高中数学难解题组卷

1、高中数学难解题组卷高中数学难解题组卷 2 2 高中数学难解题组卷高中数学难解题组卷 2 2 一选择题（共一选择题（共 1212 小题）小题） 1 已知向量 A0， 2 已知 A至少有一根 C有两个不等的根 是关于 x 的一元二次方程， 其中 ， ， 是非零向量， 且向量 和 不共线， 则该方程 （） B至多有一根 D有无数个互不相同的根 = （2， 0） ， 向量= （2， 2） ， 向量 ， = （cos， C sin） ， 则向量 ， 与向量 D 的夹角范围为 （） ， B 3若 =（2，3） ， =（4，7） ，则 在 方向上的投影为（） A 4已知两点 A（1，0） ，B（1， （R）

2、 ，则 等于（） A1B1 5 （2007辽宁）若向量 与 不共线， A0 6在 ABC 所在平面上有三点P、Q、R，满足 面积与 ABC 的面积之比为（） A1：2B1：3 7 （2012湖南）在 ABC 中，AB=2，AC=3， AB 8设向量， 满足， +=，+=，+=，则 PQR 的 B 0，且 C ） ，O 为坐标原点，点 C 在第二象限，且 AOC=120，设， BCD C2D2 ，则向量 与 的夹角为（） D C1：4 =1，则 BC=（） C2 ， D1：5 D =60，则 的最大值等于（） D1A2BC 9若向量 a=（cos，sin） ，b=（cos，sin） ，则 a 与

3、 b 一定满足（） Aa 与 b 的夹角等于B（a+b）（ab） a bCDab 10已知 ， 是任意两个向量，下列条件： = ；| |=| |； 与 的方向相反； = 或 = ； 与 都 是单位向量，其中为向量 与 共线的充分不必要条件的个数是（） A1B2C3D4 11已知圆 x2+y2=4，过 A（4，0）作圆的割线 ABC，则弦 BC 中点的轨迹方程是（） 2222 A（x2）2+y2=4BC D（x2）+y =4 （0 x1）（x1）2+y2=4（x1）+y =4 （0 x1） 12四面体SABC 中，各个侧面都是边长为a 的正三角形，E，F 分别是 SC 和 AB 的中点，则异面直

4、线EF 与 SA 所成的角等于（） A900 B600 CD300450 二填空题（共二填空题（共 1111小题）小题） 13已知 A（3，7） ，B（5，2） ，向量 14在 ABO 中， _ 15设点 A（2，0） ，B（4，2） ，点 P 在直线 AB 上，且| 16如图，设 P，Q 为 ABC 内的两点，且 比为 _ ，=+，则 ABP 的面积与 ABQ 的面积之 |=2|，则点 P 的坐标为_ ，若，则 S ABC= 按 =（1，2）平移后所得向量是_ 17 半圆的直径 AB=4， O 为圆心， C 是半圆上不同于 A、 B 的任意一点， 若 P 为半径 OC 的中点， 则 的值是_

5、 18已知 19O 为平面上的定点，A、B、C 是平面上不共线的三点，若（）（+2）=0，则 DABC 是 均为单位向量，它们的夹角为60，=_ _三角形 20 已知向量集合 M=a|a= （1， 2） + （3， 4） ， R， N=b|b= （2， 2） + （4， 5） ， R， 则 MN=_ 21O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 则 P 的轨迹一定通过 ABC 的_心 ，0，+） ， 22 （2012湛江）若向量 =（x，2x）与 =（3x，2）的夹角是钝角，则 x 的范围是_ 23如图，在正三角形ABC 中，D，E，F 分别为各边的中点，G，H 分

6、别为 DE，AF 的中点，将 ABC 沿 DE， EF，DF 折成正四面体 PDEF，则四面体中异面直线PG 与 DH 所成的角的余弦值为_ 三解答题（共三解答题（共 7 7 小题）小题） 24复数 z 满足条件|z|=1，求|2z2z+1|的最大值和最小值 25已知点 P 是圆 x2+y2=4 上一动点，定点 Q（4，0） （1）求线段 PQ 中点的轨迹方程； （2）设 POQ 的平分线交 PQ 于 R，求 R 点的轨迹方程 26过点 P（2，4）作两条互相垂直的直线l1、l2，若 l1交 x 轴于 A 点，l2交 y 轴于 B 点，求线段 AB 的中点 M 的 轨迹方程 27如图，在四棱锥

7、 SABCD 中，SD底面 ABCD，底面 ABCD 是平行四边形， BAD=30，AB=2， E 是 SC 的中点 （I）求证：SA 平面 BDE； （II）求证：ADSB； （III）若 SD=2，求棱锥 CBDE 的体积 ， 28如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=5，D，E 分别为 BC，BB1的中点，四边形 B1BCC1是边长为 6 的正方形 （）求证：A1B 平面 AC1D； （）求证：CE平面 AC1D； （）求二面角 CAC1D 的余弦值 29如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=5，D，E 分别为 BC，BB1的中点，四边形 B1BCC1是边长为 6

8、 的正方形 （）求证：A1B 平面 AC1D； （）求证：平面 A1CE平面 AC1D 30如图，已知四棱锥PABCD，底面 ABCD 为菱形，PA平面 ABCD， ABC=60 ，点 E、G 分别是 CD、PC 的中点，点 F 在 PD 上，且 PF：FD=2：1 （）证明：EAPB； （）证明：BG 面 AFC 高中数学难解题组卷高中数学难解题组卷 2 2 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 1212 小题）小题） 1 已知向量= （2， 0） ， 向量= （2， 2） ， 向量= （cos，sin） ， 则向量与向量的夹角范围为 （） A0， B ， C ，

9、D ， 考点： 数量积表示两个向量的夹角 专题： 计算题；数形结合 分析： 利用 CA 是常数，判断出 A 的轨迹为圆，作出A 的轨迹；数形结合求出两个向量的夹角范围 解答： 解：|=，A 点在以 C 为圆心，为半径的圆上， 当 OA 与圆相切时对应的位置是OA 与 OB 所成的角最大和最小的位置 OC 与 x 轴所成的角为；与切线所成的为 所以两个向量所成的最小值为；最大值为 故选 D 点评： 本题考查圆的定义、数形结合求两个向量的夹角范围 2 已知是关于 x 的一元二次方程， 其中 ， ， 是非零向量， 且向量 和 不共线， 则该方程 （ A至少有一根B至多有一根 C有两个不等的根D有无数

10、个互不相同的根 考点： 平面向量的坐标运算 分析： 先将向量 移到另一侧得到关于向量 = x2 x，再由平面向量的基本定理判断即可 解答： 解： = x2 x 因为 可以由不共线的向量唯一表示 所以可以由 A 和 B 唯一表示 ） 若恰好形式相同，则有一个解，否则无解 所以至多一个解 故选 B 点评： 本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任意向量都可由两不共线的非零向量唯一表示出来 3若 =（2，3） ， =（4，7） ，则 在 方向上的投影为（） ABCD 考点： 向量的投影 专题： 常规题型；计算题 分析： 先求得两向量的数量积，再求得向量 的模，代入公式求解 解答： 解析： 在 方向

11、上的投影为= 故选 C 点评： 本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用 4已知两点 A（1，0） ，B（1，） ，O 为坐标原点，点 C 在第二象限，且 AOC=120，设， （ R） ，则 等于（） A1B1C2D2 考点： 平面向量的坐标运算 专题： 计算题 分析： 先设点 C 的坐标， 根据题意和向量的坐标运算， 分别用 表示 x 和 y， 再由向量的数量积的坐标表示出 AOC 的余弦值，再求出 的值 解答： 解：设点 C 的坐标是（x，y） ，则由得， （x，y）=2（1，0）+（1， x=2+，y=， 又 AOC=120， cos120= ）=（2+，） ，

12、 ，即 =， 解得，=1 故选 B 点评： 本题考查向量的数量积和向量的坐标运算的应用，即通过条件列出关系式，利用向量相等的坐标等价条件 进行求值 5 （2007辽宁）若向量 与 不共线， A0B 0，且 C ，则向量 与 的夹角为（） D 考点： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 分析： 求两个向量的夹角有它本身的公式， 条件中 表现形式有点繁琐， 我们可以试着先求一下要求夹角的向量的 数量积，求数量积的过程有点出乎意料，一下就求出结果，数量积为零，两向量垂直，不用再做就得到结 果，有些题目同学们看着不敢动手做，实际上，我们试一下，它表现得很有规律 解答： 解： = =0 向量 a 与 c

13、 垂直， 故选 D 点评： 用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，本 题使用两个不共线的向量来表示第三个向量，这样解题时运算有点麻烦，但是我们应该会的 6在 ABC 所在平面上有三点P、Q、R，满足+=，+=，+=，则 PQR 的 面积与 ABC 的面积之比为（） A1：2B1：3C1：4 考点： 向量加减混合运算及其几何意义；相似三角形的性质 专题： 计算题 分析： 将已知向量等式变形， 利用向量的运算法则化简得到 D1：5 ， 利用向量共线的充要条件得到P 是 AC 的三 等分点，同理得到 Q、R 分别是 AB，BC 的三等分点；利用三角

14、形的面积公式求出三角形的面积比 解答： 解：由 即 即 + + =2 + = = ， + + ， = ， ，得+=， P 为线段 AC 的一个三等分点， 同理可得 Q、R 的位置， PQR 的面积为 ABC 的面积减去三个小三角形面积， 面积比为 1：3； 故选 B 点评： 本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、相似三角形的面积关系 7 （2012湖南）在 ABC 中，AB=2，AC=3，=1，则 BC=（） ABCD2 考点： 解三角形；向量在几何中的应用 专题： 计算题 分析： 设 B=，由=1，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，表示出cos，再利用余弦定理表示 出 cos，两

15、者相等列出关于 BC 的方程，求出方程的解即可得到BC 的长 解答： 解：根据题意画出相应的图形，如图所示： =1，设 B=，AB=2， ， 2BCcos（）=1，即 cos= 又根据余弦定理得：cos=， =，即 BC2=3， 则 BC= 故选 A 点评： 此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，余弦定理，以及诱导公式的运用，熟 练掌握定理及法则是解本题的关键 8设向量， 满足，=60，则 的最大值等于（） A2BCD1 考点： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 专题： 计算题 分析： 利用向量的数量积求出的夹角；利用向量的运算法则作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正

16、弦定 理求出外接圆的直径，求出 解答： 解： 设 ， 的夹角为 120， ，则；= 最大值 如图所示 则 AOB=120； ACB=60 AOB+ ACO=180 A，O，B，C 四点共圆 由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R= 当 OC 为直径时，模最大，最大为2 故选 A 点评： 本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理 9若向量 a=（cos，sin） ，b=（cos，sin） ，则 a 与 b 一定满足（） Aa 与 b 的夹角等于B（a+b）（ab） a bCDab 考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题： 计算题 分析： 此题中的 与

17、没限制条件，可用排除法排除A，C，D 选项，再根据向量垂直检验B 选项正确即可 解答： 解： 角 ， 为全体实数， 也为全体实数，而两向量的夹角（0，） ，故 A 不对 当 =45，=30时， 与 不平行，也不垂直，故C，D 不对 = ， =11=0， 故选 B 点评： 本题考查了向量的垂直关系并于三角相结合考查向量的摸的运算是一道好题 10已知 ， 是任意两个向量，下列条件： = ；| |=| |； 与 的方向相反； = 或 = ； 与 都 是单位向量，其中为向量 与 共线的充分不必要条件的个数是（） A1B2C3D4 考点： 平行向量与共线向量 专题： 计算题 分析： 若两向量： = ；

18、与 的方向相反； = 或 = ；则两向量互为相反，一定共线，而当两向量共 线时，不一定是： = ； 与 的方向相反； = 或 = ；由此关系判断即可 解答： 解：若“： = ；则“ ”与“ ”共线，但反之不一定成立， 若 与 的方向相反；则“ ”与“ ”一定共线，但反之不一定成立， 若 = 或 = ；则“ ”与“ ”一定共线，但反之不一定成立， 由此知 为向量 与 共线的充分不必要条件； 故选 C 点评： 本题考查平行向量与共线向量，解题的关键是熟练掌握理解共线向量的定义以及相反向量的定义，结合向 量的数乘，进行判断；本题还考查的知识点是充要条件的定义，根据充要条件的定义，先判断pq，再判 断

19、 qp 的真假，再得到结论 11已知圆 x2+y2=4，过 A（4，0）作圆的割线 ABC，则弦 BC 中点的轨迹方程是（） 2222 A（x2）2+y2=4BC D（x2）+y =4 （0 x1）（x1）2+y2=4（x1）+y =4 （0 x1） 考点： 直线和圆的方程的应用；轨迹方程 分析： 结合图形，不难直接得到结果；也可以具体求解，使用交点轨迹法，见解答 解答： 解：设弦 BC 中点（x，y） ，过 A 的直线的斜率为 k， 割线 ABC 的方程：y=k（x4） ； 作圆的割线 ABC，所以中点与圆心连线与割线ABC 垂直，方程为：x+ky=0； 因为交点就是弦的中点，它在这两条直线

20、上，故弦BC 中点的轨迹方程 是：x2+y24x=0 如图 故选 B 点评： 本题考查形式数形结合的数学思想，轨迹方程，直线与圆的方程的应用，易错题，中档题 12四面体SABC 中，各个侧面都是边长为a 的正三角形，E，F 分别是 SC 和 AB 的中点，则异面直线EF 与 SA 所成的角等于（） A900 B600 CD300450 考点： 异面直线及其所成的角 专题： 计算题 分析： 取 AC 中点 G，连接 EG，GF，FC，根据中位线可知 GE SA，根据异面直线所成角的定义可知 GEF 为 异面直线 EF 与 SA 所成的角，在 GEF 中求出此角即可 解答： 解： 取 AC 中点

21、G，连接 EG，GF，FC 设棱长为 2，则 CF=，而 CE=1 EF=，GE=1，GF=1 而 GE SA， GEF 为异面直线 EF 与 SA 所成的角 EF=，GE=1，GF=1 GEF 为等腰直角三角形，故 GEF=45 故选 C 点评： 本题主要考查了异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题 二填空题（共二填空题（共 1111小题）小题） 13已知 A（3，7） ，B（5，2） ，向量按 =（1，2）平移后所得向量是（2，5） 考点： 向量加减混合运算及其几何意义 专题： 计算题 分析： 先求出=（2，5） ，向量无论怎么平移，由于它的长度和方向不变，

22、故它的坐标不变 解答： 解：由于=（5，2）（3，7）=（2，5） ，向量 无论怎么平移，由于它的长度和方向不变， 故它的坐标不变，故所得向量还是 故答案为： （2，5） 点评： 本题考查求向量的坐标，向量平移的意义，属于基础题 14 在 ABO 中， 若， 则 S ABC= 考点： 平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数；正弦定理 专题： 计算题 分析： 先利用向量的数量积公式及两个角差的余弦公式求出两个向量的数量积，列出等式，求出向量的夹角值， 再利用三角形面积公式求 AOB 的面积 解答： 解：因为；=2cos5cos+2sin5sin=10cos（）=5 所以：cos（）= AOB

23、=120 S ABC= | 故答案为； |sin AOB= 25 = 点评： 本题考查向量的数量积公式：对应坐标的乘积和、考查两角和与差的余弦公式解答关键是利用向量的数 量积求出 AOB 的大小 15设点 A（2，0） ，B（4，2） ，点 P 在直线 AB 上，且|=2|，则点 P 的坐标为（3，1）或（1，1） 考点： 向量的模 专题： 计算题 分析： 由题意可得点 P 分 解答： 成的比 =1 或 ，分别利用定比分点坐标公式求出点P 的坐标 解： 点 P 在直线 AB 上，| 点 P 分成的比 = |=2|， =1 或 设点 P（x，y） ，当 =1 时，则由定比分点坐标公式可得x=3，

24、y=1，故点 P 的坐标为（3，1） 当 =时，则由定比分点坐标公式可得x=1，y=1，故点P 的坐标 为（1，1） 故答案为 （3，1）或（1，1） 点评： 本题主要考查定比分点分有向线段成的比的定义，定比分点坐标公式的应用，体现了数形结合、分类讨论 的数学思想，属于基础题 16如图，设 P，Q 为 ABC 内的两点，且 比为 ，=+，则 ABP 的面积与 ABQ 的面积之 考点： 平面向量数量积的含义与物理意义 分析： 利用向量的运算法则：平行四边形法则作出P，利用同底的三角形的面积等于高的比求出 同理求出， ， 两个式子比求出 ABP 的面积与 ABQ 的面积之比 解答： 解：设 则 由

25、平行四边形法则知 NP AB 所以 同理 故 故答案为： 点评： 本题考查向量的运算法则：平行四边形法则；三角形的面积公式 17 半圆的直径 AB=4， O 为圆心， C 是半圆上不同于 A、 B 的任意一点， 若 P 为半径 OC 的中点， 则 的值是2 考点： 平面向量数量积的运算；向量加减混合运算及其几何意义 专题： 计算题 分析： 根据题意，由向量的加法可得（+）=2，代入 答案 解答： 解：根据题意，半圆的直径AB=4，则 OA=OB=OC=2，OP=PC=1， 与 （+ 反向且模长都为 1； ）=2=211cos180=2； 中，结合数量积的公式，计算可得 故答案为：2 点评： 本

26、题考查向量的运算，涉及加法与数量积的计算；解题时要结合图形，注意P 为半径 OC 的中点这一条件 18已知均为单位向量，它们的夹角为60，= 考点： 平面向量数量积的运算 分析： 先由=+9 解答： 解： = =+9 6 6 = = 6| | |cos60，将数代入即可得到答案 6| | |cos60=103=7 故答案为： 点评： 本题主要考查向量的点乘运算和向量的求模运算属基础题 19O 为平面上的定点，A、B、C 是平面上不共线的三点，若（）（+2）=0，则 DABC 是 以 BC 为底边的等腰三角形三角形 考点： 平面向量数量积的运算 分析： 首先把 2拆开分别与、组合，再由向量加减运

27、算即可整理，然后根据 BC 的中点 ） ，并结合图形得出结论 解答： 解：由题意知 如图所示，其中 = （点 D 为线段 BC 的中点） ， =0， （点 D 为线段 所以 ADBC，即 AD 是 BC 的中垂线， 所以 AB=AC，即 ABC 为等腰三角形 故答案为“以 BC 为底边的等腰三角形” 点评： 本题主要考查向量加、减法的运算及几何意义，同时考查向量垂直的条件 20已知向量集合M=a|a=（1，2）+（3，4） ，R，N=b|b=（2，2）+（4，5） ，R，则MN=（ 2，2） 考点： 向量在几何中的应用；两条直线的交点坐标 专题： 计算题 分析： 求 MN 即求 M 和 N 中

28、的公共元素构成的集合，故只需令解出 ，在代入集合 A 或集合 B 即可 解答： 解：由（1，2）+1（3，4）=（2，2）+2（4，5） ， 由， 解得， MN=（2，2） 故答案为：（2，2） 点评： 本题考查向量的相等、集合的表示和运算，属基本知识、基本运算的考查 21O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 则 P 的轨迹一定通过 ABC 的重心 考点： 向量的共线定理 分析： 设出 BC 的中点 D，由 ，0，+） ， ，可以转化为，即 =2 解答： ，从而得到，得到答案 解：设 BC 中点为 D，则 AD 为 ABC 中 BC 边上的中线 且 ， A、P、

29、D 三点共线 =2 所以点 P 一定过 ABC 的重心 故答案为：重 点评： 本题主要考查平面向量的基本定理和向量的共线定理属中档题 22 （2012湛江）若向量 =（x，2x）与 =（3x，2）的夹角是钝角，则x 的范围是（， ）（ ，0） （ ，+） 考点： 数量积表示两个向量的夹角 专题： 计算题 分析： 由题意可得 cos0 且和不共线，故有 2x2x（3x） ， 3x2+4x0，由此求得 x 的范围 解答： 解： 向量=（x，2x）与=（3x，2）的夹角是钝角，设两个向量的夹角为，则有 cos0 且和 不共线， 2x2x（3x） ，0，即 x0，x ，且=3x2+4x0 0，即x0，

30、x ，且= 解得 x0，且 x ，或 x ，故 x 的范围是 （， ）（ ，0） （ ，+） ， 故答案为 （， ）（ ，0） （ ，+） 点评： 本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，两个向量共线的性质，易错误地认为 与 夹角是钝角 （应排除两个向量反向共线的情形） ，属于中档题 23如图，在正三角形ABC 中，D，E，F 分别为各边的中点，G，H 分别为 DE，AF 的中点，将 ABC 沿 DE， EF，DF 折成正四面体 PDEF，则四面体中异面直线PG 与 DH 所成的角的余弦值为 考点： 异面直线及其所成的角 分析： 折成的四面体是正四面体，画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异

31、面直线角转化为一个三角形的 内角来计算 解答： 解：如图，连接HE，取 HE 的中点 K，连接 GK，则 GK DH，故 PGK 即为所求的异面直线角或者其补 角 设这个正四面体的棱长为2，在PGK 中， 故 即异面直线 PG 与 DH 所成的角的余弦值是 故答案为： 点评： 本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力在立体几何中找平行 线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多 个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧 三解答题（共三解答题（共 7 7 小题）小题） 24复数 z 满足条件|z|=1，求|2z2z+

32、1|的最大值和最小值 考复数求模 点： 专计算题 题： 分 设 z=cos+isin，利用复数的乘方、模的定义、及三角公式化简|2z2z+1|=，利用二析： 次函数的性质求得最值 解解： |z|=1， z=cos+isin， 答： |2z2z+1|=|2（cos+isin）2（cos+isin）+1|=|（2cos2cos+1）+（2sin2sin）i| = 当 cos= 时，|2z2z+1|有最小值为 = ， 当 cos=1 时，|2z2z+1|有最大值为 4 点本题考查复数的乘方、求复数的模的方法，三角公式及二次函数性质得应用 评： 25已知点 P 是圆 x2+y2=4 上一动点，定点 Q

33、（4，0） （1）求线段 PQ 中点的轨迹方程； （2）设 POQ 的平分线交 PQ 于 R，求 R 点的轨迹方程 考点： 轨迹方程 专题： 计算题；转化思想 分析： （1）设 PQ 中点 M（x，y） ，则 P（2x4，2y） ，代入圆的方程即得线段PQ 中点的轨迹方程 （2）设R（x，y） ，由三角形角平分线性质得出一个比例式，再设P（m，n） ，得出关于m，n 与 x，y 的关 系式，代入 x2+y2=4 中，即得 R 点的轨迹方程 解答： 解： （1）设 PQ 中点 M（x，y） ，则 P（2x4，2y） ，代入圆的方程得（x2）2+y2=1 （2）设 R（x，y） ，由 设 P（m，

34、n） ，则有 m= 代入 x2+y2=4 中，得 （x ）2+y2=（y 0） = ，n= = ， ， 点评： 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、相关点代入法、参数法，本题主要是利用直接法和相 关点代入法，直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方 程相关点代入法根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程 26过点 P（2，4）作两条互相垂直的直线l1、l2，若 l1交 x 轴于 A 点，l2交 y 轴于 B 点，求线段 AB 的中点 M 的 轨迹方程 考点： 轨迹方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 专题： 计算题 分析： 设 M

35、的坐标为（x，y） ，欲求线段AB 的中点 M 的轨迹方程，只须求出坐标x，y 的关系式即可，由题意得 2|PM|=|AB|，利用两点间的距离公式将点的坐标代入后化简即得M 的轨迹方程 解答： 解：设 M 的坐标为（x，y） ， 则 A、B 两点的坐标分别是（2x，0） ， （0，2y） ，连接 PM， l1l2， 2|PM|=|AB| 而|PM|= |AB|= 2 化简，得 x+2y5=0 即为所求的轨迹方程 ， ， 点评： 本题主要考查了轨迹方程、两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系等知识，属于中档题 27如图，在四棱锥 SABCD 中，SD底面 ABCD，底面 ABCD 是平行四边形， BA

36、D=30，AB=2， E 是 SC 的中点 （I）求证：SA 平面 BDE； （II）求证：ADSB； （III）若 SD=2，求棱锥 CBDE 的体积 ， 考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系 专题： 计算题；证明题 分析： （）连接 AC 交 BD 于 F，连接 EF，证明 SA EF，然后证明 SA 平面 BDE （）利用余弦定理推出ADBD证明 ADSD，然后证明 ADSB （III）若 SD=2，求出 E 到底面的距离，求出底面面积，利用等体积求解求棱锥CBDE 的体积 解答： 解： （）连接 AC 交 BD 于 F，连接 EF，由 A

37、BCD 是平行四边形，知 F 为 AC 的中点， 又 E 为 SC 的中点，所以 SA EF， SA平面 BDE，EF平面 BDE， SA 平面 BDE （4 分） （）由 AB=2，AD=， BAD=30，及余弦定理得 取 BD2=AB2+AD22ABADcos BAD=1， AD2+BD2=AB2， ADBD SD平面 ABCD，AD平面 ABCD， ADSD， AD平面 SBD，又 SB平面 SBD， ADSB （8 分） （）SD=2，所以 E 到底面的距离为 1， = （12 分） 点评： 本题考查直线与平面平行，直线与直线垂直直线与平面垂直的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力，

38、 空间想象能力 ， 28如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=5，D，E 分别为 BC，BB1的中点，四边形 B1BCC1是边长为 6 的正方形 （）求证：A1B 平面 AC1D； （）求证：CE平面 AC1D； （）求二面角 CAC1D 的余弦值 考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 专题： 综合题 分析： （1）连接 A1C，与 AC1交于 O 点，连接 OD，由三角形中位线定理可得OD A1B，进而由线面平行的判 定定理得到 A1B 平面 AC1D； （）由直棱柱的特征可得BB1AD，由三角形三线合一可得ADBC，结合线面垂直的判定

39、定理可得 AD平面 B1BCC1进而 ADCE，由侧面 B1BCC1为正方形，D，E 分别为 BC，BB1的中点，利用三角 形全等可证得 C1DCE，最后再由线面垂直的判定定理证得CE平面 AC1D； （） 以 B1C1的中点 G 为原点， 建立如图空间直角坐标系， 分别求出平面 AC1D 的一个法向量和平面 ACC1 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得答案 解答： 证明： （）连接 A1C，与 AC1交于 O 点，连接 OD 因为 O，D 分别为 AC1和 BC 的中点， 所以 OD A1B 又 OD平面 AC1D，A1B平面 AC1D， 所以 A1B 平面 AC1D （4 分） 证明：

40、（）在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BB1平面 ABC，又 AD平面 ABC， 所以 BB1AD 因为 AB=AC，D 为 BC 中点， 所以 ADBC又 BCBB1=B， 所以 AD平面 B1BCC1 又 CE平面 B1BCC1， 所以 ADCE 因为四边形 B1BCC1为正方形，D，E 分别为 BC，BB1的中点， 所以 Rt CBE Rt C1CD， CC1D= BCE 所以 BCE+ C1DC=90 所以 C1DCE 又 ADC1D=D， 所以 CE平面 AC1D（9 分） 解： （）如图，以 B1C1的中点 G 为原点，建立空间直角坐标系 则 A（0，6，4） ，E（3，3，0）

41、，C（3，6，0） ，C1（3，0，0） 由（）知 CE平面 AC1D，所以 设 n=（x，y，z）为平面 ACC1的一个法向量， 为平面 AC1D 的一个法向量 ， 由可得 令 x=1，则 所以 从而 因为二面角 CAC1D 为锐角， 所以二面角 CAC1D 的余弦值为 （14 分） 点评： 本题是一个与二面角有关的立体几何综合题，以正三棱柱为载体，考查了线面平行的判定，线面垂直的判 定，及二面角等考点，难度中档 29如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=5，D，E 分别为 BC，BB1的中点，四边形 B1BCC1是边长为 6 的正方形 （）求证：A1B 平面 AC1D； （）求证：平面 A1CE平面 AC1D 考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 专题： 证明题 分析： （）连接 A1C，与 AC1交于 O 点，连接 O