高中数学综合测试题-解析版

1、高中数学综合检测题一(必修 3、选修 2-1) 一、选择题(每小题 5 分，每小题有且只有一个正确选项) 1阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 () A3B4C5D6 解析本小题考查程序框图等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，难度较小由a 1，i0i011，a1112i112，a2215i213， a35116i314，a41616550，输出 4. 答案B 2执行如图所示的程序框图，如果输入的N 是 6，那么输出的 p 是() A120B720C1 440D5 040 第 1 题图第 2 题图 解析本小题考查对算法的循环结构程序框图的理解与应用， 考查分析、 解决问题

2、的能力 本 题的程序框图的功能是计算p123的值，难度较小 当输入的 N 是 6 时，由于 k1，p1，因此 ppk1.此时 k1，满足 k6，故 kk1 2.当 k2 时，p12，此时满足k6，故kk13.当 k3 时，p123，此时满 足 k6，故 kk14.当 k4 时，p1234，此时满足 k6，故 kk15.当 k 5 时， p12345， 此时满足 k6， 故 kk16.当 k6 时， p123456 720，此时 k6 不再成立，因此输出 p720. 答案B 3有3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性 相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组

3、的概率为() A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 解析本小题考查古典概型的计算，考查分析、解决问题的能力因为两个同学参加兴趣小 组的所有的结果是 339(个)，其中这两位同学参加同一兴趣小组的结果有 3 个，所以由 古典概型的概率计算公式得所求概率为 3 9 1 3. 答案A 4如图，矩形ABCD 中，点E 为边 CD 的中点，若在矩形ABCD 内 部随机取一个点Q， 则点Q取自ABE内部的概率等于() A.1 112 4 B.3C.2D.3 解析本题考查了几何概型概率的求法，题目较易，属低档题，重在考查学生的双基这是 1 一道几何概型的概率问题，点Q 取自ABE 内部的概率为 S

4、 ABE S 2 |AB|AD| 1 矩形ABCD |AB|AD|2.故选 C. 答案C 5有一个容量为 200 的样本，其频率分布直方图如图所示根据 样本的频率分布直方图估计， 样本数据落在区间10,12)内的频 数为() A18B36C54D72 解析本题主要考查频率分布直方图的有关知识， 考查了识图 能力，属容易题由0.020.050.150.190.41，落在区 间2,10内的频率为 0.4120.82.落在区间10,12)内的频率为 10.820.18. 样本数据落在区间10,12)内的频数为 0.1820036. 答案B 6某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表： 广

5、告费用 x(万元)4235 销售额 y(万元)49263954 根据上表可得回归方程y b xa 中的b 为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 () A63.6 万元B65.5 万元C67.7 万元D72.0 万元 解析本小题考查了对线性回归方程的理解及应用，求解的关键是明确线性回归方程必过 样本中心点( x ，y )，同时考查计算能力 x 4235 7492639 4 2，y 54 4 42，又y b xa 必过( x ， y )，427 29.4a ，a 9.1.线性回归方程为y 9.4x9.1. 当 x6 时，y 9.469.165.5(万元) 答案B 7设 a a，b

6、 b 是向量，命题“若 a ab b，则|a|a|b|b|”的逆命题是() A若 a ab b，则|a|a|b|b|B若 a ab b，则|a|a|b|b| C若|a|a|b|b|，则 a ab bD若|a|a|b|b|，则 a ab b 解析原命题的条件是：a ab b，结论是|a|a|b|b|，所以逆命题是：若|a|a|b|b|，则 a ab. b. 答案D 8 已知 a ，b ， cR R ， 命 题“ 若 a b c 3 ，则 a2b2 c23 ” 的否 命 题是 () A若 abc3，则 a2b2c23B若 abc3，则 a2b2c23 C若 abc3，则 a2b2c23D若 a2b

7、2c23，则 abc3 解析原命题的条件是：abc3，结论是：a2b2c23，所以否命题是：若 ab c3，则 a2b2c2b0)， 由 e2 知a 2 ， 故a22. 由于ABF2的周长为|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2| 2 4a16，故 a4.b28.椭圆的方程为x 16 y2 C 8 1. 2 答案 x y 2 168 1 16某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000 名学生中随机抽取 200 名，并统计这200 名学生的某次数学考试成绩， 得到了样本的频率分布直方图(如图) 根据频率分布直方图推 测，这 3 000 名学生在该次数学考试中成绩小于60 分

8、的学生数是_ 解析本题考查频率分布直方图的应用，难度较小由直方图易得数学考试中成绩小于60 分的频率为(0.0020.0060.012)100.2， 所以所求分数小于60分的学生数为3 0000.2 600. 答案600 三、解答题 17(10 分)甲、乙两校各有 3 名教师报名支教，其中甲校2 男 1 女，乙校 1 男 2 女 (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1 名， 写出所有可能的结果， 并求选出的 2 名教师性 别相同的概率； (2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名， 写出所有可能的结果， 并求选出的 2 名教师来自同一学 解(1)甲校两男教师分别用 A、B 表示，女教师用 C

9、 表示；乙校男教师用 D 表示，两女教 师分别用 E、F 表示 从甲校和乙校报名的教师中各任选1 名的所有可能的结果为： (A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)共 9 种，从 中选出两名教师性别相同的结果有： (A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)共 4 种，选出的两名教师性别相同的概率为P4 9. (2)从甲校和乙校报名的教师中任选2 名的所有可能的结果为： (A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C， E)，(C，F)，(D，E)，(

10、D，F)，(E，F)共 15 种 从中选出两名教师来自同一学校的结果有： (A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共 6 种， 选出的两名教师来自同一学校的概率为P 62 155. (12 分)某市 2010 年 4 月 1 日4 月 30 日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可 吸入颗粒物)： 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45. (1)完成频率分布表； (2)作出频率分布直方图； (3)根据国家标准，污染指

11、数在 050 之间时，空气质量为优；在 51100 之间时，为良； 在 101150 之间时，为轻微污染；在151200 之间时，为轻度污染 请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价 解(1)频率分布表： 分组频数频率 41,51)2 2 30 51,61)1 1 30 61,71)4 4 30 71,81)6 6 30 81,91)10 10 30 18 91,101)5 5 30 101,111)2 2 30 (2)频率分布直方图： (3)答对下述两条中的一条即可： (i)该市一个月中空气污染指数有2 天处于优的水平，占当月天数的1 15；有26 天处于良的水 平，占当

12、月天数的13 15；处于优或良的天数共有28 天，占当月天数的 14 15.说明该市空气质量基 本良好 (ii)轻微污染有 2 天，占当月天数的 1 15.污染指数在 80 以上的接近轻微污染的天数有 15 天， 加上处于轻微污染的天数，共有 17 天，占当月天数的17 30，超过 50%.说明该市空气质量有 待进一步改善 19(12 分)如图，四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边 形，DAB60，AB2AD，PD底面 ABCD. (1)证明：PABD； (2)若 PDAD，求二面角 APBC 的余弦值 证明(1)因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得 BD 3AD. 从而 BD2

13、AD2AB2，故 BDAD. 又 PD底面 ABCD，可得 BDPD. 所以 BD平面 PAD，故 PABD. (2)解如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射 线 DA 为 x 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 则 A(1，0，0)，B(0， 3，0)，C(1， 3，0)，P(0，0， 1) AB (1， 3，0)，PB (0， 3，1)，BC (1，0， 0) 设平面 PAB 的法向量为 n n(x，y，z)， 则 n nAB 0，x 3y0， n nPB 即 0. 3yz0. 因此可取 n n( 3，1， 3) 设平面 PBC 的法向量为 m m，则 m mPB 0， m

14、 mBC 0. 可取 m m(0，1， 3)cosm m，n n 42 7 2 7 7 . 故二面角 A PB C 的余弦值为2 7 7 . 20(12 分) 如图，设 P 是圆 x2y225 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD 上一点，且|MD|4 5|PD|. (1)当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程； (2)求过点(3，0)且斜率为4 5的直线被 C 所截线段的长度 解(1)设 M 的坐标为(x，y)，P 的坐标为(xP，yP)， x 由已知得 Px， y 5 P4y. P 在圆上， x2(5 4 225，即轨迹 C 的方程为 x2y2 y) 25

15、161. (2)过点(3，0)且斜率为4 5的直线方程为 y 4 5(x3)， 设直线与 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线方程 y4 5(x3)代入 C 的方程，得 x2（x3）2 2525 1， 即 x23x80. 3 413 41 x1，x2. 22 线段 AB 的长度为 |AB| （x1x2）2（y1y2）2 16 （1）（x1x2）2 25 4141 41. 255 66 令 y 3，则 x3，z .所以 m m(3， 3， ) tt 6 同理，平面 PDC 的法向量 n n(3， 3， ) t 36 因为平面 PBC平面 PDC，所以 mnmn 0，即6 2

16、 0， t 21(12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，AB2， BAD60. (1)求证：BD平面 PAC； (2)若 PAAB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值； (3)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长 (1)证明因为四边形 ABCD 是菱形，所以 ACBD. 又因为 PA平面 ABCD，所以 PABD，所以 BD平面 PAC. (2)解设 ACBDO， 因为BAD60，PAAB2， 所以 BO1，AOCO 3. 如图， 以 O 为坐标原点， 建立空间直角坐标系 O xyz， 则 P(0， 3，2)， A(0， 3，0

17、)，B(1，0，0)，C(0， 3，0) 所以PB (1， 3，2)， AC (0，2 3，0) 设 PB 与 AC 所成角为 ，则 cos|PBAC| 6 6. |PB |AC | 2 22 3 4 (3)解由(2)知BC (1， 3，0) 设 P(0， 3，t)(t0)，则BP (1， 3，t) 设平面 PBC 的法向量 m m(x，y，z)， 则BC m m0，BP m m0. 所以 x 3y0， x 3ytz0. 解得 t 6.所以 PA 6. 22(12 分) 如图，直线 l：yxb 与抛物线 C：x24y 相切于点 A. (1)求实数 b 的值； (2)求以点 A 为圆心，且与抛物

18、线 C 的准线相切的圆的方程 解(1)由 yxb x24y 得 x24x4b0(*)， 因为直线 l 与抛物线 C 相切，所以(4)24(4b)0，解得 b1. (2)由(1)可知 b1，故方程(*)为 x24x40，解得 x2， 代入 x24y，得 y1，故点 A(2，1) 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切，所以圆 A 的半径 r 就等于圆心 A 到抛物线的准线 y1 的距离，即 r|1(1)|2， 所以圆 A 的方程为(x2)2(y1)24. 高中数学综合检测题二(必修 3、选修 2-1) 一、选择题(每小题 5 分，每小题有且只有一个正确选项) 1甲、乙两人一起去游“2011 西安世

19、园会”，他们约定，各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 答案D 4下面四个条件中，使ab 成立的充分不必要的条件是() Aab1Bab1Ca2b2Da3b3 解析ab1ab，abab1. 个进行游览，每个景点参观 1 小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 () A. 1 36 B.1 9 C. 51 36 D.6 解析考查学生的观察问题和解决问题的能力 最后一个景点甲有 6 种选法， 乙有 6 种选法， 共有 36 种，他们选择相同的景点有6 种，所以 P 61 366，所以选 D. 答案D 2某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有 30 名，高二年级有 40 名现用分层抽样的方法

20、 在这 70 名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6 名，则在高二年级的学 生中应抽取的人数为() A6B8C10D12 解析本题是随机抽样中的分层抽样， 题目简单， 考查基础知识 设样本容量为 N， 则 N30 70 6，N14，高二年级所抽人数为1440 708. 答案B 3设(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点， 直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如 图)，以下结论中正确的是 () Ax 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 Bx 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 C当 n 为偶数时，分布在 l 两

21、侧的样本点的个数一定相同 D直线 l 过点( x ， y ) 解析本题主要考查统计案例中线性回归直线方程的意义及对相关系数的理解 因为相关系 数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近1，两个变量的线性 相关程度越强，所以 A、B 错误C 中 n 为偶数时，分布在 l 两侧的样本点的个数可以不相 同，所以 C 错误根据回归直线方程一定经过样本中心点可知D 正确 答案A 5设集合 M1，2，Na2，则“a1”是“NM”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分又不必要条件 解析若 NM，则需满足 a21 或 a22.解得 a1 或 a 2.故“a1”是

22、“NM” 的充分不必要条件 答案A 6设圆 C 与圆 x2(y3)21 外切，与直线 y0 相切，则 C 的圆心轨迹为() A抛物线B双曲线C椭圆D圆 解析设圆 C 的半径为 r，则圆心 C 到直线 y0 的距离为 r.由两圆外切可得，圆心C 到 点(0，3)的距离为 r1，也就是说，圆心 C 到点(0，3)的距离比到直线 y0 的距离大 1， 故点 C 到点(0，3)的距离和它到直线 y1 的距离相等，符合抛物线的特征，故点C 的 轨迹为抛物线 答案A 7为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试，得分(十 分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为

23、mo，平均值为 x ，则 () Amemo xBmemo xCmemo xDmome x 解析本题考查了读图、识图能力以及对中位数、众数、平均数的理解 .30 个数中第 15 个数 是 5，第 16 个数是 6，所以中位数为56 2 5.5，众数为 5， x 324351066738292102 30 179 30 . 答案D 8为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5 对父子的身高数据如下： 父亲身高 x (cm)174176176176178 儿子身高 y (cm)175175176177177 则 y 对 x 的线性回归方程为() Ayx1Byx1Cy881 2x Dy176 解析本

24、题考查了线性回归知识，以及回归直线 ybxa 恒过定点( x ， y )，也考查了学 生的计算能力以及分析问题、解决问题的能力 因为 x 174176176176178 5 176， y 175175176177177 5 176， 又 y 对 x 的线性回归方程表示的直线恒过点( x ， y )，所以将(176,176)代入 A、B、C、D 中 检验知选 C. 答案C 9设 x，yR R，则“x2 且 y2”是“x2y24”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分又不必要条件 解析x2，且 y2x2y24，x2y24x2，且 y2，如 x2，y1，故“x2 且 y2”是

25、“x2y24”的充分不必要条件 答案A 10若 p 是真命题，q 是假命题，则() Apq 是真命题Bpq 是假命题C綈 p 是真命题D綈 q 是真命题 解析由于 p 是真命题， q 是假命题， 所以綈 p 是假命题， 綈 q 是真命题， pq 是假命题， pq 是真命题 答案D 11命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是() A所有不能被 2 整除的整数都是偶数B所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C存在一个不能被 2 整除的整数是偶数D存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 解析原命题是全称命题，其否定是：存在一个能被2 整除的数不是偶数 答案D 12已知命题 p：nN N，2n1

26、 000，则綈 p 为() AnN N，2n1 000BnN N，2n1 000CnN N，2n1 000DnN N，2n0，b0)上，有a2 b2 1. 由题意又有 y0y x0a 0 x0a 1 5， 即 x25y2a2，可得 a25b2，c2a2b26b2，则 ec 30 00 a5 . 222 (2)联立 x 5y 5b ， xc， 得 4x210cx35b20， y 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， x 5c 1x2 则 2 ， 35b2 x1x2 4 . 设OC (x3，y3)，OC OA OB ， 即 x3x1x2， y ， 3y1y2 又 C 为双曲线上一点，即x325y325b2， 有(x1x2)25(y1y2)25b2， 化简得 2(x125y12)(x225y22)2(x1x25y1y2)5b2， 又 A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以 x125y125b2，x225y225b2. 由式又有 x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2， 由式得 240，解出 0，或 4. 21(1212 分分)如图，四边形 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，PDQA，QAAB1 2PD. (1)证明：平面 P