的面积S; (3)求AB边上的高h; (4)求点P(1,2,3)到ABC所在平面的距离.,A,B,D,C,h,A,B,C,n,总 结,向量积（外积，叉积）,数量积（内积，点

23、积）,得到的是一个数,得到的是一个向量,例. 已知向量, , 有共 同起点但不共面, 求 以它们为棱的平行 六面体的体积V.,V = (),S = |,h = (),3.3 向量的向量积和混合积,第三章几何空间,更准确，V =| () |,二. 三个向量的混合积,1. 定义3.5：, , 的混合积: () , 记为 (, , ).,2. 几何意义.,三个不共面向量, , 混合积() 的绝对值等于以它们为相邻棱所作的 平行六面体的体积V. 当, , 符合右 (或左)手法则时() = V (或V).,第三章几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,三个向量, , 共面的充分必要条件 是它们的混合积(

24、) = 0.,注(2) 轮换对称性.,() = ( ) = () .,3.注 (1),第三章几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,(, , )= (, , )= (, , ).,4. 性质.,(1) (, , ) = 0.,(2) (, , ) = (, , ).,(3) (1+2, , ) = (1, , ) + (2, , ).,(4) (m, , ) = m(, , ), 其中m为一实数.,(5) (, , +m) = (, , ), 其中m为一实数.,注: 结合轮换对称性,由这些性质还可派生出更 多类似的性质. 如(, , ) = 0; (, 1+2, ) = (, 1, ) + (

25、, 2, ); (, m, ) = (, , m) = m(, , ); (, , +m) = (, , ), 等等.,第三章几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,5. 用向量的坐标计算向量的混合积.,设 = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), = (c1, c2, c3),第三章几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,i j k = a1 a2 a3 b1 b2 b3,5. 用向量的坐标计算向量的混合积.,设 = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), = (c1, c2, c3),则 = (a2b3a3b2), (a3b1a1b3), (a1b

26、2a2b1),() = (a2b3a3b2)c1+(a3b1a1b3)c2+(a1b2a2b1)c3,= a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2a3b2c1a1b3c2a2b1c3,a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3,第三章几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,5. 用向量的坐标计算向量的混合积.,设 = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), = (c1, c2, c3),() = (a2b3a3b2)c1+(a3b1a1b3)c2+(a1b2a2b1)c3,= a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2a3b2c1a1b3c2a2b1c3,采用行列式

27、的记号, 有,() =,第三章几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,则 = (a2b3a3b2), (a3b1a1b3), (a1b2a2b1),三个向量 =(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3), = (c1, c2, c3)共面的充分必要条件是,三个向量, , 共面的充分必要条件 是它们的混合积() = 0.,由注(1)：,第三章几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,例,设四面体P-ABC的顶点坐标依次为 P(p1, p2 ,p3 ), A(a1 ,a2 ,a3 ), B(b1 ,b2 ,b3 )， C(c1 ,c2 ,c3 ). 证明该四面体的体积V = |D| /

28、6, 其中,第三章几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,P,A,B,C,内积 投影,外积 平行四边形面积,混合积 平行六面体体积,第三章几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,设二维向量 = (a1, a2), = (b1, b2),请问,有什么几何意义？, = (b2, -b1),= | |,= | | | sin,的绝对值,= 以和为邻边所围成的 平行四边形的面积,本次课内容回顾,内积、向量积、混合积,作 业,习题三（B） 6,10,11,12 ；15, 16, 22, 24, 25, 26 第16题中点B的坐标改为(0,1,3) 上交时间：11月10日（周一） 另：请课后自学Matla

29、b软件。,3.4 平面和直线,一. 平面的方程, P,设平面过点P0(x0, y0, z0)且 与非零向量n = (A, B, C)垂直, 则点P(x,y,z)在平面上的充要条件是,n P0P = 0.,第三章几何空间,3.4 平面和直线,3.4 平面和直线,一. 平面的方程,1. 点法式方程., P,过点P0(x0, y0, z0)且与非零 向量n = (A, B, C)垂直的平面的方程为,A(xx0)+B(yy0)+C(zz0) = 0.,第三章几何空间,3.4 平面和直线,一. 平面的方程,1. 点法式方程., P,过点P0(x0, y0, z0)且与非零 向量n = (A, B, C)

30、垂直的平面的方程为,A(xx0)+B(yy0)+C(zz0) = 0.,2. 一般方程.,Ax+By+Cz+D = 0.,总结 平面方程是三元一次方程, 而三元一 次方程必然表示一个平面.,3.4 平面和直线,第三章几何空间,3.4 平面和直线,3. 在特殊位置的平面.,(1)过原点的平面: Ax+By+Cz = 0.,(2)平行于x轴的平面: By+Cz+D = 0.,平行于y轴的平面: Ax+Cz+D = 0.,平行于z轴的平面: Ax+By+D = 0.,(3)平行于xoy面的平面: Cz+D = 0.,平行于yoz面的平面: Ax+D = 0.,平行于xoz面的平面: By+D = 0

31、.,第三章几何空间,3.4 平面和直线,包括经 过x轴,Ax+By+Cz+D = 0.,给定不共线的三点P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), P3(x3, y3, z3), 一定可以确定一个平面,Ax+By+Cz+D = 0.,(1) 点法式方程(常用),第三章几何空间,3.4 平面和直线,P1P2 P1P3,P1,P2,P3,第三章几何空间,3.4 平面和直线,三点方程.,经过不共线的三点P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), P3(x3, y3, z3)的平面 的方程为,(2)或者利用向量P1P , P1P2 , P1P3 共面的 充要条件

32、： ( P1P , P1P2 , P1P3 ) = 0,5. 截距式方程.,第三章几何空间,3.4 平面和直线,例. 求通过点P0(1,2,3), 且 (1)通过x轴; 或者 (2)平行于yoz平面 的平面方程, 并且分别作出它们的图形.,第三章几何空间,3.4 平面和直线,P0,.,P0,.,二. 空间直线的方程,P(x,y,z),求过点P0(x0, y0, z0)且与非零 向量s = (l, m, n)平行的直 线L的方程.,第三章几何空间,3.4 平面和直线,P0P 与 L 平行,(x-x0 , y-y0 ,z-z0 ) = t (l, m, n),存在实数 t 使得 P0P = t s

33、,1. 参数方程.,P(x,y,z),求过点P0(x0, y0, z0)且与非零 向量s = (l, m, n)平行的直 线L的方程.,第三章几何空间,3.4 平面和直线,x = x0+lt, y = y0+mt, z = z0+nt, t R.,2. 标准(对称)方程. ( lmn 0 ),第三章几何空间,3.4 平面和直线,若 l=0, mn 0, 则L的参数方程为,x = x0, y = y0+mt, z = z0+nt.,或,x,y,z,O,L,x0,注：,第三章几何空间,3.4 平面和直线,若 l=m=0, n 0, 则L的参数方程为,x = x0, y = y0, z = z0+n

34、t.,或,注：,x = x0, y = y0.,或,y,z,O,L,x0,y0,x,3. 两点式方程.,过两点P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2)的直线L的 方程为,第三章几何空间,3.4 平面和直线,4. 一般方程.,A1x+B1y+C1z+D1 = 0,A2x+B2y+C2z+D2 = 0,第三章几何空间,3.4 平面和直线,与该直线平行的向量(方向向量)是什么？,例1 由下列一般方程得到标准方程 x+2y-z-3=0 x-2y+2z+1=0,总 结,平面方程： 点法式， 一般方程， 三点方程， 截距式,直线方程： 参数方程，标准方程， 两点式, 一般方程,第三章几

35、何空间,3.4 平面和直线,关于平行的问题,线与线何时平行？ 面与面何时平行？ 线与面何时平行？,第三章几何空间,3.4 平面和直线,(也不难),(简单),(简单),想一想,关于交点交线的问题,第三章几何空间,3.4 平面和直线,线与线何时相交？ 线与面何时相交？ 面与面何时相交？,想一想,例2. 当参数k取什么值时， 直线,相交？,L1,L2,P1,P2,s1,Q2,第三章几何空间,3.4 平面和直线,Q1,s2,注：也可以联立两直线的方程，然后考察所得的方程组是否有解。,例3. 求直线L： 与平,注意：所谓交点，就是同时满足直线方程 和平面方程的点,第三章几何空间,3.4 平面和直线,面：x+2y+z-1=0的交点坐标。,例4. 考察三个平面的交点或交线情况。,注意：所谓交点或交线，就是同时满足 三个平面方程的点或由这些点组成的线,第三章几何空间,3.4 平面和直线,1: x+y+z=1, 2 : -x+y=2, 3: 2x+a2z=a