高中数学解题方法分类讲义(第一讲)函数题型与解题方法

1、第第 1 1 讲讲函数问题的题型与方法函数问题的题型与方法 一、考试内容一、考试内容 映射、函数、函数的单调性、函数的奇 偶性；反函数、互为反函数的函数图象间的 关系；指数概念的扩充、有理指数幂的运算 性质、指数函数；对数、对数的运算性质、 对数函数 函数的应用举例。 二、考试要求二、考试要求 1了解映射的概念，理解函数的概念 2了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌 握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的 方法，并能利用函数的性质简化 函数图象的绘制过程。 3了解反函数的概念及互为反函数的函数 图象间的关系，会求一些简单函数的反函 数。 4理解分数指数的概念，掌握有理指数幂 的运算性质，掌握指数函

2、数的概念、图象和 性质。 5理解对数的概念，掌握对数的运算性质， 掌握对数函数的概念、图象和性质。 6能够运用函数的性质、指数函数和对数 函数的性质解决某些简单的实际问题。 三、函数的概念型问题、函数的概念型问题 函数概念的复习当然应该从函数的定义 开始函数有二种定义，一是变量观点下的 定义，一是映射观点下的定义复习中不能 仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是 否构成函数关系，两个函数关系是否相同等 问题中得到深化，更应在有关反函数问题中 正确运用具体要求是： 1深化对函数概念的理解，明确函数三 要素的作用，并能以此为指导正确理解函数 与其反函数的关系 2系统归纳求函数定义域、值域、解析 式

3、、反函数的基本方法在熟练有关技能的 同时，注意对换元、待定系数法等数学思想 方法的运用 3通过对分段定义函数，复合函数，抽 象函数等的认识，进一步体会函数关系的本 质，进一步树立运动变化，相互联系、制约 的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基 础 本部分内容的重点是不仅从认识上，而且 从处理函数问题的指导上达到从三要素总 体上把握函数概念的要求，对确定函数三要 素的常用方法有个系统的认识，对于给出解 析式的函数，会求其反函数 本部分的难点首先在于克服“函数就是解 析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对 应法则，而且其定义域都包含着对函数关系 的制约作用，并真正以此作为处理问题的指 导其次在于确

4、定函数三要素、求反函数等 课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等 式等知识，还要用到换元思想、方程思想等 与函数有关概念的结合 函数的概念是复习函数全部内容和建立 函数思想的基础，不能仅满足会背诵定义， 会做一些有关题目，要从联系、应用的角度 求得理解上的深度，还要对确定函数三要素 的类型、方法作好系统梳理，这样才能进一 步为综合运用打好基础复习的重点是求得 对这些问题的系统认识，而不是急于做过难 的综合题 深化对函数概念的认识深化对函数概念的认识 例例 1 1下列函数中，不存在反函数的是 （） 分析：分析：处理本题有多种思路分别求所给 各函数的反函数，看是否存在是不好的，因 为过程太繁琐 从

5、概念看， 这里应判断对于给出函数值域 内的任意值，依据相应的对应法则，是否在 其定义域内都只有惟一确定的值与之对应， 因此可作出给定函数的图象，用数形结合法 作判断，这是常用方法，请读者自己一试 此题作为选择题还可采用估算的方法对 于 D，y=3 是其值域内一个值，但若 y=3， 则可能 x=2(21)，也可能 x=-1(-1-1)依 据概念，则易得出 D 中函数不存在反函 数于是决定本题选 D 说明：说明：不论采取什么思路，理解和运用函 数与其反函数的关系是这里解决问题的关 键 由于函数三要素在函数概念中的重要地 位，那么掌握确定函数三要素的基本方法当 然成了函数概念复习中的重要课题 系统小

6、结确定函数三要素的基本类型系统小结确定函数三要素的基本类型 与常用方法与常用方法 1求函数定义域的基本类型和常用方法 由给定函数解析式求其定义域这类问题 的代表，实际上是求使给定式有意义的 x 的 取值范围它依赖于对各种式的认识与解不 等式技能的熟练这里的最高层次要求是给 出的解析式还含有其他字 例例 2 2已知函数 fx定义域为(0，2)，求下 列函数的定义域： 分析：分析：x 的函数 f(x )是由 u=x 与 f(u)这 两个函数复合而成的复合函数，其中 x 是自 变量，u 是中间变量由于 f(x)，f(u)是同 一个函数， 故(1)为已知 0u2， 即 0 x 2求 x 的取值范围 解

7、：解：(1)由 0 x 2，得 22 2 2 说明：说明：本例(1)是求函数定义域的第二种 类型，即不给出 f(x)的解析式，由 f(x)的 定义域求函数 fg(x)的定义域关键在于 理解复合函数的意义，用好换元法 (2)是 二种类型的综合 求函数定义域的第三种类型是一些数学 问题或实际问题中产生的函数关系，求其定 义域，后面还会涉及到 2求函数值域的基本类型和常用方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共 同决定的其类型依解析式的特点分可分三 类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数 复合而成的函数的值域； (3)求由常见函数 作某些“运算”而得函数的值域 3求函数解析式举例 例例 3 3

8、已知 xy0，并且 4x -9y =36由 此能否确定一个函数关系 y=f(x)？如果能， 求出其解析式、定义域和值域；如果不能， 请说明理由 分析分析： 4x -9y =36 在解析几何中表示双 曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关 系 y=f(x)，但加上条件 xy0 呢？ 22 22 所以 因此能确定一个函数关系 y=f(x)其定义 域为(-，-3)(3，+)且不难得到其值 域为(-，0)(0，) 说明：说明： 本例从某种程度上揭示了函数与解 析几何中方程的内在联系任何一个函数的 解析式都可看作一个方程，在一定条件下， 方程也可转化为表示函数的解析式求函数 解析式还有两类问题： (1)

9、求常见函数的解析式由于常见函数 (一次函数，二次函数，幂函数，指数函数， 对数函数，三角函数及反三角函数 )的解析 式的结构形式是确定的，故可用待定系数法 确定其解析式这里不再举例 (2)从生产、生活中产生的函数关系的确 定这要把有关学科知识，生活经验与函数 概念结合起来，举例也宜放在函数复习的以 后部分 四、函数与方程的思想方法四、函数与方程的思想方法 函数思想，是指用函数的概念和性质去分 析问题、转化问题和解决问题。方程思想， 是从问题的数量关系入手，运用数学语言将 问题中的条件转化为数学模型（方程、不等 式、或方程与不等式的混合组），然后通过 解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。 有

10、时， 还实现函数与方程的互相转化、 接轨， 达到解决问题的目的。 方程思想是：实际问题数学问题代数 问题方程问题。函数和多元方程没有什么 本质的区别，如函数 yf(x)，就可以看作 关于 x、y 的二元方程 f(x)y0。可以说， 函数的研究离不开方程。列方程、解方程和 研究方程的特性，都是应用方程思想时需要 重点考虑的。 函数描述了自然界中数量之间的关系，函 数思想通过提出问题的数学特征，建立函数 关系型的数学模型， 从而进行研究。 一般地， 函数思想是构造函数从而利用函数的性质 解题，经常利用的性质是： f(x)、f (x)的 单调性、 奇偶性、 周期性、 最大值和最小值、 图像变换等，要

11、求我们熟练掌握的是一次函 数、二次函数、指数函数、对数函数、三角 函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目 中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函 数的性质，是应用函数思想的关键。对所给 的问题观察、分析、判断比较深入、充分、 全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出 函数原型。另外，方程问题、不等式问题和 某些代数问题也可以转化为与其相关的函 数问题，即用函数思想解答非函数问题。 ( (一一) )函数的性质函数的性质 1 函数的性质是研究初等函数的基石，也是 高考考查的重点内容在复习中要肯于在对 定义的深入理解上下功夫 复习函数的性质， 可以从“数”和“形” 两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性

12、的 定义入手，在判断和证明函数的性质的问题 中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函 数的最值及应用问题的过程中得以深化具 体要求是： 1 正确理解函数单调性和奇偶性的定义， 能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一 区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的 单调性和奇偶性 2从数形结合的角度认识函数的单调性 和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解 和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的 常用方法 3 培养学生用运动变化的观点分析问题， 提高学生用换元、转化、数形结合等数学思 想方法解决问题的能力 这部分内容的重点是对函数单调性和奇 偶性定义的深入理解 函数的单调性只能在函数的定义域内来 讨论函数

13、y=f(x)在给定区间上的单调性， 反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是 函数在区间上的整体性质，但不一定是函数 在定义域上的整体性质函数的单调性是对 某个区间而言的，所以要受到区间的限制 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)这两个等式上， 要明确对定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数 的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶 性的必要条件稍加推广，可得函数f(x) 的图象关于直线 x=a对称的充要条件是对定 义域内的任意x，都有 f(x+a)=f(a-x)成 立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对

14、称性的反映 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性 的综合运用 根据已知条件， 调动相关知识， 选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的 较高要求 1 1对函数单调性和奇偶性定义的理解对函数单调性和奇偶性定义的理解 例例 4 4下面四个结论：偶函数的图象一 定与 y 轴相交；奇函数的图象一定通过原 点；偶函数的图象关于 y 轴对称；既是 奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x R) ， 其 中 正 确 命 题 的 个 数 是 （） A 1 B 2 C 3 D4 分析：分析：偶函数的图象关于 y 轴对称，但不 一定相交，因此正确，错误 奇函数的图象关于原点对称，但不一定经 过原点，因此不正确 若

15、 y=f(x)既是奇函数， 又是偶函数， 由定 义可得 f(x)=0，但不一定 xR，如例 1 中 的(3)，故错误，选 A 说明：说明： 既奇又偶函数的充要条件是定义域 关于原点对称且函数值恒为零 2 2复合函数的性质复合函数的性质 复合函数 y=fg(x)是由函数 u=g(x)和 y=f(u)构成的，因变量 y 通过中间变量 u 与 自变量 x 建立起函数关系，函数u=g(x)的值 域是 y=f(u)定义域的子集 复合函数的性质由构成它的函数性质所 决定，具备如下规律： (1)单调性规律 如果函数 u=g(x)在区间m，n上是单调 函数， 且函数y=f(u)在区间g(m)， g(n) (或

16、 g(n)，g(m)上也是单调函数，那么 若 u=g(x)， y=f(u)增减性相同， 则复合函 数 y=fg(x)为增函数；若 u=g(x)，y= f(u) 增减性不同，则 y=fg(x)为减函数 (2)奇偶性规律 若函数 g(x)，f(x)，fg(x)的定义域都 是关于原点对称的，则 u=g(x)，y=f(u)都是 奇函数时，y=fg(x)是奇函数；u=g(x)， y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= fg(x)是偶函数 例例 5 5若 y=log (2-ax)在0，1上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是（） A(0，1) B(1，2) C(0， 2) D2，+) 分析：分析：

17、本题存在多种解法，但不管哪种方 法，都必须保证：使 log (2-ax)有意义， 即 a0 且 a1， 2-ax0 使 log (2-ax) 在0，1上是 x 的减函数由于所给函数可 分解为 y=log u，u=2-ax，其中 u=2-ax 在 a 0 时为减函数，所以必须 a1；0，1 必须是 y=log (2-ax)定义域的子集 解法一：解法一：因为 f(x)在0，1上是 x 的减 函数，所以 f(0)f(1)， 即 log 2log (2-a) a a a a a aa 解法二：解法二： 由对数概念显然有 a0 且 a1， 因此 u=2-ax 在 0， 1 上是减函数， y= log u

18、 应为增函数，得 a1，排除 A，C，再令 a 故排除 D，选 B 说明：说明：本题为 1995 年全国高考试题，综 合了多个知识点，无论是用直接法，还是用 排除法都需要概念清楚，推理正确 3 3函数单调性与奇偶性的综合运用函数单调性与奇偶性的综合运用 例例 6 6甲、乙两地相距 Skm，汽车从甲地 匀速行驶到乙地，速度不得超过 c kmh， 已知汽车每小时的运输成本 (以元为单位 ) 由可变部分和固定部分组成：可变部分与速 度 v(kmh)的平方成正比，比例系数为 b； 固定部分为 a 元 (1)把全程运输成本y(元)表示为速度 v(kmh)的函数，并指出这个函数的定义 域； (2)为了使全

19、程运输成本最小，汽车应以 多大速度行驶 分析：分析：(1)难度不大，抓住关系式：全程 运输成本=单位时间运输成本全程运输时 间，而全程运输时间=(全程距离)(平均速 度)就可以解决 故所求函数及其定义域为 但由于题设条件限制汽车行驶速度不超 过 ckmh，所以(2)的解决需要 论函数的增减性来解决 由于 v v 0，v -v 0，并且 1221 又S 0 ， 所 以即 则当 v=c 时，y 取最小值 说明：说明：此题是 1997 年全国高考试题由 于限制汽车行驶速度不得超过 c，因而求最 值的方法也就不完全是常用的方法，再加上 字母的抽象性，使难度有所增大 （二）函数的图象（二）函数的图象 1

20、掌握描绘函数图象的两种基本方法 描点法和图象变换法 2会利用函数图象，进一步研究函数的 性质，解决方程、不等式中的问题 3用数形结合的思想、分类讨论的思想 和转化变换的思想分析解决数学问题 4掌握知识之间的联系，进一步培养观 察、分析、归纳、概括和综合分析能力 以解析式表示的函数作图象的方法有两 种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两 种方法是本节的重点 运用描点法作图象应避免描点前的盲目 性，也应避免盲目地连点成线要把表列在 关键处，要把线连在恰当处这就要求对所 要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势 等作一个大概的研究而这个研究要借助于 函数性质、方程、不等式等理论和手段，是 一个难点用图

21、象变换法作函数图象要确定 以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及 确定怎样的变换这也是个难点 1 1作函数图象的一个基本方法作函数图象的一个基本方法 例例 7 7作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x 1)；(2)y=10|lgx| 分析：分析： 显然直接用已知函数的解析式列表 描点有些困难，除去对其函数性质分析外， 我们还应想到对已知解析式进行等价变形 解：解：(1)当 x2 时，即 x-20 时， 当 x2 时，即 x-20 时， 这是分段函数， 每段函数图象可根据二次 函数图象作出(见图 6) (2) 当x 1时 ， lgx 0 ， y=10|lgx|=10lgx=x； 当 0 x1

22、 时，lgx0， 所以 这是分段函数， 每段函数可根据正比例函 数或反比例函数作出(见图 7) 说明：说明：作不熟悉的函数图象，可以变形成 基本函数再作图，但要注意变形过程是否等 价，要特别注意 x，y 的变化范围因此必 须熟记基本函数的图象例如：一次函数、 反比例函数、二次函数、指数函数、对数函 数，及三角函数、反三角函数的图象 在变换函数解析式中运用了转化变换和 分类讨论的思想 2 2作函数图象的另一个基本方法图象作函数图象的另一个基本方法图象 变换法变换法 一个函数图象经过适当的变换 (如平移、 伸缩、对称、旋转等 )，得到另一个与之相 关的图象，这就是函数的图象变换 在高中，主要学习了

23、三种图象变换：平移 变换、伸缩变换、对称变换 (1)平移变换 函数 y=f(x+a)(a0)的图象可以通过把 函数 y=f(x)的图象向左(a0)或向右(a0) 平移|a|个单位而得到； 函数 y=f(x)+b(b0)的图象可以通过把 函数 y=f(x)的图象向上(b0)或向下(b0) 平移|b|个单位而得到 (2)伸缩变换 函数 y=Af(x)(A0，A1)的图象可以通 过把函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸 长(A1)或缩短(0A1)成原来的 A 倍， 横坐标不变而得到 函数 y=f(x)(0， 1)的图象可以 通过把函数 y=f(x)的图象上 而得到 (3)对称变换 函数 y=-f

24、(x)的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象关于 x 轴对称的图形而得到 函数 y=f(-x)的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称的图形而得到 函数 y=-f(-x)的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象关于原点对称的图形而得到 函数 y=f-1(x)的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象关于直线y=x 对称的图形而得 到。 函数 y=f(|x|)的图象可以通过作函数 y=f(x)在 y 轴右方的图象及其与 y 轴对称的 图形而得到 函数 y=|f(x)|的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象，然后把在 x 轴下方的图象以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方，其余部分

25、保 持不变而得到 例例 8 8已知 f(x+199)=4x 4x+3(xR)， 那么函数 f(x)的最小值为_ 分析：分析：由 f(x199)的解析式求 f(x)的解 析式运算量较大， 但这里我们注意到， y=f(x 100)与 y=f(x)，其图象仅是左右平移关 系，它们取得 2 求得f(x)的最小值即f(x199)的最小值是 2 说明：说明： 函数图象与函数性质本身在学习中 也是密切联系的，是“互相利用”关系，函 数图象在判断函数奇偶性、单调性、周期性 及求最值等方面都有重要用途 五、函数综合应用五、函数综合应用 函数的综合复习是在系统复习函数有关 知识的基础上进行函数的综合应用: 1在应

26、用中深化基础知识在复习中基 础知识经历一个由分散到系统，由单一到综 合的发展过程这个过程不是一次完成的， 而是螺旋式上升的因此要在应用深化基础 知识的同时，使基础知识向深度和广度发 展 2以数学知识为载体突出数学思想方 法数学思想方法是观念性的东西，是解决 数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数 学知识函数内容最重要的数学思想是函数 思想和数形结合的思想此外还应注意在解 题中运用的分类讨论、换元等思想方法解 较综合的数学问题要进行一系列等价转化 或非等价转化因此本课题也十分重视转化 的数学思想 3重视综合运用知识分析问题解决问题 的能力和推理论证能力的培养函数是数学 复习的开始，还不可能在大范

27、围内综合运用 知识但从复习开始就让学生树立综合运用 知识解决问题的意识是十分重要的推理论 证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题 中加强对这方面的考查，尤其是对代数推理 论证能力的考查是十分必要的本课题在例 题安排上作了这方面的考虑 具体要求是： 1在全面复习函数有关知识的基础上， 进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握 各类函数的特征，提高运用基础知识解决问 题的能力 2掌握初等数学研究函数的方法，提高 研究函数的能力，重视数形结合数学思想方 法的运用和推理论证能力的培养 3初步沟通函数与方程、不等式及解析 几何有关知识的横向联系，提高综合运用知 识解决问题的能力 4树立函数思想，使学生善于

28、用运动变 化的观点分析问题 本部分内容的重点是：通过对问题的讲解 与分析，使学生能较好的调动函数的基础知 识解决问题，并在解决问题中深化对基础知 识的理解，深化对函数思想、数形结合思想 的理解与运用 难点是：函数思想的理解与运用，推理论 证能力、综合运用知识解决问题能力的培养 与提高 函数的综合运用主要是指运用函数的知 识、思想和方法综合解决问题函数描述了 自然界中量的依存关系，是对问题本身的数 量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系 和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特 征，建立函数关系因此，运动变化、相互 联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握有 关函数知识是运用函数思想的前提，提高用 初

29、等数学思想方法研究函数的能力，树立运 用函数思想解决有关数学问题的意识是运 用函数思想的关键 1 1准确理解、熟练运用，不断深化有关函准确理解、熟练运用，不断深化有关函 数的基础知识数的基础知识 在中学阶段函数只限于定义在实数集合 上的一元单值函数，其内容可分为两部 分第一部分是函数的概念和性质，这部分 的重点是能从变量的观点和集合映射的观 点理解函数及其有关概念，掌握描述函数性 质的单调性、奇偶性、周期性等概念；第二 部分是七类常见函数(一次函数、二次函数、 指数函数、对数函数、三角函数和反三角函 数)的图象和性质第一部分是理论基础， 第二部分是第一部分的运用与发展 例例 9 9已知函数 f

30、(x)，xF，那么集合(x， y)|y=f(x)，xF(x，y)|x=1中所含元素 的个数是 （） A0B1C0 或 1 D1 或 2 分析：分析：这里首先要识别集合语言，并能正 确把集合语言转化成熟悉的语言从函数观 点看，问题是求函数 y=f(x)， xF的图象与直线x=1的交点 个数(这是一次数到形的转 化)，不少学生常误认为交点 是 1 个，并说这是根据函数定 义中“惟一确定”的规定得到 的，这是不正确的，因为函数是由定义域、 值域、对应法则三要素组成的这里给出了 函数 y=f(x)的定义域是 F，但未明确给出 1 与 F 的关系， 当 1F 时有 1 个交点， 当 1F 时没有交点，所

31、以选 C 2 2掌握研究函数的方法，提高研究函数问掌握研究函数的方法，提高研究函数问 题的能力题的能力 高中数学对函数的研究理论性加强了，对 一些典型问题的研究十分重视，如求函数的 定义域，确定函数的解析式，判断函数的奇 偶性，判断或证明函数在指定区间的单调性 等，并形成了研究这些问题的初等方法，这 些方法对分析问题能力，推理论证能力和综 合运用数学知识能力的培养和发展是十分 重要的 函数、方程、不等式是相互联系的对于 函数f(x)与g(x)， 令f(x)=g(x)， f(x)g(x) 或 f(x)g(x)则分别构成方程和不等式， 因 此对于某些方程、不等式的问题用函数观点 认识是十分有益的；

32、方程、不等式从另一个 侧面为研究函数提供了工具 例例 1010方程 lgx+x=3 的解所在区间为 （） A(0，1)B(1，2) C(2，3)D(3，+) 分析：分析：在同一平面直角坐标系中，画出函 数 y=lgx 与 y=-x+3 的图象(如图 2) 它们的 交点横坐标 x ，显然在区间(1，3)内，由此 可排除 A，D至于选 B 还是选 C，由于画图 精确性的限制，单凭直观就比较困难了实 际上这是要比较 x 与 2 的大小当 x=2 时， lgx=lg2，3-x=1由于 lg21，因此 x 2， 从而判定 x (2，3)，故本题应选 C 说明：说明： 本题是通过构造函数用数形结合法 求方

33、程 lgx+x=3 解所在的区间数形结合， 要在结合方面下功夫不仅要通过图象直观 估计，而且还要计算 x 的邻近两个函数值， 通过比较其大小进行判断 0 0 0 0 0 例例 1111(1)一次函数 f(x)=kx+h(k0)， 若 mn 有 f(m)0，f(n)0，则对于任意 x(m，n)都有 f(x)0，试证明之； (2)试用上面结论证明下面的命题： 若 a，b，cR 且|a|1，|b|1，|c| 1，则 ab+bc+ca-1 分析：分析：问题(1)实质上是要证明，一次函 数 f(x)=kx+h(k0)， x(m， n)若区间 两个端点的函数值均为正，则对于任意 x (m，n)都有 f(x

34、)0之所以具有上述性质 是由于一次函数是单调的因此本问题的证 明要从函数单调性入手 (1)证明： 当 k0 时， 函数 f(x)=kx+h 在 xR 上是 增函数，mxn，f(x)f(m)0； 当 k0 时， 函数 f(x)=kx+h 在 xR 上是 减函数，mxn，f(x)f(n)0 所以对于任意 x(m，n)都有 f(x)0 成 立 (2)将 ab+bc+ca+1 写成(b+c)a+bc+1，构 造函数 f(x)=(b+c)x+bc+1则 f(a)=(b+c)a+bc+1 当 b+c=0 时，即 b=-c， f(a)=bc+1=-c2+1 因为|c|1，所以 f(a)=-c2+10 当 b

35、+c0 时，f(x)=(b+c)x+bc+1 为 x 的 一次函数 因为|b|1，|c|1， f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)0， f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)0 由问题(1)对于|a|1的一切值f(a)0， 即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+10 说明：说明：问题(2)的关键在于“转化” “构 造” 把证明 ab+bc+ca-1 转化为证明 ab+bc+ca+10， 由于式子 ab+bc+ca+1 中， a，b，c 是对称的，构造函数 f(x)=(b+c)x+bc+1，则 f(a)=(b+c)a+bc+1， 问题转化为在|a|1，|b|1，|

36、c|1 的条 件下证明 f(a)0(也可构造 f(x)=(a+c)x+ac+1，证明 f(b)0)。 例例 1212定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log 3 且对任意 x，yR 都有 f(x+y)=f(x)+f(y) (1)求证 f(x)为奇函数； 2 (2)若 f(k3 )+f(3 -9 -2)0 对任意 x R 恒成立，求实数 k 的取值范围 分析：分析： 欲证 f(x)为奇函数即要证对任意 x 都 有f(-x)=-f(x) 成 立 在 式 子 f(x+y)=f(x)+f(y) 中 ， 令y=-x可 得 f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求 f(0)的值

37、令 x=y=0 可得 f(0)=f(0)+f(0) 即 f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明 (1)证证明明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x ，yR R)， 令 x=y=0， 代入式， 得 f(0+0)=f(0)+f(0)， 即 f(0)=0 令 y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)， 又 f(0)=0，则有 0=f(x)+f(-x) 即f(-x)=-f(x)对任意xR R成立， 所以 f(x)是奇函数 (2)解解：f(3)=log 30，即 f(3)f(0)， 又 f(x)在 R R 上是单调函数，所以 f(x)在 R R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数

38、f(k3 )-f(3 -9 -2)=f(-3 +9 +2)，k3 -3 +9 +2， 3 -(1+k)3 +20 对任意 xR R 成立 令 t=3 0，问题等价于 t -(1+k)t+20 xxx 2 xxxxxx xx 2xx x2 对任意 t0 恒成立 R R 恒成 立 说明：说明：问题(2)的上述解法是根据函数的 性质f(x)是奇函数且在 xR 上是增函数， 把问题转化成二次函数f(t)=t -(1+k)t+2 对于任意 t0 恒成立对二次函数 f(t)进 行研究求解本题还有更简捷的解法： 分离系数由 k3 -3 +9 +2 得 2 xxx 上述解法是将 k 分离出来， 然后用平均值

39、定理求解，简捷、新颖 六、强化训练六、强化训练 1 1对函数 f (x) 3x ax b 作代换 x=g(t)，则总不 改变 f(x)值域的代换是() A g(t) log t 2 1 2 B g(t) ( 1 ) 2 t Cg(t)=(t1)2D g(t)=cost 2 2方程 f(x,y)=0 的曲线如图所示，那么方程 f(2x,y)=0 的曲线是() 3 已知命题 p： 函数 y log(x 2x a) 的值域为 R， 命题 q：函数 y (5 2a) 是减函数。若 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，则实数 a 的取值范围是 Aa1 Ba2C1a2Da1 或 a2 4.方程 l

40、gxx3 的解所在的区间为 （） A.(0,1)B.(1,2)C. (2,3) D. (3,+) 5.如果函数 f(x)x bxc 对于任意实数 t，都有 f(2t)f(2t)，那么（） A. f(2)f(1)f(4)B. f(1)f(2)f(4) 2 0.5 x 2 C. f(2)f(4)f(1)D. f(4)f(2)m(x 1)对满足|m|2 的一切实数 m 的取值都成立。求 x 的取值范 围。 16. 设等差数列a 的前 n 项的和为 S ，已 知 a 12，S 0，S 0 。 .求公差 d 的取值范围； .指出 S 、S 、S 中哪一个值最大， 并说明理由。(1992 年全国高考) 2

41、 121212 2 2 nn 31213 1212 17. 如图，AB 是圆 O 的直径， P PA 垂直于圆 O 所在平面， C 是圆周上任一点，设 M BAC，PAAB=2r，求A H 异面直线PB和AC的距离。 B 18. 已知ABC 三内角 A、B、C D 的大小成等差数列，且C tanAtanC2 3 ，又知 顶点C的对边c上的高等于4 3 ,求ABC 的三边 a、b、c 及三内角。 19. 设 f(x)lg1 2 3 4 a， 如果当 x(-,1 xx 时 f(x)有意义，求实数 a 的取值范围。 20已知偶函数 f(x)=cossinxsin(x )+(tan2)sinxsin的

42、最小值是 0，求 f(x)的最大值 及此时 x 的集合 21 已知 xR ， 奇函数 f (x) x ax bx c 在 1,) 上单 调 （）求字母 a,b,c 应满足的条件； （）设 x 1, f (x ) 1，且满足f f (x ) x ，求证： f (x ) x 七、参考答案七、参考答案 1不改变 f(x)值域，即不能缩小原函数定义 域。选项 B，C，D 均缩小了 f (x) 的定义域， 32 0000 00 故选 A。 2先作出 f(x,y)=0 关于 y 轴对称的函数的图 象，即为函数 f(-x,y)=0 的图象，又 f(2x,y)=0 即为 f (x2), y) 0 ，即由f(-

43、x,y)=0 向 右平移 2 个单位。故选 C。 3命题 p 为真时，即真数部分能够取到大 于零的所有实数，故二次函数 x 2xa 的判 别式 44a 0 ，从而 a 1；命题 q 为真时， 52a 1 a 2 。 若 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题， 故 p 和 q 中只有一个是真命题，一个是假命 题。 若 p 为真，q 为假时，无解；若 p 为假， q 为真时，结果为 1a0） ，则 1 ，解 1 x5x 2 2 22 出 x2，再用万能公式，选 A； 8 利用S n 是关于 n 的一次函数， 设 S S n pq mm， p q x，则（m,p） 、( ,q)、 pq S p

44、q (x，p+q)在同一直线上，由两点斜率相 等解得 x0，则答案：0； 9设 cosxt，t-1,1，则 at t1 55,1，所以答案： ,1； 44 2 10 设高 h， 由体积解出 h2 3 ， 答案： 24 6 ； 11设长x，则宽4，造价y41204x x 80 801760，答案：1760。16 x 1) f (1)=2，且 12运用条件知：f ( f n (n) f2(1) f (2)f2(2) f (4)f2(3) f (6)f2(4) f (8) f (1)f (3)f (5)f (7) (2)2 f (4)2 f (6)2 f (8) = 2 f f (1) =16 f

45、(3)f (5)f (7) 13依题意可知 所以有 b24ac 0 b x1 x2 0 a cx x 0 12 a ，从而可知 x ,x (1,0) ， 12 b24ac 0 b 2 4ac f (1) abc 0 b ac c a c x 1x2 1 a ，又 a,b,c 为正整数，取 c 1， 则 ，所以 a b 4ac 4a a 4 ，从而 a 5 ，所 以 b 4ac 20，又b 51 6，所以b 5 ，因此 abc 有 最小值为11。 下面可证 c 2 时， a 3 ，从而 b 4ac 24 ，所 以 b 5 , 又 ac b 5 ,所以 ac 6 ,所以 abc 11 ,综 a1

46、b a b 2 22 2 上可得: abc 的最小值为 11。 14 分析: :这是有关函数定义域、 值域的问题， 题目是逆向给出的，解好本题要运用复合 函数，把 f(x)分解为 u=ax +2x+1 和 y=lgu 并结合其图象性质求解 切实数 x 恒成立a=0 或 a0 不合题意， 2 解得 a1 当 a0 时不合题意；a=0 时， u=2x+1， u 能取遍一切正实数； a0 时，其判别式=22-4a10，解 得 0a1 所以当 0a1 时 f(x)的值域是 R R 15分析：此问题由于常见的思维定势，易 把它看成关于 x 的不等式讨论。然而，若变 换一个角度以 m 为变量，即关于 m

47、的一次不 等式(x 1)m(2x1)0 在-2,2上恒成 立的问题。对此的研究，设f(m)(x 1)m (2x1)，则问题转化为求一次函数（或 常数函数）f(m)的值在-2,2内恒为负值时 f (2) 0 参数 x 应该满足的条件 f (2) 0 。 2 2 解：问题可变成关于 m 的一次不等式：(x 1)m(2x1)m(x 1)的解集是 -2,2时求 m 的值、关于 x 的不等式 2x 1m(x 1)在-2,2上恒成立时求 m 的范 围。 一般地，在一个含有多个变量的数学问题 中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数 关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函 数中，将函数自变量作为参数，而参数作

48、为 函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关 问题。 16分析： 问利用公式 a 与 S 建立不等 式，容易求解 d 的范围；问利用S 是 n 的 二次函数，将S 中哪一个值最大，变成求二 2 2 nn n n 次函数中n为何值时S 取最大值的函数最值 问题。 解： 由 a a 2d12,得到 a 12 2d，所以 S 12a 66d12(122d)66d144 42d0， S 13a 78d13(122d)78d156 52d0。 解得：24d3。 7 n 311 121 131 S na 1n(n11)dn(122d) 2 n1 1 2 n(n1)d 124124ddn (5) (5) 2d

49、d222 22 24因为 d0，故n1(5) 最小时，S 最 2d 2 n 大。由d3 得 6 (5)0、a 0 ， 即： 由 da a ， 由 S 13a 0 得 a 0 得 a 0。所以， 在 S 、S 、S 中，S 的值最大。 17分析：异面直线PB 和 AC 的距离可看成 求直线 PB 上任意一点到 AC 的距离的最小 值，从而设定变量，建立目标函数而求函数 最小值。 解：在 PB 上任取一点 M，作 P MDAC 于 D，MHAB 于 H， 设 MHx，则 MH平面 ABC， M ACHD 。 A H MD x (2r x)sinB (sin 1)x 4rsin D x4r sin

50、(sin 1)xC 4r sin rsin 1 2 1 sin sin nn1 1213137 712676 12126 22 2222 222 222 2 22 即当 x2rsin2 1 sin2 时， MD 取最小值2rsin 1sin 2 为两 异面直线的距离。 说明：本题巧在将立体几何中“异面直线 的距离”变成“求异面直线上两点之间距离 的最小值” ，并设立合适的变量将问题变成 代数中的“函数问题” 。一般地，对于求最 大值、最小值的实际问题，先将文字说明转 化成数学语言后，再建立数学模型和函数关 系式，然后利用函数性质、重要不等式和有 关知识进行解答。比如再现性题组第 8 题就 是典型的例子。 18