高中数学导数

1、导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量 与自变量的增量之商的极限。 在一个函数存在导数时， 称这个函数可导或者可微分。可导的 函数一定连续。不连续的函数一定不可导。 导数实质上就是一个求极限的过程， 导数的四则 运算法则来源于极限的四则运算法则。 导数（导数（derivative functionderivative function ） 亦名纪数、 微商（微分中的概念），由速度变化问题和曲线的切线问题而抽象出 来的数学概念。又称 变化率变化率 。 如一辆汽车在 10 小时内走了600 千米，它的平均速度是60 千米小时 . 但在实际行驶过程

2、中，是有快慢变化的，不都是60 千米小时。 为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔， 设汽车所在位置 s 与时间 t 的关系为 sf（t） 那么汽车在由时刻t0 变到 t1 这段时间内的平均速度是 f(t1)-f(t0)/t1-t0 当 t1 与 t0 很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反 映汽车在 t0 到 t1 这段时间内的运动变化情况. 自然就把 极限f(t1)-f(t0)/t1-t0作为汽车在时刻t0 的瞬时速度，这就是通常所 说的速度。 一般地，假设一元函数yf(x )在 x0 点的附近 (x0a ，x0 a)内有定义 ; 当自变量的增

3、量当自变量的增量 x x x xx00 x00 时函数时函数 增量增量 yyf f（x x） f f（x0 x0）与）与自变量自变量 增增 量之比的极限存在且有限量之比的极限存在且有限, ,就说函数就说函数 f f 在在 x0 x0 点可导，称之为点可导，称之为 f f 在在 x0 x0 点的（或变化率点的（或变化率 ). ). 导数的几何意义 若函数 f 在区间 I 的每一点都可导，便得到一个以 I 为定义域 的新函数，记作 f(x) 或 y，称之为 f 的导函数，简称为导数。 函数 yf（x）在 x0 点的导数 f（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0 x0，f （x0） 点的切线斜率 一

4、般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性的法则：设yf(x )在（a， b）内可导。如果在（ a，b）内， f（x）0,则 f（x）在这个区间是单调增加的。 。如 果在（a，b）内，f（x）0,则 f（x）在这个区间是单调减小的。所以，当f（x）=0 时，yf(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小 值。 导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。 导数是微积分中的重要概念。导数是微积分中的重要概念。 导数另一个定义：当x=x0 时，f(x0) 是一个确定的数。这样，当x 变化时， f(x) 便是 x 的一个函数，我们称他为f(x)的导函数（ deriv

5、ative function ） （简称导数）。 y=f(x)的导数有时也记作y，即（如右图）： 物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导 数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示 经济学中的边际和 弹性。 以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间 的函数变化。为了研究更 一般的 流形上的向量丛 截面（比如 切向量场 ）的变化，导数的概念被推广为所谓的“联 络”。 有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何 与物理中最重要 的基础概念之一。 注意： 1.f(x)0且 a 不等于 1) (x1/2)=2(x1/2)

6、(-1) (1/x)=x(-2) 补充一下。上面的公式是不可以代常数进去的，只能代函数，新学导数的人往往 忽略这一点，造成歧义，要多加注意。 （3）导数的四则运算法则（和、差、积、商） ： (uv)=u v (uv)=uv+uv (u/v)=(uv-uv)/ v2 （4）复合函数 的导数 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自 变量的导数 -称为链式法则 。 导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨 对此做出了卓越的贡献！ 编辑本段 导数公式及证明导数公式及证明 这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程: 基本导数公式 1.y=c(c 为常数 ) y

7、=0 2.y=xn, y=nx(n-1) 3.(1)y=ax ,y=axlna；(2)y=ex y=ex 4.(1)y=logaX, y=1/xlna (a0且 a 不等于 1,x0) ；(2)y=lnx ,y=1/x 5.y=sinx y=cosx 6.y=cosx y=-sinx 7.y=tanx y=1/(cosx)2 8.y=cotx y=-1/(sinx)2 9.y=arcsinx y=1/1 -x2 10.y=arccosx y=- 1/1-x2 11.y=arctanx y=1/(1+x2) 12.y=arccotx y=-1/(1+x2) 在推导的过程中有这几个常见的公式需要用

8、到： 1.y=fg(x ),y=fg(x)g(x) fg(x) 中 g(x）看作整个变量，而 g(x)中把 x 看作变 量 2.y=u/v,y=(uv-uv)/v2 3.y=f(x) 的反函数是 x=g(y） ，则有 y=1/x 证：1.显而易见， y=c 是一条平行于 x 轴的直线，所以处处的切线都是平行于x 的，故斜率为 0。用导数的定义做也是一样的：y=c,y=c -c=0,limx0y/x=0 。 2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n 为 任意实数的一般情况。在得到y=ex y=ex 和 y=lnx y=1/x 这两个结果后能用复合 函数的 求导给予证

9、明。 3.y=ax, y=a(x+x) -ax=ax(ax -1) y/x=ax(ax -1)/x 如果直接令 x0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数ax-1 通 过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：x=loga(1+) 。 所以(ax-1)/x/loga(1+)=1/loga(1+)1/ 显 然 ， 当 x0时 ， 也 是 趋 向 于 0 的 。 而 lim0(1+)1/=e, 所 以 lim01/loga(1+)1/=1/logae=lna。 把 这 个 结 果 代 入limx0y/x=limx0ax(ax-1)/x后 得 到 limx0y/x=axlna 。 可以知道，当 a

10、=e 时有 y=ex y=ex 。 4.y=logax y=loga(x+x) -logax=loga(x+x)/x=loga(1+x/x)x/x y/x=loga(1+x/x)(x/x)/x 因 为 当x0时 ， x/x趋 向 于0而x/x趋 向 于 ， 所 以 limx0loga(1+x/x)(x/x)logae, 所以有 limx0y/x logae/x 。 也可以进一步用换底公式 limx0y/x logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)(-1) 可以知道，当 a=e 时有 y=lnx y=1/x 。 这时可以进行 y=xn y=nx(n-1) 的推导

11、了。因为 y=xn, 所以 y=eln(xn)=enlnx, 所以 y=enlnx(nlnx)=xnn/x=nx(n-1)。 5.y=sinx y=sin(x+x) -sinx=2cos(x+x/2)sin(x/2) y/x=2cos(x+x/2)sin(x/2)/x=cos(x+x/2)sin(x/2)/(x/2) 所以 limx0y/x=limx0cos(x+x/2)limx0sin(x/2)/(x/2)=cosx 6.类似地，可以导出y=cosx y=-sinx 。 7.y=tanx=sinx/cosx y=(sinx)cosx-sinx(cosx)/cos2x=(cos2x+sin2x

12、)/cos2x=1/cos2x 8.y=cotx=cosx/sinx y=(cosx)sinx-cosx(sinx)/sin2x=-1/sin2x 9.y=arcsinx x=siny x=cosy y=1/x=1/cosy=1/1 -sin2y=1/1 -x2 10.y=arccosx x=cosy x=-siny y=1/x=-1/siny=- 1/1-cos2y=- 1/1-x2 11.y=arctanx x=tany x=1/cos2y y=1/x=cos2y=1/sec2y=1/1+tan2x=1/1+x2 12.y=arccotx x=coty x=-1/sin2y y=1/x=-

13、sin2y=-1/csc2y=-1/1+cot2y=-1/1+x2 另外在对 双曲函数 shx,chx,thx 等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较 复杂的复合函数求导时通过查阅导数表 和运用开头的公式与 4.y=u 土 v,y=u土 v 5.y=uv,y=uv+uv 均能较快捷地求得结果。 对于 y=xn y=nx(n-1)，y=ax y=axlna有更直接的求导方法。 y=xn 由指数函数定义可知， y0 等式两边取自然对数 ln y=n*ln x 等式两边对 x 求导，注意 y 是 y 对 x 的复合函数 y * (1/y)=n*(1/x) y=n*y/x=n*

14、xn / x=n * x (n-1) 幂函数同理可证 导数说白了它其实就是斜率 上面说的分母趋于零,这是当然的了 ,但不要忘了分子也是可能趋于零的,所以两 者的比就有可能是某一个数,如果分子趋于某一个数,而不是零的话 ,那么比值会很大 , 可以认为是无穷大 ,也就是我们所说的导数不存在. x/x,若这里让 X 趋于零的话 ,分母是趋于零了 ,但它们的比值是 1,所以极限为 1. 建议先去搞懂什么是极限.极限是一个可望不可及的概念,可以很接近它 ,但永远 到不了那个岸 . 并且要认识到导数是一个比值. 导数的应用导数的应用 1 1函数的单调性函数的单调性 (1)利用导数的符号判断函数的增减性 利

15、用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的 一个应用，它充分体现了数形结合的思想 一般地，在某个区间 (a，b)内，如果 f(x)，那么函数y=f(x)在这个区间内单 调递增；如果 f(x)，那么函数 y=f(x) 在这个区间内单调递减 如果在某个区间内恒有f(x)=0 ，则 f(x)是常数函数 注意：在某个区间内， f(x)是 f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是 必要条件，如 f(x)=x3 在 R 内是增函数，但 x=0 时 f(x)=0 。也就是说，如果已知f(x) 为增函数，解题时就必须写f(x)0。 (2)求函数单调区间的步骤 确定 f(x)的定义

16、域； 求导数； 由（或）解出相应的 x 的范围当 f(x)0 时，f(x)在相应区间上是增函数；当 f(x)0 时，f(x)在相应区间上是减函数 2 2函数的极值函数的极值 (1)函数的极值的判定 如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点； 如果在附近的左侧，右侧，那么，是极大值或极小值. 3 3求函数极值的步骤求函数极值的步骤 确定函数的定义域； 求导数； 在定义域内求出所有的驻点，即求方程及的所有实根； 检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如 果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值 4 4函数的最值函数的最值 (1)如果 f(x)在a,b上的最大值

17、（或最小值）是在 (a，b)内一点处取得的，显然 这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是 f(x)在(a，b)内所有的极 大值（或极小值）中最大的（或最小的） ，但是最值也可能在 a，b的端点 a 或 b 处取得，极值与最值是两个不同的概念 (2)求 f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤 求 f(x)在(a，b)内的极值； 将 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最 小值 5 5生活中的优化问题生活中的优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问 题，优化问题也称为最值问题解决这些问题具有非常现

18、实的意义这些问题通常可 以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题 6 6实习作业实习作业 本节内容概括总结了微积分建立的时代背景，并阐述了其历史意义，包括以下六 部分： (1)微积分的研究对象； (2)历史上对微积分产生和发展的评价； (3)微积分产生的悠久历史渊源； (4)微积分产生的具体的时代背景； (5)牛顿和莱布尼茨的工作； (6)微积分的历史意义 7.7.注意事项注意事项 （1）函数图像看增减，导数图像看正负。 （2）极大值不一定比极小值大。 （3）极值是局部的性质，最值是整体的性质 编辑本段 高阶导数高阶导数 高阶导数的求法 1.直接法：由 高阶导数 的定义逐步

19、求高阶导数 . 一般用来寻找解题方法。 2.高阶导数的运算法则 : 高阶导数运算法则 注意：必须在各自的导数存在时应用（和差点导数） 3.间接法 : 利用已知的高阶导数公式， 通过四则运算 , 变量代换等方法，注意：代换后函数要便于求，尽量靠拢已知公式 求出阶导数 . 常见高阶导数的公式： 常见高阶导数公式 第十讲第十讲导数导数 【考点透视】【考点透视】 1了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌 握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念 2熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则了解复合函数的求导 法则，会求某些简单函数的导

20、数 3 理解可导函数的单调性与其导数的关系； 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最 小值 【例题解析】【例题解析】 考点 1导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景， 掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义， 理 解导函数的概念. 例 1f (x)是f (x) 1 3x 2x1的导函数，则f (1)的值是 3 考查目的考查目的 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. 解答过程解答过程 Q f (x) x22, f (1)12 3. 故填 3. 例 2.设函数 f (x) xa,集合 M=x| f

21、 (x) 0,P=x | f (x) 0,若 M P,则实数 a 的取值范围是 x1 2 () A.(-,1)B.(0,1)C.(1,+)D. 1,+) 考查目的考查目的 本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. 解答过程解答过程 由 xa 0,当a1时,1 x a;当a1时,a x 1. x1 xaa1 xax1xa Q y ,y/ 0. 22 x1 x1 x1x1 / a 1. 综上可得 M P 时, a 1. 考点 2曲线的切线 （1）关于曲线在某一点的切线 求曲线 y=f(x)在某一点 P（x,y）的切线，即求出函数 y=f(x)在 P 点的导数就是曲线在该点的 切线的斜率.

22、 （2）关于两曲线的公切线 若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题典型例题 例 3.已知函数f (x) 1 3 1 23内各有一个极值点x ax bx在区间11)，(1 ， 32 2 （I）求a 4b的最大值； 2 （II）当a 4b 8时，设函数y f (x)在点A(1 ，f (1)处的切线为l，若l在点A处穿过 函数y f (x)的图象（即动点在点A附近沿曲线y f (x)运动，经过点A时，从l的一侧 进入另一侧） ，求函数f (x)的表达式 思路启迪思路启迪：用求导来求得切线斜率. 解答过程：解答过程：（I） 因为函数f (x) 2 1 3 1 23内分别有一个

23、极值点，x ax bx在区间11)，(1 ， 32 所以f (x) x ax b0在11)3内分别有一个实根，(1 ， 设两实根为x 1 ，x 2 （x 1 x 2 ） ，则x 2 x 1 a24b，且0 x 2 x 1 4于是 x 2 3，即a 2，b3时等号0a24b4，0 a24b16，且当x 1 1， 成立故a24b的最大值是 16 （II）解法一：由f (1)1 ab知f (x)在点(1 ，f (1)处的切线l的方程是 21 y f (1) f (1)(x1)，即y (1ab)xa， 32 因为切线l在点A(1 ，f (x)处空过y f (x)的图象， 所以g(x) f (x)(1a

24、b)x 21 a在x 1两边附近的函数值异号，则 32 x 1不是g(x)的极值点 而g(x) 1 3 1 2 21 x ax bx(1ab)xa，且 3232 g(x) x2axb(1ab) x2axa1 (x1)(x1a) 若1 1a，则x 1和x 1a都是g(x)的极值点 所以1 1a，即a 2，又由a24b 8，得b 1，故f (x) 解法二：同解法一得g(x) f (x)(1ab)x 1 3x x2 x 3 21 a 32 13a3 (x1)x2(1)x(2a) 322 因为切线l在点A(1 ，f (1)处穿过y f (x)的图象，所以g(x)在x 1两边附近的函数值 异号，于是存在

25、m 1 ，m 2 （m 1 1 m 2 ） 当m 1 x 1时，g(x) 0，当1 x m 2 时，g(x) 0； 或当m 1 x 1时，g(x) 0，当1 x m 2 时，g(x) 0 2 设h(x) x 1 3a 3a x 2 ，则 22 当m 1 x 1时，h(x) 0，当1 x m 2 时，h(x) 0； 或当m 1 x 1时，h(x) 0，当1 x m 2 时，h(x) 0 由h(1) 0知x 1是h(x)的一个极值点，则h(1) 211 所以a 2，又由a24b 8，得b 1，故f (x) 3a 0， 2 1 3x x2 x 3 例 4.若曲线y x4的一条切线l与直线x 4y 8

26、 0垂直，则l的方程为（） A4x y 3 0Bx4y5 0 C4x y 3 0Dx4y 3 0 考查目的考查目的 本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力. 解答过程解答过程 与直线x4y8 0垂直的直线l为4x y m 0， 即y x4在某一点的导数为 4， 而 y 4x3，所以y x4在(1，1)处导数为 4，此点的切线为4x y3 0. 故选 A. 例 5过坐标原点且与 x2+y2-4x+2y+ 5 =0 相切的直线的方程为 () 2 A.y=-3x 或 y=1xB. y=-3x 或 y=-1xC.y=-3x 或 y=-1xD. y=3x 或 y=1x 3333 考查目的考

27、查目的 本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. 解答过程解答过程 解法 1：设切线的方程为y kx,kx y 0. 又x22 y12 5 ,圆心为2,1. 2 2k 1 k21 51 ,3k28k 3 0.k ,k 3. 23 1 y x,或y 3x. 3 故选 A. 3 1 由解法 2:由解法 1 知切点坐标为(1 , 3), , , 22 2 2 / 5 (x2)2y 12 , x 2 x / 2(x2)2y 1y x / 0, y x / k 1 y x / x2 . y 1 13 ( , ) 22 1 . 3 3,k 2 y x / 1 x. 3 3 1 (

28、, ) 2 2 y 3x, y 故选 A. 例 6.已知两抛物线C 1 : y x2 2x,C2: y x2 a,a取何值时C1，C2有且只有一条公切线， 求出此时公切线的方程. 思路启迪思路启迪：先对C 1 : y x2 2x,C2: y x2 a求导数. 解答过程：解答过程：函数y x2 2x的导数为y 2x 2，曲线C1在点 P(x1,x12 2x1)处的切线方程为 22 y (x1 2x1) 2(x1 2)(x x1)，即y 2(x11)x x1 曲线C 1 在点 Q(x 2 ,x22 a)的切线方程是y (x2 a) 2x2(x x2)即 y 2x2x x22a 若直线l是过点 P

29、点和 Q 点的公切线，则式和式都是l的方程，故得 22 x11 x2,x1 x21，消去 x 2得方程，2x1 2x11a 0 2 若=4 42(1 a) 0，即a 1时，解得x1 1，此时点 P、Q 重合. 22 当时a 1，C1和C 2 有且只有一条公切线，由式得公切线方程为y x 1 . 24 考点 3导数的应用 中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数， 导数是研究函数性质的重要而 有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我 们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法， 进而与不等式的证明， 讨论方程解 的情况等问题结合起来，极大地丰

30、富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题: 1. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值）; 5.构造函数证明不等式. 典型例题 例 7 函数 f (x)的定义域为开区间(a,b)， 导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示， 则函数f (x) 在开区间(a,b)内有极小值点（） A1 个 B2 个 C3 个 D 4 个 考查目的考查目的 本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识 的应用能力. a y y f? (x) b O x 解答过程解答过程 由图象可见,在区间(a,0)内的图象上有一个极小值点. 故选 A. 例 8 .设函

31、数f (x) 2x33ax23bx8c在x 1及x 2时取得极值 （）求 a、b 的值； （）若对于任意的x0， 3，都有f (x) c成立，求 c 的取值范围 思路启迪思路启迪：利用函数f (x) 2x33ax23bx8c在x 1及x 2时取得极值构造方程组求a、 b 的值 2 解答过程：解答过程： （）f (x) 6x 6ax3b， 2 因为函数f (x)在x 1及x 2取得极值，则有f (1) 0，f (2) 0 66a3b 0， 即2412a3b 0 解得a 3，b 4 （）由（）可知，f (x) 2x 9x 12x8c， 32 f (x) 6x218x12 6(x1)(x2) 当x(

32、01)，时，f (x) 0； 当x(1 ， 2)时，f (x) 0； 当x(2， 3)时，f (x) 0 所以，当x 1时，f (x)取得极大值f (1) 58c，又f (0) 8c，f (3) 98c 则当x0， 3时，f (x)的最大值为f (3) 98c 因为对于任意的x0， 3，有f (x) c恒成立， 2 2 所以98c c， 解得 c 1或c 9， 因此c的取值范围为(， 1)U (9， ) 例 9.函数y 2x 4 x 3的值域是_. 思路启迪思路启迪：求函数的值域， 是中学数学中的难点， 一般可以通过图象观察或利用不等式性质 求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的

33、形式结构较为复杂，采用导数法 求解较为容易。 2x 4 0得， 解答过程：解答过程：由 x 2，即函数的定义域为2,). x 3 0 y 112 x 3 2x 4 ， 2x 42 x 32 2x 4 x 3 2x 8 ， 2 x 3 2x 4 又2 x 3 2x 4 当x 2时，y 0， 函数 y 2x 4 x 3在(2,)上是增函数，而f (2) 1， y 2x 4 x 3 的值域是1,). 例 10已知函数 fx 4x33x2cos 3 cos ，其中x R,为参数，且0 2 16 （1）当时cos 0，判断函数fx是否有极值； （2）要使函数f (x)的极小值大于零，求参数的取值范围；

34、（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数 fx在区间2a1,a内都是增函数， 求实数a的取值范围 考查目的考查目的 本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、 解不等式等基础 知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法. 解答过程解答过程 （）当cos0时，f (x) 4x3，则 f (x)在(,)内是增函数，故无极值. （） f (x) 12x26xcos，令f (x) 0，得x 1 0,x 2 cos . 2 由（） ，只需分下面两种情况讨论. 当cos0时，随 x 的变化f (x)的符号及f (x)的变化情况如下表： x f (x) f (x)

35、 (,0)0 0 极大值 (0, cos ) 2 cos 2 (cos,) 2 + - 0 极小值 + 因此，函数f (x)在x cos 处取得极小值f( cos )，且f (cos) 1 cos3 3 222416 . 要使 f (cos) 0，必有 1 cos(cos2 3) 0，可得 0 cos 3 . 2244 由于0 cos 3 ，故 或 3 11 . 26226 当时cos0，随 x 的变化，f (x)的符号及f (x)的变化情况如下表： x f (x) f (x) (, cos ) 2 cos 2 (cos,0) 2 0 0 (0,) +0 极大值 -+ 极小值 因此，函数f (

36、x)在x 0处取得极小值 f (0)，且f (0) 3 cos. 16 若 f (0) 0，则cos 0.矛盾.所以当cos 0时，f (x)的极小值不会大于零. 综上，要使函数f (x)在(,)内的极小值大于零， 参数的取值范围为( , )(3, 11 ). 6 226 （III）解：由（II）知，函数f (x)在区间(,)与(cos ,)内都是增函数。 2 由题设，函数f (x)在(2a1,a)内是增函数，则 a 须满足不等式组 2a1 a a 0 或 2a1 a 1 2a1cos 2 由（II） ，参数时 (, )(3,11 )时，0 cos 3 .要使不等式2a1 1 cos 关于参数

37、 6 2 4 2622 恒成立，必有2a 1 3 ，即4 3 a . 8 综上，解得a 0或 43 a 1. 8 所以a的取值范围是(,0) 4 3 ,1). 8 例 11设函数 f(x)=ax(a+1)ln(x+1)，其中 a-1，求 f(x)的单调区间. 考查目的考查目的 本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想 分析问题解决问题的能力 解答过程解答过程 由已知得函数f (x)的定义域为(1,)，且 f(x) ax1 (a 1), x1 （1）当1a0时， f(x) 0,函数f (x)在(1,)上单调递减， （2）当a 0时，由 f(x) 0,解得x 1 .

38、 a f(x)、f (x)随 x的变化情况如下表 x f(x) 1 (1, ) a 1 a 1 ( ,) a 0+ f (x)极小值 从上表可知 当 x(1, 1 )时，f (x) 0,函数f (x)在(1,1)上单调递减. aa 当 x( 1 ,)时， f(x) 0,函数f (x)在(1,)上单调递增. aa 综上所述：当1 a 0时，函数 f (x)在(1,)上单调递减. 当a 0时，函数 f (x)在(1,1)上单调递减，函数f (x)在(1,)上单调递增. aa 例 12已知函数 f (x) ax3bx2cx在点 x 0处取得极大值5 ，其导函数y f (x)的图 象经过点(1,0)，

39、(2,0)，如图所示.求： （）x0的值； （）a,b,c的值. 考查目的考查目的 本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与 方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能 力 解答过程解答过程 解法一： （）由图像可知，在,1上 上 f x0, 故 f (x)在 上递增，在(1,2)上递减， （-，1），（2，+） 因此fx在x 1处取得极大值，所以x01 （） f(x) 3ax2 2bx c, 由 f（1）=0，（f2）0，（f1）5， f x 0，在1,2上 f x 0，在2, 得12a4bc 0, abc 5, 3a2

40、bc 0, 解得a 2,b 9,c 12. 解法二： （）同解法一 （）设 f(x) m(x 1)(x 2) mx23mx 2m, 又 f(x) 3ax22bxc, 所以a m ,b 3 m,c 2m 32 f (x) m 3 3 2|x mx 2mx, 32 由 f (1)5， 即 m 3 m2m 5,得m 6, 32 所以a 2,b 9,c 12 例 13设x 3是函数 fx x2 ax be3xx R的一个极值点. （）求a与b的关系式（用a表示b） ，并求 fx的单调区间； 25 x2 （）设a 0， gx a e .若存在 1,2 0,4使得f 1 g 2 1成立，求a的取值范 4

41、围. 考查目的考查目的 本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决 问题的能力. 解答过程解答过程 （）f (x)x2(a2)xba e3 x, 由 f (3)=0，得 32(a2)3ba e3 30，即得 b32a， 则 f (x)x2(a2)x32aa e3 x x2(a2)x33a e3 x(x3)(xa+1)e3 x. 令 f (x)0，得 x13 或 x2a1，由于 x3 是极值点， 所以 x+a+10，那么 a4. 当 a3x1，则 在区间（，3）上，f (x)0，f (x)为增函数； 在区间（a1，）上，f (x)4 时，x23x1，则 在区间（，a1

42、）上，f (x)0，f (x)为增函数； 在区间（3，）上，f (x)0 时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单 调递减，那么 f (x)在区间0，4上的值域是min(f (0)，f (4) )，f (3)， 而 f (0)（2a3）e30，f (3)a6， 那么 f (x)在区间0，4上的值域是（2a3）e3，a6. 又 g(x) (a2 25)e x在区间0，4上是增函数， 4 且它在区间0，4上的值域是a225， （a225）e4， 44 由于（a225）（a6）a2a1（a 1）20，所以只须仅须 442 （a225）（a6）0，解得 0a0 时，f(0)为极

43、大值 C、b=0D、当 a0 时，f(0)为极小值 11、已知函数 y=2x3+ax2+36x-24 在 x=2 处有极值，则该函数的一个递增区间是() A、 （2，3）B、 （3，+）C、 （2，+）D、 （-，3） 12、方程 6x5-15x4+10 x3+1=0 的实数解的集合中() A、至少有 2 个元素 B、至少有 3 个元素 C、至多有 1 个元素D、恰好有 5 个元素 二、填空题 13.若 f(x0)=2,lim f (x0k) f (x0) =_. k0 2k 14.设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),则 f(0)=_. 15.函数 f(x)=loga(3x2+5x

44、2)(a0 且 a1)的单调区间_. 16.在半径为 R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_时它的面积最大. 三、解答题 17.已知曲线 C：y=x33x2+2x,直线 l:y=kx,且 l 与 C 切于点(x0,y0)(x00)，求直线 l 的方程 及切点坐标. 18.求函数 f(x)=p2x2(1-x)p(pN+)，在0，1内的最大值. 19.证明双曲线 xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数. 20.求函数的导数 (1)y=(x22x+3)e 2x ; (2)y= 3 x . 1 x 21.有一个长度为 5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m

45、/s 墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m 时，梯子上端下滑的速度. 的速度离开 22.求和 Sn=12+22x+32x2+n2xn1,(x0,nN N*). 23.设 f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间. 24.设 x=1 与 x=2 是函数 f(x)=alnx+bx2+x 的两个极值点. (1)试确定常数 a 和 b 的值； (2)试判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值还是极小值，并说明理由. 25.已知 a、b 为实数，且 bae,其中 e 为自然对数的底，求证：abba. 26.设关于 x 的方程 2x2ax2=0 的两根为、(),

46、函数 f(x)=4xa. x21 (1)求 f()f()的值； (2)证明 f(x)是，上的增函数； (3)当 a 为何值时，f(x)在区间，上的最大值与最小值之差最小？ 【参考答案】【参考答案】 一、1.解析：y=e sinx cosxcos(sinx)cosxsin(sinx),y(0)=e0(10)=1. 答案：B 2.解析：设切点为(x0,y0),则切线的斜率为 k=y0,另一方面，y=(x9)= 4 x0 x5(x5)2 ,故 y(x0)=k,即 y0 x094 (x05)2x0 x0(x05) 5 或 x02+18x0+45=0 得 x0(1)=3,y0(2)=15,对应有 4 (

47、35)3 y0(1)=3,y0(2)=159 3,因此得两个切点 A(3， 3)或 B(15,3),从而得 y(A)= 1555 = 1 及 y(B)= 答案：A 3.解析：由 lim 41 ,由于切线过原点，故得切线：lA:y=x 225 (155) 或 lB:y= x . 25 x0 f (0)=1,故存在含有 x 0 的区间(a,b)使当 x(a,b),x0 时f (0)0,于是当 x x (a,0)时 f(0)0,当 x(0,b)时，f(0)0,这样 f(x)在(a,0)上单增，在(0,b)上单减. 答案：B 4.解析：fn(x)=2xn2(1x)nn3x2(1x) n-1 2n2n

48、=n2x(1x) n-1 2(1x)nx,令 fn(x)=0, 2n2n 得 x1=0,x2=1,x3= 2 ,易知 fn(x)在 x= 2 时取得最大值，最大值 fn( 2 )=n2( 2 )2(1 2 )n=4( 2 ) n+1 2n2n . 答案：D 5、B6、A7、B8、D9、B10、C11、B12、C 二、13.解析：根据导数的定义：f(x0)= lim f(x0(k) f (x0)(这时x k) k0 k lim f (x 0 k) f (x 0) 1f (x 0 k) f (x 0)lim k0k0 2k2k 1f (x 0 k) f (x 0) 1 lim f (x 0) 1.

49、 2 k0 k2 答案：1 14.解析：设 g(x)=(x+1)(x+2)(x+n),则 f(x)=xg(x),于是 f(x)=g(x)+xg(x), f(0)=g(0)+0g(0)=g(0)=12n=n！ 答案：n! 15.解析：函数的定义域是x1或 x2,f(x)= 3 log a e .(3x2+5x2)=(6x5)logae, (3x1)(x 2)3x25x2 若 a1,则当 x1时， logae0,6x+50,(3x1)(x+2)0,f(x)0,函数 f(x)在(1,+ 33 )上是增函数，x2 时，f(x)0.函数 f(x)在(,2)上是减函数. 若 0a1,则当 x1时，f(x)

50、0,f(x)在(1,+)上是减函数，当 x2 时， 33 f(x)0,f(x)在(,2)上是增函数. 答案：(,2) 16.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为 2x,高为 h，那么 h=AO+BO=R+ R2 x2 ,解得 x2=h(2Rh),于是内接三角形的面积为 S=xh= (2Rhh2) h (2Rh3h4), 从而 S 1 (2Rh3h4)2(2Rh3h4 ) 2 1h2(3R2h) 3423 2(2Rh h )(6Rh 4h ) 2 (2Rh)h3 1 1 . 令 S=0,解得 h=3R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下： 2 h S S 2 (0, 3R) 2

51、 3R 2 (3,2R) 2 + 增函数 0 最大值减函数 由此表可知，当 x=3R 时，等腰三角形面积最大. 答案：3R 2 三、17. 解：由 l 过原点，知 k=y0(x00),点(x0,y0)在曲线 C 上，y0=x033x02+2x0, x0 y0=x023x0+2,y=3x26x+2,k=3x026x0+2 x0 又 k=y0,3x026x0+2=x023x0+2,2x023x0=0,x0=0 或 x0=3. x02 由 x0,知 x0=3, 2 y0=(3)33(3)2+23=3.k=y0=1. 2228x 0 4 l 方程 y=1x 切点(3，3). 428 18.f(x) p2x(1 x)p12 (2 p)x, 令 f(x)=0 得，x=0，x=1，x= 2, 2 p p p2 . 2 ) 4() 2 p2 p 在0，1上，f(0)=0，f(1)=0， f( f(x)max 4( p 2p . ) 2 p 19.设双曲线上任一点 P（x0，y0）, k y|xx0 a2 x 0 2 , a2 x 0 2 切线方程 y y 0 (x x 0 ) , 令 y=0，则 x=2x0